全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題(含解析)資料講解

1、全國1995年初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題（含解析）一、選擇題 TOC o 1-5 h z .已知 a= 355,b = 444,c = 533,則有（）A. avbvc B. cvbva. C . cv av bD. avcvb、一， xy yz 63 ,，一一.方程組 y y的正整數(shù)解的組數(shù)是（）xz yz 23A. 1 B . 2. C . 3D. 4.如果方程（x 1）（x 2 2x-m）= 0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）3.3.A. 0 m 1 B. mc.-m1d.-m144.如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一圓，那么此圓的周長為（）A.

2、 62 兀 B . 63 兀 C . 64兀 D . 65 兀.設(shè)AB是。的一條弦，CD是。的直徑，且與弦 AB相交，記 昨| Sb cab Sb dab| , N=2SAOAB,則（）A. M N B , M=N C . MK N D . M N的，大小關(guān)系不確定.設(shè)實(shí)數(shù) a、b 滿足不等式 | a | (a + b) I 0 且 b0 B . a0 C . a0 且 b0 D. a0且 bvr0二、填空題.在1： 2： 32，952這95個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有 個(gè).已知a是方程x2+x- 1 =0的根，則4a.設(shè)x為正實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x2-x+ 1的最小值是 .x.以線段 AB為直

3、徑作一個(gè)半圓，圓心為 O C是半圓周上的點(diǎn)，且 OC=ACBC,則/CAB=LCA=CB=CD經(jīng) A C、D第二試、已知/ ACE=/ CDE=90 ，點(diǎn) B 在 CE上,三點(diǎn)的圓交 AB于F （如圖）.求證：F為4CDE的內(nèi)心.、在坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn),試在二次函數(shù)yx21010的圖象上找出滿足y x的所有整點(diǎn)（x,y）并說明理由三、試證：每個(gè)大于 6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個(gè)大于 1且互質(zhì)的自然數(shù)之和1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽參考答案第一試一、選擇題.已知 a= 355,b = 444,c = 533，則有（）A. avbvc B. cvbva. C . c

4、v av b D. avcvb一【答案】CC?【解析】:這類指數(shù)基的比較大小問題，通常是化為同底然后比聲:力3或化為同治效 然后比較底數(shù)，本題是化為同指引 有G=戶=125y 243 J圖尸也256產(chǎn)=選端利用1名2=0.3010, 1名3=0.燈71計(jì)算.、施、3他可以，但沒有優(yōu)越性，xy yz 63.方程組 7 7的正整數(shù)解的組數(shù)是（）xz yz 23A. 1 B . 2. C .。3D. 4【答案】(B)【解析L這類方程是熟知的先由第二個(gè)方程確定Z=L,進(jìn)而可或昆兩個(gè)國(2, 21,1). (2a 3,1).也可以不解方程組取It，工 + y - 23.直接判斷;因?yàn)镵乎V(否則不是正整

5、數(shù))，械方程組或無解或有兩個(gè)解，對朦造擇支.Q3.如果方程r(x 1)(x22xm)=0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ) TOC o 1-5 h z 八,333A.0m1B. mC.一m 1 D.m 1444【答案】【解析L顯然，方程的T根為L5兩根之和為心+羽二21三梅里ft為一個(gè)三角形的三邊，須且只須 I XL& I 1 又 I */ I =也一如|【解新】:四個(gè)選擇支表明，國的周長存在且唯一，從而直徑也；日唯一.又名西+AD;=2斤+5tf=fX(5e+12 =5二乂1g=(3=十4,) N B . M=N C . MK ND . M N的大小關(guān)系不確定【

6、答案】（玲【解析臬比題的得分率最高，但并不表明此題最容易，因?yàn)橛猩洗嫔睦沓鍪清e(cuò)誤的.比 如有的考生aB為直徑，則=!=解于是就砌.其實(shí)，這只能排除品，不能排除于不失T性，諼CE孑ED,在CE上雙CF=ED,則有皿=醒，且S-3_ =13=23士 局理,S士m-Sj=2S3. 相加,每S-&w=2S上山.EPl=I.演.若過C、D、。分別作AB的垂線（圖M）, CE_LAE, DFJLAB* 0L1AB,垂足分別為E. K L.談 CF. DE,可谷梯形國反又面廉蹺弦定理.如L是郎的中點(diǎn).根據(jù)課本上做過的一道作業(yè)二梯形對角戲中點(diǎn)的雕平行底邊，并且等二酶物 一，有 I CEDF I =20L-網(wǎng)

