中北大學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)課件

1、第7章 離散(lsn)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z域分析中北大學(xué)信息(xnx)與通信工程學(xué)院共八十三頁 信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法有時(shí)域、變換域兩種。一.時(shí)域分析法 1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 信號(hào)的時(shí)域運(yùn)算與分解、微分方程求解、卷積積分 2.離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 序列的變換與運(yùn)算、卷積和、差分(ch fn)方程的求解二.變換域分析法 1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 頻域分析、復(fù)頻域分析。 2.離散(lsn)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) z域分析、頻域分析 z變換、序列傅立葉變換(DTFT) 離散傅立葉變換DFT(FFT)。共八十三頁第7章 離散時(shí)間信號(hào)(xnho)與系統(tǒng)的Z域分析7.1 z變換的定義及收斂域（4）7.2 z反變換（17

2、）7.3 z變換的基本性質(zhì)與定理（23）7.4 z變換與拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系（43）7.5 序列傅里葉變換的定義及性質(zhì)（51） 7.6 離散(lsn)時(shí)間系統(tǒng)的Z域分析（59）7.7 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 （71）共八十三頁7.1 z變換的定義(dngy)及收斂域7.1.1 z變換(binhun)的定義 z變換式 單邊z變換式共八十三頁 使序列 的z變換 收斂的所有z值的集合(jh)稱作 的收斂域。 收斂(shulin)的充要條件是絕對(duì)可和，即7.1.2 z變換的收斂域 收斂域?yàn)橐粓A環(huán)狀區(qū)域，即 1.定義共八十三頁(1)有限(yuxin)長序列2.序列形式(xngsh)與收斂域的關(guān)系共八

3、十三頁共八十三頁(2)右邊(yu bian)序列因果(yngu)序列共八十三頁(3)左邊(zu bian)序列反因果(yngu)序列共八十三頁(4)雙邊(shungbin)序列共八十三頁其收斂域應(yīng)包括即充滿整個(gè)(zhngg)z平面。1.單位抽樣(chu yn)序列7.1.3 常用序列的z變換共八十三頁當(dāng)時(shí)，這是無窮(wqing)遞縮等比級(jí)數(shù)。2.右邊(yu bian)指數(shù)序列收斂域：*收斂域一定在模最大的極點(diǎn)所在的圓外。共八十三頁3.左邊(zu bian)指數(shù)序列當(dāng)|b|z|時(shí)，這是無窮(wqing)遞縮等比級(jí)數(shù)，收斂收斂域：*收斂域一定在模最小的極點(diǎn)所在的圓內(nèi)。共八十三頁4.雙邊指數(shù)(zhs

4、h)序列共八十三頁5.階躍序列(xli)收斂(shulin)域?yàn)?共八十三頁6.斜變序列(xli)將上式兩邊(lingbin)對(duì) 求導(dǎo)得， 兩邊同乘以 得，收斂域 返回共八十三頁 已知 及其收斂(shulin)域,反過來求序列 的變換稱作z反變換。記作：7.2 z反變換(binhun)解法：1、部分分式展開法2、冪級(jí)數(shù)展開法（冪級(jí)數(shù)展開法）3、圍線積分法（留數(shù)法）共八十三頁因此， 可以展成(zhn chn)以下部分分式形式 通常， 可表成有理分式(yu l fn sh)形式：7.2.1 部分分式展開法共八十三頁其中(qzhng)，MN時(shí)，才存在Bn；zk為 的各單極點(diǎn)， 為 的一個(gè)r階極點(diǎn)。而

5、系數(shù)Ak，Ck分別為： 共八十三頁的z反變換(binhun)。例7.2.1：求共八十三頁共八十三頁z變換(binhun)：c為環(huán)形解析(ji x)域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合單圍線.利用留數(shù)定理求解 0c7.2.2 圍線積分法z反變換：返回共八十三頁7.3 z變換的基本性質(zhì)(xngzh)和定理*即滿足均勻(jnyn)性與疊加性；*收斂域?yàn)閮烧咧丿B部分。1.線性如果 ,則有：共八十三頁例7.3.1 已知 ,求其z變換(binhun)。共八十三頁2.序列(xli)的移位如果(rgu)則有：單邊z變換因果序列單邊z變換（向右移位）共八十三頁求序列(xli) 的z變換。例 7.3.2 共八十三頁3.序

