幾何學(xué)：第五公設(shè)——公理化方法課件

1、 幾何學(xué)：第5公設(shè)公理化方法 歐幾里得與原本 第五公設(shè) 從歐幾里得到蘭伯特 非歐幾何學(xué)的創(chuàng)立 羅氏幾何學(xué)與黎氏幾何學(xué) 公理化方法的發(fā)展 歐幾里得與原本一歐幾里得二原本 歐幾里得與原本 一歐幾里得： Euclid （約 BC330 BC275） 生于雅典，曾為柏拉圖的門徒，B.C.300年左右來到亞歷山大里亞，后來成為當(dāng)時(shí)“藝術(shù)宮”的主持。 兩則傳說：“國王在幾何學(xué)的國度里無專道”； “給他三個(gè)錢幣，他要的就是這！” 十部著作：原本，數(shù)據(jù)，二次曲線， 辯偽術(shù)，論剖分，衍論，曲面軌跡， 光學(xué)，鏡面反射，現(xiàn)象。 二原本：（Elements ） 版本：888年希臘文抄本， 1294年拉丁文手抄本，13

2、50年阿拉伯文手抄本， 1480年最早拉丁文印刷本，1570年英譯本， 1607年、1857年、1990年中譯本，1655年Barrow拉丁文譯本， 1925年T.LHeath英譯本。內(nèi)容： 巴比倫 古埃及 泰勒斯 畢達(dá)哥拉斯 厄利亞學(xué)派 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 希波克拉底 歐多克索 西艾泰德斯 1 3 4 6 5 7 12 10 11 13 2 8 9 卷 內(nèi)容 定義 公設(shè) 公理 命題 1 直線形 23 5 5 48 2 幾何代數(shù)法 2 14 3 圓 11 37 4 多邊形 7 16 5 比例論 18 25 6 相似形 4 33 7 數(shù)論 22 39 8 數(shù)論 0 27 9 數(shù)論 0 36 10 不

3、可公度比 4 47 6 37 6 31 11 立體圖形 28 39 12 求積術(shù) 0 18 13 正多面體 0 18 特征：1大量引用古希臘古典時(shí)期數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)成就； 2采用獨(dú)特的編寫方式：先給出定義，公設(shè)，公理，再由簡到繁，由易到難地證明一系列命題；首次用公理化方法建立數(shù)學(xué)知識邏輯演繹體系，成為后世西方數(shù)學(xué)的典范。 公理：1等于同量（thing）的量彼此相等。 2等量加等量，其和相等。 3等量減等量，其差相等。 4彼此能重合的物體（thing）是全等的。 5整體大于部分。 公設(shè)：1由任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作直線。 2一條有限直線可以繼續(xù)延長。 3以任意點(diǎn)為心任意距離可以畫圓。 4凡直角都相等。

4、 5平面內(nèi)一條直線與另外兩條直線相交，若在某側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角和小于二直角，則這二直線延長后在該側(cè)相交。 第五公設(shè)從歐幾里得到蘭伯特 用現(xiàn)代數(shù)學(xué)公理化方法的標(biāo)準(zhǔn)來衡量，原本的公理體系存在嚴(yán)重缺陷。例如： 原本第1卷 命題16：在任意三角形中，若延長一邊，則外角大于任何一個(gè)內(nèi)對角。 鑒于此，有人把第 5 公設(shè)也作為一個(gè)缺陷，試圖用其他公理，公設(shè)或定理證明它，以至將它取消。例1Proclus（4世紀(jì)）證明第5公設(shè)。 已知：直線 c 與直線 a、b相交，且直線 c右側(cè)內(nèi)角和小于兩直角。 求證：直線 a、b在直線 c 的右側(cè)必然相交。 證明：過 P 作 a使 = ，可以證明 a b ， 在直線 a 上任取一

5、點(diǎn) M，當(dāng) M 無限遠(yuǎn)離 P， M 到直線 a 的距離 h 無限增大； 若兩平行線間距離有限；則當(dāng) h 等于兩平行線間距離時(shí)，a 與 b 必然相交。設(shè) a，b 與 c相交 ，且 c 右側(cè)有： 2+ 3 2d 1+ 4 2d 2+ 3 = 2d 1+ 4 = 2d 3+4 = 2d 1=3 2=4 假設(shè) a 與 b 相交于 c 的右側(cè)或左側(cè), 均與以上等式矛盾, a b， 由 Playfair 公理，過直線外一點(diǎn)，只能做一條直線與已知直線平行。 所以,a 與 b 相交； 假設(shè) a，b 相交于 c 的左側(cè)，則 3 1 與 31矛盾，故 a，b 相交于 c 的右側(cè)。例2Playfair(1795)公

6、理第5公設(shè)例3Legendre (17521833)的工作： 定義：對于三角形ABC，內(nèi)角和 () = A+B+C，偏差() = - ()； 證明： （ ）= Playfair公理 第 5 公設(shè)。 Pash公理： 設(shè)直線 a 不通過不在一條直線上的三點(diǎn)A，B，C ，當(dāng) a 與 AB 相交時(shí)；a 與 AC 或 BC 相交，二者必居其一。 引理： 1任意 ABC的兩個(gè)內(nèi)角和小于 2對于 ABC的B，DBC，能使(ABC )= (DBC)，且存在一個(gè)內(nèi)角 (1/2)B. 3 ( ) ，( ) 0 4若 ABC=ABD+BDC,則( ABC)=( ABD)+( BDC). 5若 ABC = ABC+B