7、通乘以可得Is -S I = ?s 1 i/EC ”心和13白。4，即=!1.選E.設(shè)實(shí)數(shù) a、b 滿足不等式 | a | （a + b） I 0 且 b0 B . a0 C . a0 且 b0 D. a0 且 ba I a+b I -顯然I a I I （已十bI Q （若等于。，則與上式矛盾），有a+ b aI a + b- I lai,兩邊都只能取1成-L故只有1-L即/ b = 1 _*_= _ila + blM 1Wa0,從而ha0- B-二、填空題.在12, 22, 32，952這95個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有 個(gè).【解析】：本題M能以計(jì)算為載悻,但首先要有忒驍現(xiàn)桌的第十.經(jīng)計(jì)

8、以1、藩一,10、期士位教字為奇數(shù)的只有必=16, 6-36-然后，對兩位數(shù)10a十D,有(lOa-Pb) = 20a (ba+tO+tf-其十位數(shù)字為b；的十位數(shù)字如上 嚀偶教被兩位欺的平方中，也中有11=餞6時(shí)，其十位數(shù)字才會(huì)為奇數(shù)，同震轉(zhuǎn)化為，在1, 2,一，懺中個(gè)位數(shù)出現(xiàn)了幾次禪&有2M9+1= ia TOC o 1-5 h z o 1a31.已知a是方程x2+x- 1 =0的根.，則?一1一-的值為54324a a a a【解析】：這類問題T都先化簡的代值，直廢把口=21芻1代人將導(dǎo)載奧聚的討尊.由已知.有力 +書=；.0原式二年吟*DS+ 1尸學(xué)生在這道題上的錯(cuò)誤主要是化簡的方向不

9、明確，最后又不會(huì)將。葉亂作為崢代人.這里關(guān)鍵是整體代入，抓住這一點(diǎn).計(jì)算可以靈活.比如，由有/+/=:新 TOC o 1-5 h z 門八白由一，得r(aT).4由一并將代入，得M + 小 _曰_ / =一也)=-(a-1) 416于是.原視盧 例人J =1 拈 +r K還可由a，得/ +1 =，.二即得所求.設(shè)x為正實(shí)數(shù),則函數(shù)y=x2-x+ 1的最小值是 x【解析】：這個(gè)題目是將二次函數(shù)y=x2x與反比例函數(shù)y=工作疊加,要求中生在掌。二次函叔術(shù)最值 I-（史方法）的基礎(chǔ)上.微結(jié)合性與靈污 X運(yùn)用.進(jìn)行商次配方：y =（I-1）2 + 而-y- +或絲型Z+IXX因而耳=1時(shí)I跖最小值L.

10、以線段 AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O, C是半圓周上的點(diǎn)，且 OC=AC BG則CAB=L解析L此題由筆者提供，原題是求KnZCAE,讓初中生用代教.幾何相結(jié)合的方法麟蕊熏的三角函數(shù)值sinTT ,豆山5解法如下：首先/4加二g（r . Moc= -ab. 已2知條件，有g(shù) 網(wǎng)，= AS與直度=西+止聯(lián)立.可推出K+BC=a 而式（3）表明，AEa M：是二次方程 EaB/蘭i=0的兩個(gè)根，解得V2 2、彗當(dāng)BC= +1AB時(shí), 4anCAB = H IZCA3 = 7?）；當(dāng)BC=叵尸時(shí)，ZCAB = H = （ZCAB= 15 ）t改為求/CAE之后.思路更寬一些.如，由112S& 甌

11、Wacbc=x?,5皿=24皿=2 10Ca anZAOC,得 sin/AOC =當(dāng)/ACC 二 3。時(shí)，ZCA& = 1一3曠）-75* i第二試 一、已知/ ACEW CDE=90，點(diǎn)B在CE上，CA=CB=CD經(jīng) A C、D三點(diǎn)的圓交 AB于F （如 圖）.求證：F為 CD前內(nèi)心.G B E【解析】：首先指出，本題有口0235 （198泮）的背景，該題是：在直角ABC中，斜 邊EC上的高.過AABD的內(nèi)心與AACD的內(nèi)心的直珈劇數(shù)AE和AOfK和L ABC$lJiAKL的面積分別 記為S和r求證S手2T.在這個(gè)題目的證明中，要用到AK=AL=AD.今年的蝌底森哪當(dāng)于反過來，播出驅(qū)=AL=

