全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽(高二)試題參考答案

1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽試題參考答案(高二年級(jí))8分和0分兩檔；解答題的評閱，只要思路合理、說明：評閱試卷時(shí)，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè) 步驟正確，在評卷時(shí)可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分。一、填空題(本題滿分64分，每小題8分。直接將答案寫在橫線上。)uur uuuuuiruuur1.已知P是 ABC所在平面上一點(diǎn)，滿足 PA PB 2PC 3AB,則 ABP與 ABC的面積之比為 TOC o 1-5 h z 2.*，*、一”.已知數(shù)列an滿足：ai2Iranian 2anan 1 an2(nN ),則 aa?La2oii4022.已知 R ,如果集合sin ,cos2 cos ,s

2、in 2 ,則所有符合要求的角構(gòu)成的集合為 | 2k ,k Z.滿足方程x2 8xsin(xy) 16 0 (x R, y 0,2 )的實(shí)數(shù)對(x, y)的個(gè)數(shù)為 8.1.設(shè)z是模為2的復(fù)數(shù)，則|z |的最大值與最小值的和為 4. z3.對一切滿足|x| |y| 1的實(shí)數(shù)x,y,不等式|2x 3y -1 | y 1| |2y x 3| a恒成立，則 2 TOC o 1-5 h z 實(shí)數(shù)a的最小值為23.27 .設(shè)集合 A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.如果方程 x2 mx n 0 ( m,n A)至少有一個(gè)根 x0 A,就稱該方程為合格方程，則合格方程的個(gè)數(shù)為23.已知關(guān)于x的方程|

3、x k| kTx在區(qū)間k 1,k 1上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù) k的取值2范圍是 0 k 1.二、解答題(本大題滿分 56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分)1.已知一次函數(shù) y f(x) x2 bx c的圖象過點(diǎn)(1, 13),且函數(shù)y f (x 一)是偶函數(shù).2(1)求f (x)的解析式；(2)函數(shù)y f(x)的圖象上是否存在這樣的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個(gè)完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由12解 (1)因?yàn)楹瘮?shù)y f(x -)是偶函數(shù)，所以二次函數(shù)f(x) x bx c的對稱軸方程為x2故4又因?yàn)槎魏瘮?shù) f(x)x2 bx c的圖象

4、過點(diǎn)(1, 13),所以1 b c 13,故c 11.因 此， f (x) 的 解 析 式 為f (x) x2 x 118(2)如果函數(shù)y f(x)的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，設(shè)為P(m,n2),其中m為正整數(shù)，n為自然數(shù)，則 m2 m 11 n2 ,從而 4n2 (2m 1)243,即2n (2m 1)2n (2m 1)43.12解得注意到 43是質(zhì)數(shù)，且 2n (2m 1) 2n (2m 1), 2n (2m 1)0,所以有2n2n(2 m 1) 43, (2m 1) 1,m 10, n 11.因此，函數(shù)y f (x)的圖象上存在符合要求的點(diǎn),它的坐標(biāo)為(10,121).16110.已知數(shù)列

5、an滿足a1 -,an 132an* 一 .*an 2(n N ).證明：X一切 n N ,有 n(1)anan 11;解(1)顯然，an 0,所以an1an2an.*二 an ( n N ) n一一一 *所以，對一切k N , ak 1ak 111ak t ak=akak1，所以 kkakak 11 k2 .5分所以，當(dāng)n 2時(shí),an1n 1 111(-)a1k 1 akak 1 alk 1 k23 1n 11k 2 k(k 1)3 11；)1 n3 1 11 ，n 1 n 1所以an 1.1一，,*,又a1- 1 ,故對一切n N ,有an3分1.因此，對一切n N ,有anan 11 .

6、10(2)顯然a11111.由 an 1,知 ak 1ak3 4 2 4akk2所以akk2k2 1ak 122ak1 kak 1ak- ak - ak ak 1k k k 1akakak 1，所以k 1akak 11k2 115所以，當(dāng)n N且n 2時(shí),1n 1 111一 (一 )a1k 1 akak 1 aln 11k 1 k2 1n 11n 1 113 3()k 1k(k 1) k1 k k 113 (1 -) n2n 1nn 11112n 1 2 2(2n 1) 2 4n202211.已知橢圓c： 土 L421 ,過點(diǎn)P（1,；）而不過點(diǎn)Q（J2,1）的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn).(

7、1)求/ AQB（2）記4QAB的面積為S,證明：S 3.解（1）如果直線l的斜率存在，設(shè)它的方程為y kxb,因?yàn)辄c(diǎn)P在直線l上，所以1).聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，消去y,得（2 k21)x24kbx 2 b2 4 0.設(shè) A(x1,y1), B(x2, y2),x1x24kb2k22b2 42k2 1y y k(x1 X2) 2b4k2b2k2 12b2b2k2y1 y2 (kx1 b)(kx2 b)I 2k x1x2kb(X1x2)b2k22b22k2 14kbkb (2)2k 1b2b2 4k22k2 16uur -因?yàn)?QA (x 2Vl 1)uur QB(x2. 2,y21)，所

8、以 TOC o 1-5 h z uuu uur _QAgQB (Xi 2vi 1)g(X2、2，V2 1) (Xi Zd 、2) (y 1)也 1)x/2 J2(x X2) 2 NW (y V2) 1_ 222_2b 4 x , 4kb 、 b4k 2b /2，2 (2)22212k2 12k2 1 2k2 1 2k2 11一3b2 2k2 2b(2、.2k 1) 12k 1二二1( , 2k 1)2 2k2 2(、. 2k 1)(2、2k 1) 12k 1 33=0,uuu uuu所以QA QB,顯然A、Q B三點(diǎn)互不相同，所以/ AQB= 90 .如果直線l的斜率不存在，則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)

9、為(,17 33),容易驗(yàn)證/ AQB= 90也成立.12(2)由(1)知/ AQB= 90/AQB分,所以 QAB是直角三角形.90如果直線QA或QB的斜率不存在,易求得 QAB的面積為S2.23.如果直線QA和QB的斜率都存在,不妨設(shè)直線 QA的方程為ym(x72) 1,代入橢圓c的方程,消去 y ,得(2 m2 1)x2 4m(J2m1)x 2(V2m 1)2 4 0,則|QA| .m2 14m(. 2m 1)2 m2 12 42( . 2m 1)2 4.8 | . 2m 1|2m2 12 m2又QB, QA所以，同理可求得|qb| ：( m)216于是， QABW面積為8 | .2 (-)m_2( -)2 1m分1|.8 卜2 m|m2 21_1S 11QAgQB1 2、8 |、. 2m_ 22m2 1m|24 (m2 1)| . 2m 1| |、2m|(2 m2 1)(m2 2)4