6、列指數(shù)加權(quán) (z域尺度(chd)變換）如果(rgu)，則證明：共八十三頁4.序列(xli)的線性加權(quán)(z域微分)如果(rgu)，則證明：共八十三頁5.共軛序列(xli)如果(rgu)，則證明：共八十三頁6.反褶序列(xli)如果(rgu)，則證明：共八十三頁7.初值定理(dngl)證明(zhngmng)：共八十三頁8.終值定理(dngl)證明(zhngmng)：共八十三頁 又由于只允許 在 處可能有一階極點(diǎn)，故因子 將抵消這一極點(diǎn)，因此(ync) 在上收斂。所以可取 的極限。共八十三頁9.有限(yuxin)項(xiàng)累加特性證明(zhngmng)：共八十三頁共八十三頁差分(ch fn)：累加：共八十三

7、頁10.序列(xli)的卷積和(時(shí)域卷積定理)共八十三頁證明(zhngmng)：共八十三頁例7.3.3共八十三頁11.序列(xli)相乘(z域卷積定理)其中,c是在變量v平面(pngmin)上， ， 公共收斂域內(nèi)環(huán)原點(diǎn)的一條逆時(shí)針單封閉圍線。共八十三頁 12.帕塞瓦爾定理(dngl)(parseval)其中“*”表示復(fù)共軛，閉合積分圍線c在公共(gnggng)收斂域內(nèi)。如果則有:共八十三頁*幾點(diǎn)說明(shumng)：這表明序列的能量可用頻譜求得。這就是(jish)帕塞瓦爾定理1.當(dāng) 為實(shí)序列時(shí)2.當(dāng)圍線取單位圓 時(shí)， ，則3.當(dāng) 時(shí)返回共八十三頁7.4 z變換(binhun)與拉氏變換(bin

8、hun)、傅氏變換(binhun)的關(guān)系設(shè) 為連續(xù)信號(hào)， 為其理想(lxing)抽樣信號(hào)當(dāng) 時(shí)，序列x(n) 的 z 變換就等于理想抽樣信號(hào)的拉氏變換。7.4.1 z變換與拉氏變換共八十三頁關(guān)系式：共八十三頁 s平面用直角坐標(biāo)表示(biosh)為： z平面用極坐標(biāo)表示為： 又由于 所以有：因此， ；這就是說， z的模只與s的實(shí)部相對(duì)(xingdu)應(yīng), z的相角只與s虛部 相對(duì)應(yīng)。共八十三頁00(1). 與 的關(guān)系(gun x) ，即s平面(pngmin)的虛軸 ，即z平面單位圓； ，即s的左半平面 ，即z的單位圓內(nèi)； ，即s的右半平面 ，即z的單位圓外 。jImzRez共八十三頁(2). 與

9、 的關(guān)系(gun x)（ ） 即s平面的實(shí)軸 即z平面正實(shí)軸； 即s平面平行實(shí)軸的直線 即z平面始于原點(diǎn)的射線； 即s平面寬 的水平(shupng)條帶 即整個(gè)z平面。0jImzRez0共八十三頁7.4.2 z變換(binhun)和傅氏變換(binhun)的關(guān)系 連續(xù)信號(hào)經(jīng)理想抽樣后,其頻譜產(chǎn)生周期延拓， 即 我們知道,傅氏變換是拉氏變換在虛軸 的特例,因而映射到z平面上為單位(dnwi)圓。因此, 這就是說,（抽樣）序列在單位圓上的z變換,就等 于理想抽樣信號(hào)傅氏變換。 用數(shù)字頻率 作為z平面的單位圓的參數(shù)， 表示z平面的輻角，且 。共八十三頁序列(xli)傅氏變換共八十三頁7.4.3 常用