12、AD南邊上的高 海求證町盤UA ABD. AADC的內(nèi)心（圖7.其次指出，本題的證法很事.但思路主要有兩個(gè)：其一，連FC、FE,挖感璃也普 個(gè)為相應(yīng)的角平分級(jí)；其二是過T作三邊的垂級(jí)，然后證明其中兩條垂戲段相等.下面今年的初史聯(lián)褰然相當(dāng)干反過來，轉(zhuǎn)出AK=AL=AD金邊上時(shí)高），再求證肛逋過A ABD、AUX；的內(nèi)心（圖7）.其次指出，本題的證法很多，但思路主要有兩個(gè)二其一，連FC、】小FE,頜觸史兩 個(gè)為相應(yīng)的角平分線j其二是過F作三邊的垂線，然后證明其中丐條垂線陰杼, FE 是幾個(gè)有代表性的證法.證法1：如圖&連DF,則由已知，有NCDF=NCAB=45 =Lncde,故DF為2NODE的

13、平分線.連BD、CF EfcD=CB 知Nra/CBD-鉗。=ZCEB450 =ZFDR程FB=FD,即F到B、D利距離相等,F在線段BD的垂直平分線上，從而也在等腰三角形CBD 的頂角平分線上，CE是NEQ）的平分線.由于F是CDE上兩條角平分線的交點(diǎn)，因而藐是ACD厄的內(nèi)心.證法2：同證法 1,得出NCDF=45 =90 45 =/FDE后，由于NAEC=NFDE有B、Nfbd=Nfdb之后，立即有Nfed=Nfbd=Nfdb=Nfeb,即即是/ced的平分線.本來，點(diǎn)E的信息很少，證EF為角平分線應(yīng)該是比較難的，但四點(diǎn)蜩理夠已知信息 集中并轉(zhuǎn)移到E未了，因砌法沸不比證法1復(fù)雜.由這個(gè)證明

14、可知，F(xiàn)是/CDF = NCAB = 45 =?NCDE,知 DF 是 2NCDE的平分線.故F為CDE的內(nèi)心.證法4：如圖8,只談CF為NDCE的平分戰(zhàn).由NAGC=NCEA+NCAB=4：u +Z2Z AGOZADOZ CAIA/CAB+N1 =45 +Z1得/ 1=N2.從而/DCF=/GCF,得CF為NDCE的平分線.證法5;首先DF是/CDEW平分線，故c DE的外心I在直線DK上.現(xiàn)以CA為淵、CE為H9建立坐標(biāo)系，并記四:生=6=2則直線AB是一次函數(shù)y=-z+d 的圖兼（圖9）.著立儂I的坐標(biāo)為（人與，則ii4-y1=CH+ IK=CH+HB=CE=d滿足,即I在直發(fā)在上，但在

15、加上,故是AE%）F的交點(diǎn).由分力的唯一卅UI就是F 從血址得F為聯(lián)401的內(nèi)心.還可延長ED交0肝H,而CP為直徑耒證.二、在坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)2 x,試在二次函數(shù)y 一1010的圖 象上找出滿足y |x的所有整點(diǎn)（x,y r）并說r明理由.【解析】:此題的原型由筆者提供.題目是， 坐標(biāo)平面上縱.橫坐標(biāo)均為整懿的點(diǎn)稀為格點(diǎn).對二次函數(shù)y= ?/+1995,請找出其位于第一象限內(nèi)，縱坐標(biāo)小于橫坐標(biāo)的格點(diǎn).這個(gè)題目的實(shí)質(zhì)是解不等式1（ 卜+ 1 k - 195x.拆整數(shù)解.直接解，數(shù)字較繁.但有巧法.由1+ 2 + +x=。= 1995 + y及1工，知1 + 211

16、-（l）1995l+2lx-但1953=1十2十十6219959時(shí)，由1 rz 112 49,、1 i 1P 49, y-x= (x- (9- - - -1 =)1 A 1】0八24 10,知y-品再無滿足 I 乂 I的解.對xO,取=-1,-$-6,-&順次代入，得(-33)、(-6. 6)且當(dāng)K-6時(shí)，由1r/9、2%y 4-x = (x +尸 TOC o 1-5 h z 1024.z9.29.A6 +) = 0,10144J知yr,再無滿足yW I x I的解.故一共有6個(gè)整點(diǎn)，圖示略.解法3：先找滿足條件y= I ! I的差總即分別解方程Xs-11x4-18=0 x:+9x+18=0可得(2, 2)、(% 9)、(-6, 6)、(-3. 3)-再找滿足yl rl的整點(diǎn)，這時(shí)2乂9或-6工-3,依次檜驗(yàn)得。，3)、(7, 6).故共有6個(gè)鎏點(diǎn).解法1：己知即2彳產(chǎn)( |x| .有必一x+1810 Ixl.當(dāng)時(shí)，有必一llx+18W0,得2*W9,代入二次函數(shù)，得合乎條件的4個(gè)整點(diǎn)：(2,2、.、23), (7. C,勾9)；當(dāng)