高等動力學(xué)課件：lecture15-3D

1、 Lecture 143D剛體動力學(xué)內(nèi)容回顧Euler情形（無外力作用）能量守恒動量矩守恒 RGP慣量橢球面，其常數(shù)值取為k*k=2TOMQroQ如果能量橢球為對稱橢球的情況，即萊沙爾坐標(biāo)系考慮簡單的具有對稱慣量橢球的剛體的定點(diǎn)運(yùn)動情形 J1 = J2對剛體的定點(diǎn)運(yùn)動進(jìn)行分解，引入中間參考系（萊沙兒參考坐標(biāo)系）O, n, s, 。慣性系下萊沙爾坐標(biāo)系運(yùn)動的角速度可表示為Euler角的形式剛體的定點(diǎn)運(yùn)動在萊沙爾坐標(biāo)系中可以看做是繞O的定軸轉(zhuǎn)動 （角速度合成定理）。萊沙爾坐標(biāo)系由于J1=J2,所以，與O軸垂直的平面上任意兩相互垂直的軸均為主軸。即On和 Os軸也是慣量主軸。動量矩在萊沙爾坐標(biāo)系中的

2、投影絕對角速度矢量在萊沙爾坐標(biāo)系的分量表示為萊沙爾坐標(biāo)系在萊沙爾坐標(biāo)系下的動量矩定理的形式為注意：這時是，即是萊沙爾坐標(biāo)系的角速度，而非剛體的角速度。可以得到采用Euler角表示的具有對稱慣量橢球的剛體定點(diǎn)運(yùn)動的動力學(xué)方程利用以上方程，可以分析在重力場作用下的具有軸對稱剛體的定點(diǎn)運(yùn)動的情況，并得到解析解的形式。Lagrange情形C對稱的玩具陀螺在地面上作定點(diǎn)運(yùn)動，除重力和地面支撐力外，無其它外力。質(zhì)心在C點(diǎn)，質(zhì)心到定點(diǎn)的距離為rOC=a。要求分析該對稱回轉(zhuǎn)剛體的定點(diǎn)運(yùn)動的情形。Lagrange情形由于是對稱剛體， J1=J2，故可以采用萊沙爾坐標(biāo)系建立與Euler角相關(guān)的動力學(xué)方程。對固定點(diǎn)

3、的外力矩為動力學(xué)方程為角速度矢量在萊沙爾坐標(biāo)系中的各個分量與Euler角之間的關(guān)系C重力作用下軸對稱剛體的定點(diǎn)運(yùn)動分析運(yùn)動微分方程中的首次積分（1）（1）式表明角速度矢量在3軸上的分量總是常數(shù)。由于即有第三個首次積分來自機(jī)械能守恒條件。運(yùn)動微分方程存在三個微分變量，有三個首次積分常數(shù)，如果能夠確定其它三個積分常數(shù)，便可以得到其解析表達(dá)式。（2）（3）重力作用下軸對稱剛體的定點(diǎn)運(yùn)動根據(jù)（2），有（4）其中：=Gz/J1, =J33/J1如果是已知的關(guān)于時間t的函數(shù)，則得到(t)。利用(), 將其代入(1)（5）根據(jù)能量積分(3)，并定義將(4)代入上式（6）重力作用下軸對稱剛體的定點(diǎn)運(yùn)動定義如下

4、參數(shù)方程（6）變?yōu)椋?）引入如下的變量變換方程(7)具有如下的形式（8）上式的右端項是關(guān)于u的一個代數(shù)方程，可歸結(jié)為如下的一個積分根式內(nèi)是關(guān)于u的三次多項式，是代數(shù)函數(shù)的反轉(zhuǎn)問題，必然涉及到橢圓函數(shù)的積分問題。為揭示物理的本質(zhì)，不一定完全得到解的解析表達(dá)式。章動角根的分布定義方程（8）中右端項關(guān)于u的三次多項式為如下函數(shù)該三次多項式的根給出了是deta變號的可能性。下面分析以上三次多項式在u為實(shí)數(shù)軸上的分布情形。根據(jù)以上函數(shù)值域的分布，可以斷定三個根的分布如下：同時注意：三個根互不相等的情況如果存在三個根不等的情況，則，初始位置的u0必定位于剛體的運(yùn)動將被限制兩個臨界章動角1, 2之間運(yùn)動。具