10、(chn yn)信號(hào)的z變換與拉氏變換、傅氏變換返回(fnhu)共八十三頁反變換(binhun):7.5 序列傅里葉變換的定義(dngy)及性質(zhì)離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT） 收斂條件：7.5.1序列傅里葉變換的定義共八十三頁1.周期性由序列的傅里葉變換公式(gngsh)：其中的M為整數(shù)。因此序列的傅里葉變換是頻率的周期函數(shù)7.5.2 序列傅里葉變換(binhun)的性質(zhì)共八十三頁2.DTFT的線性設(shè)那么(n me)3.DTFT 的時(shí)移和頻移特性(txng)4.頻域微分性質(zhì)共八十三頁5.時(shí)域卷積定理設(shè)則6.頻域卷積定理設(shè)則共八十三頁7.帕塞瓦爾定理(dngl)能量守恒8.序列(xli)的反褶與

11、共軛共八十三頁9.DTFT的共軛對(duì)稱性共軛對(duì)稱(duchn)序列 共軛對(duì)稱序列的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。共軛反對(duì)(fndu)稱序列 共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。序列可以分成共軛對(duì)稱 部分與共軛反對(duì)稱 部分共八十三頁性質(zhì)(xngzh)8此時(shí)：對(duì)上面(shng min)兩式取DTFT，得到結(jié)論：序列的共軛對(duì)稱部分 對(duì)應(yīng)DTFT的實(shí)部，序列的共軛反對(duì)稱部分 對(duì)應(yīng)DTFT的虛部。共八十三頁共軛分解(fnji)序列共軛分解(fnji)，對(duì)應(yīng)頻譜的實(shí)部和虛部分解(fnji)序列的實(shí)部和虛部分解，對(duì)應(yīng)頻譜的共軛分解返回共八十三頁線性移不變系統(tǒng) 為單位(dnwi)抽樣響應(yīng)7.6 離散(ls

12、n)時(shí)間系統(tǒng)的Z域分析 稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而且在單位圓 上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。7.6.1 系統(tǒng)函數(shù)的定義共八十三頁 一線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 必須滿足絕對(duì)可和： 。 z變換 的收斂域由滿足 的那些z值確定。如單位圓上收斂，此時(shí)則有 ，即系統(tǒng)穩(wěn)定；也就是說，收斂域包括單位圓的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 因果系統(tǒng)的單位抽樣(chu yn)響應(yīng)為因果序列， 其收斂域?yàn)?；而因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)收斂域應(yīng)包含 ，也就是說,其全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。7.6.2 因果(yngu)穩(wěn)定系統(tǒng)共八十三頁7.6.3 系統(tǒng)函數(shù)和差分方程(fngchng)的關(guān)系線性移不變系統(tǒng)常用差分方程(fngch

13、ng)表示：取z變換得：對(duì)上式因式分解，令得：共八十三頁（1）零狀態(tài)(zhungti)響應(yīng)的求解7.6.4 利用Z變換求解(qi ji)差分方程初始條件為零 方程兩邊取單邊z變換得 激勵(lì)為因果序列共八十三頁2、 零輸入(shr)響應(yīng)的求解 對(duì)于線性移不變離散(lsn)時(shí)間系統(tǒng)，在零輸入條件下，其差分方程變?yōu)槠浯畏匠坛跏紬l件為 方程兩邊取單邊z變換得 單邊z變換的移位性質(zhì)共八十三頁3、全響應(yīng)(xingyng)的求解零輸入(shr)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)共八十三頁例7.6.1、7.6.2、7.6.3：已知系統(tǒng)差分(ch fn)方程為 且求零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)(zhungti)響應(yīng)以及全響應(yīng)。 （1）零輸入響

