平面向量夾角的計算方法

1、平面向量夾角的計算方法【知識要點】、兩個非零向量的夾角的概念r r uuu r uur已知非零向量 a與b,作OA a,OB,則 AOB (0)叫a與b的夾角.當(dāng)rr rb同向；當(dāng) 時，a與b反向；當(dāng) 一時,2(1)對于0,不談它與其它向量的夾角問題 .r rra與b垂直，記ar b.r r(2) a與b的夾角，記作r rr ra,b ，確定向量a與b的夾角時，必須把兩個向量平移到同一個起點.如:AB, AC A 但是 AB, BC B AB, BC、求兩個向量的夾角一般有兩種方法r r方法一：cos a, buurrr方法二：設(shè) a = (x, y1)，b = d, y2),為向量a與b的夾

2、角，則 cosX”yy2r r r u例1 已知x a b, yr rr r rr2a b,且 |a| |b| 1,a b.r u(1)求 |x|和 | y|;r u(2)求x, y夾角的余弦值.【方法講評】方法一uur r r-大利用公式cos a,b需j求解.|a|H使用情景一般沒有坐標(biāo)背景.解題步驟r r 先求agb,r r |a|,|b|,r r再代入公式 cos a,buur需求解.【解析】(1)1宣1=正=je+By二忑 + 240b + 5-= 1 0+1 二” | y =42十萬)工=+ = J4 十。+ 1 = #、工 3 C O 5 CZ - = = 一 1L a V X

3、U330# M 如 1。所以向量夾角的余弦值為之四.10r , 2十 rrrr r公式cos a,b【反饋檢測【點評】（1） |a|2 a和|a| Ja是平面向量求模非常重要的兩個公式，要注意靈活運用.（2）利用a卑求解時，要先求 a* ,1a |,| b|這些基本量，再代入公式.abr rr r r rr r r r r1】已知a,b都是非零向量，且a 3b與7a 5b垂直，a 4b與7a 2b垂直，求a與b的 夾角.方法二利用公式cos, x1x2 y1y2 求解./ 22 f 22Uxy1 7x2 y2使用情景一般有坐標(biāo)背景.解題步驟r rz zX/ X/先求出a,b的坐標(biāo)，再代入公式

4、cos,x1 % yy= 求解.2222y y2【例2】 如圖，函數(shù)y 2sin（ x ）,x R （其中0）的圖像與y軸交于點（0,1）.2（I）求 的值；uuuu uuur（n）設(shè)P是圖像上的最高點，M N是圖像與x軸的交點，求PM與PN的夾角的余弦【解析】（I ）因為函數(shù)圖像過點（0,1）, ,r1所以 2sin 1,即 sin -.2因為0所以2 TOC o 1-5 h z 這11耳(n)由函數(shù)+=喜皿石+二)及其圖像，得蟲-二,既不-4可匕用6636所四兩二2),兩三&2工從而上，Jh 麗-兩 15cos PV 一 PN *=r-=|EM|-| 尸叫 17r r【點評】 此類問題的一

5、般步驟是：先求 a,b的坐標(biāo)，再cos_xxl yy 求解.學(xué)科刨2222xi yi 、. X2 y2r r _ r r _ 【反饋檢測2】已知|a| 1,|b|褥a b (73,1),r r r r r r(1)試求|a b|; (2)a心fa b的夾角.參考答案r r【反饋檢測1答案】a與附勺夾角為一 3【反饋檢測:L詳名照析】由題得G+防網(wǎng)7-5分=。7fl2 + 16i-15？ = 0 (1)(a-4S)7fl-25) = 0 :77-3。嬴+/=。Q)-(2厝標(biāo)=柒 (3)把(S代人d得a=b丁 a w 0:司二巖段的夾角為1【反饋檢測2答案】(1) 2; (2) 2 . 3r r=r r -【反饋檢測2詳細(xì)解析】(i)|a b| J(a b)2rr % r r2r rQ|ab|2 a2agbb44 2agbr r r r_2ag)0 |a b|