5、體運(yùn)動形式與初始條件相關(guān)。uf(u)u=-1u=1u1u2u3u0可能的運(yùn)動情形在由1和2所給定的界圓邊界上，章動角速度dot=0。軌跡形狀主要由進(jìn)動角速度的方向來確定。（圖b）21情形1根據(jù)進(jìn)動角速度（方程（4）軌跡在單位圓上，經(jīng)線與緯線微弧長的夾角為當(dāng)初始條件當(dāng)?shù)竭_(dá)u1所給定的界圓時，當(dāng)?shù)竭_(dá)u2所給定的界圓時，說明，進(jìn)動的角速度將在兩個界圓處轉(zhuǎn)換方向，軌線形狀如圖a所示情形2（圖b）如果給定的初始條件進(jìn)動角速度將不變方向，軌線將如圖（b）所示。如果給定的初始條件形狀仍然如圖(b)所示，只是方向相反。情形321如果初始條件剛好滿足說明只有單向進(jìn)動，同時可以證明，Proof:因此，所以，這時出

6、現(xiàn)單向進(jìn)動，但在上界圓出現(xiàn)尖點(diǎn)情況。存在三重根的條件存在兩種情況：u1=u2=u3=1,如圖(b)所示，這時只對應(yīng)一種狀態(tài)，即剛體只能繞豎直軸轉(zhuǎn)動。-1u1=u2=u3=1f(u)0f(u)u1圖（b）存在二重根的條件：情形1-1u1u2=u3f(u)0f(u)u圖（a）Case1 : u2=u3時,當(dāng)u2=u3,必有u2=u3=1函數(shù)f(u)將具有如下的形式待定系數(shù)可以確定為則方程的第三個根為If u1 0f(u)uf(u)代數(shù)表達(dá)式中也可能存在兩個重根的情況。Case 2: u1=u2在這種情況下，意味著上、下界圓相同。因此，初始條件對應(yīng)的章動角在這種情況下，對應(yīng)如下的條件為即，當(dāng)f(u)

7、有以上重根時，章動角保持不變。顯然，這一條件嚴(yán)格依賴于初始條件。0dotdot存在重根的條件:規(guī)則進(jìn)動對上式微分可得到如下條件則可以看出，章動角不變，進(jìn)動角速度為常數(shù)，其方向依賴于（/-u0）的符號。并且初始條件滿足上面的公式（1）。這樣的運(yùn)動稱為規(guī)則進(jìn)動。（1）規(guī)則進(jìn)動的討論規(guī)則進(jìn)動產(chǎn)生的條件（不考慮=0的情況）：令dot=p, 可得如下關(guān)于p的一元二次方程，該方程帶來了附加約束。要使以上方程存在實(shí)數(shù)根，其條件為由于cos 0, 即兩個實(shí)數(shù)根分別為該條件進(jìn)一步限制了初始條件的取值范圍。（1）規(guī)則進(jìn)動的討論如果自轉(zhuǎn)是高速的，即（應(yīng)用小參數(shù)下的線性化近似）則對以上兩個根可近似為對應(yīng)進(jìn)動角速度為p

8、1的情況，稱為快進(jìn)動。對于慢進(jìn)動來說，進(jìn)動角速度為小量，初始勻速進(jìn)動角速度的條件可以作為類似p=0的一個小的攝動，即通過施加一個非常小的推力來實(shí)現(xiàn)。這在物理上是可行的。規(guī)則進(jìn)動的穩(wěn)定性設(shè)未受擾的規(guī)則進(jìn)動為：如果p=0，可以認(rèn)為初始定軸轉(zhuǎn)動的情形。受擾后，章動和進(jìn)動都將有微小的改變量。將考慮攝動項后，代入Euler動力學(xué)方程由于守恒條件，3保持常量，利用前兩個方程，并考慮一階近似，得到關(guān)于攝動項的線性微分方程規(guī)則進(jìn)動的穩(wěn)定性對應(yīng)的特征方程為可以得到四個特征根，可以證明，二重零根將對應(yīng)代數(shù)方程f(u)=0時，u1的實(shí)數(shù)根。兩個純虛數(shù)根將使得受擾后規(guī)則進(jìn)動系統(tǒng)的進(jìn)動角速度和章動和章動角速度按照相同的頻率在規(guī)則進(jìn)動附件振動。高速慢進(jìn)動情形高速轉(zhuǎn)動下的慢進(jìn)動情形可以近似的認(rèn)為進(jìn)動和章動振動的頻率為擾動可能激發(fā)具有高頻振動的慢進(jìn)動和章動現(xiàn)象，考慮阻尼后，該振動