14、應(yīng)零輸入響應(yīng)：共八十三頁（2）零狀態(tài)(zhungti)響應(yīng)零狀態(tài)(zhungti)響應(yīng)：（3）全響應(yīng)共八十三頁7.6.5 離散時(shí)間(shjin)系統(tǒng)的信號(hào)流圖共八十三頁Z域框圖(kungt)共八十三頁信號(hào)流圖共八十三頁 幾個(gè)基本概念： a）輸入節(jié)點(diǎn)或源節(jié)點(diǎn)， 所處的節(jié)點(diǎn)； b）輸出節(jié)點(diǎn)或阱節(jié)點(diǎn)， 所處的節(jié)點(diǎn)； c）分支(fnzh)節(jié)點(diǎn)，一個(gè)輸入，一個(gè)或一個(gè)以上輸 出的節(jié)點(diǎn)； d）相加器（節(jié)點(diǎn))或和點(diǎn)，有兩個(gè)或兩個(gè)以 上輸入的節(jié)點(diǎn)。支路不標(biāo)傳輸系數(shù)時(shí)，就認(rèn)為其傳輸系數(shù)為1；任何一節(jié)點(diǎn)值等于所有(suyu)輸入支路的信號(hào)之和。 共八十三頁 系統(tǒng)的單位(dnwi)抽樣響應(yīng) 的傅氏變換也即單位圓上的z

15、變換 ，稱作系統(tǒng)頻率響應(yīng)。 也就是說，其輸出序列的傅氏變換等于(dngy)輸入序列的傅氏變換與頻率響應(yīng)的乘積。對(duì)于線性移不變系統(tǒng)：7.7.1 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)7.7 離散時(shí)間系統(tǒng)的的頻域分析共八十三頁正弦(zhngxin)響應(yīng) 當(dāng)系統(tǒng)輸入為正弦序列時(shí)，則輸出是同頻率的正弦序列，其幅度(fd)受頻率響應(yīng)幅度(fd) 的加權(quán)，而輸出的相位則為輸入相位與系統(tǒng)頻率響應(yīng)相位之和。輸入：系統(tǒng)：響應(yīng)：7.7.2 正弦響應(yīng)與正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)共八十三頁因果穩(wěn)定(wndng)系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)輸入為因果(yngu)正弦序列，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為同頻的因果(yngu)正弦序列，其幅度受頻率響應(yīng) 幅度 加權(quán)，相位則為輸

16、入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和。輸入：系統(tǒng)：響應(yīng)：共八十三頁7.7.3 頻率響應(yīng)的幾何(j h)確定頻響的零極點(diǎn)(jdin)表達(dá)式共八十三頁模：相角(xin jio)：共八十三頁(1). 表示原點(diǎn)處零極點(diǎn)，它到單位圓 的距離恒為1，故對(duì)幅度響應(yīng)不起作用只是給出線性相移分量 。(2).單位圓附近的零點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)的谷點(diǎn)的位置與深度有明顯影響，當(dāng)零點(diǎn)位于(wiy)單位圓上時(shí)，谷點(diǎn)為零。零點(diǎn)可在單位圓外。(3).單位圓附近的極點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)的峰點(diǎn)位置和高度有明顯影響。極點(diǎn)在圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定。幾點(diǎn)說明(shumng)共八十三頁設(shè)一階穩(wěn)定系統(tǒng)的差分(ch fn)方程為:對(duì)差分(ch fn)方程兩邊取z變換，a為實(shí)

17、數(shù),求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。因果系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為頻率響應(yīng):共八十三頁幅度(fd)響應(yīng):相位(xingwi)響應(yīng):a0a0a0共八十三頁 因果系統(tǒng)如下圖，求(1) 系統(tǒng)函數(shù)；(2) 單位樣值響應(yīng)函數(shù)；(3)差分方程；(4)系統(tǒng)零極點(diǎn)圖，并判斷(pndun)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ；(5)如果穩(wěn)定，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。共八十三頁根據(jù)(gnj)框圖得系統(tǒng)函數(shù)單位(dnwi)樣值響應(yīng)函數(shù)差分方程共八十三頁零級(jí)(ln j)點(diǎn)圖如右 系統(tǒng)極點(diǎn)都在單位(dnwi)圓內(nèi)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)返回共八十三頁作業(yè)(zuy)：7.1(3,4); 7.3(1,2); 7.5; 7.8(3);7.9(4); 7.14;7.17練習(xí)：7.4;7.6;7.10;7.11;7.12;7.13;7.18共八十三頁內(nèi)容摘要第7章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)(xtng)的Z域分析。z域分析、頻域分析。z變換、序列傅立葉變換(DTFT)。當(dāng)時(shí)，這是無窮遞縮等比級(jí)數(shù)