7、CCB，則( ABC)( ABC) 6若 Rt ABC , Rt ABC , 滿足AB AB, AC AC,且 (RtABC)= ，則 (RtABC )= 思路：1若 Rt*， (Rt*) = ，則 Rt， (Rt) = 2若 Rt， (Rt ) = ，則 *， (*) = 3若 *， (*) = ， 則 ， () = 4若 ， () = ， 則 第 5 公設(shè)成立。 任取銳角AOB，在OA上任取一點(diǎn)A1，作A1B1 OA，交OB 于B1；再取A1A2=OA1，作A2B2OA，交OB于B2； 最后取An-1An = OAn-1，作AnBn OA，交 OB 于 Bn； 由引理3 (RtA1OB1)

8、0， 假設(shè)(RtA1OB1)= 0，則(A2A1B1) = 0 ，由引理4 (A2OB2) 2 ，(A3OB3)2 (AnOBn)2n-1 ，當(dāng)n充分大， (AnOBn) ，而 (AnOBn) = - (AnOBn) ，矛盾。 故 = 0，即(RtA1OB1)= = 0， (RtA1OB1) = 。Playfair公理： 過直線外一點(diǎn)，只能做一條直線與已知直線平行。 設(shè) A 是直線 a 外任一點(diǎn)，作 AB a，過 A 作 a AB，則 aa，過 A 作 ba，不妨設(shè) ()。以下欲證 b 與 a不平行： 作AB=BB1， AB1=B1B2 ，AB2=B2B3，ABn-1=Bn-1Bn ， ( )

9、 = ， BB1A= /4,， B1B2A=(1/2) /2， B2B3A=(1/2) /2 Bn-1BnA=(1/2)n /2 故 BABn= /2-(1/2)n /2 由于/2，0， 使=/2- ，而 n 充分大時(shí) (1/2)n /2 。 BABn，即 b 夾在BABn的兩邊AB，Abn之間。 假設(shè)在AABn中，DAB=BABn+BnAD BABn 。 在 BABn中，b過AB上的A，但不會(huì)過ABn上的點(diǎn)。否則，b交ABn于D點(diǎn)，=BAD=BABn+BnADBABn ，與BABn矛盾。 由Pasch公理，b不過ABn，必過BBn，即b與a交于AB右側(cè)。例4Saccheri（16671733

10、） Lambert（17281777）結(jié)論：1）Sa /2 La /2 2）Sa = /2 第5公設(shè) La = /2 第5公設(shè) 3）Sa /2 () La /2 () 4）若 Sa使Sa /2 若 La使 La /2 則 Sa有Sa /2 則 Sa有 La /2 非歐幾里得幾何的創(chuàng)立一、先兆二、創(chuàng)立 非歐幾里得幾何的創(chuàng)立 一先兆： 受 Saccheri，Lambert 的影響； Schawikart，F(xiàn)erdinad Karl (1780 1859)1818年給Gauss征求意見備忘錄提出：星空幾何( () )，非歐幾何； Taurinus，F(xiàn)ranz Adolf (1794 1874)研究星

11、空幾何學(xué),著有平行線論（1825），幾何學(xué)原理初階（1826）； 承認(rèn)第5公設(shè)不可以被證明，只能建立起邏輯上相容的幾何學(xué)，但是不敢否定“空間幾何學(xué)唯有歐幾里得幾何學(xué)”的觀點(diǎn)，只是為了完善歐幾里得幾何學(xué)。二創(chuàng)立： Gauss，Carl Friedrich（1777 1855） 德國哥廷根大學(xué) 1799年12月17日給Bolyai，Wolfgang（1775 1856）寫信 認(rèn)為第5公設(shè)不能被證明； 1813年稱自己研究的幾何學(xué)為非歐幾里德幾何學(xué)； 1817年給Olbers，HWM 寫信： 我越來越深信，我們不能證明當(dāng)前的幾何學(xué)具有必然性，至少不能用人類理智，也不能給予人類理智以這種證明?；蛟S在另

12、一個(gè)世界中我們可以洞察空間的性質(zhì)，而現(xiàn)在這是不能達(dá)到的。直到那時(shí)我們決不能把幾何與算術(shù)相提并論，因?yàn)樗阈g(shù)是純粹先驗(yàn)的。但可以把幾何與力學(xué)相提并論，幾何公理、公設(shè)與力學(xué)定律一樣，是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)。 1824年給 Taurinus 的信： 三角形內(nèi)角和小于 ，這個(gè)假定引向一種特殊的與我們的幾何學(xué)是完全不同的幾何學(xué)。但是這種幾何學(xué)是完全相容的，當(dāng)我發(fā)展它的時(shí)候，結(jié)果完全令人滿意。除了某個(gè)常數(shù)的值不能先驗(yàn)地定義而外，在這種幾何學(xué)中我能解決任何問題。這個(gè)常數(shù)值越大，則越接近歐幾里得幾何學(xué)，而它的無窮大值會(huì)使雙方系統(tǒng)合而為一。 Bolyai，Johann（18021860） 匈牙利人，維也納工學(xué)院學(xué)習(xí)。 18

13、23年11月23日給父親的信：“我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)烏有的世界” 1825年關(guān)于一個(gè)與歐幾里得第5公設(shè)無關(guān)的空間和絕對真實(shí)的學(xué)說（26頁）； 1832年作為其父親著作的附錄發(fā)表。 Lobaceviskii，Nikolai Ivanovic(1792 1856) 俄國 喀山大學(xué) 1816 1817 年證明第 5 公設(shè)不成，致力于新幾何學(xué)創(chuàng)立； 1826年2月12日宣讀論文平行線理論和幾何學(xué)原理概論及證明的概要，但未公開發(fā)表； 1829年第一次公開發(fā)表幾何學(xué)原理載喀山通報(bào)； 1835年發(fā)表平行線理論的幾何學(xué)探討虛幾何學(xué)； 1855年發(fā)表泛幾何學(xué)。 Beltrami，Eugenio(1835 1900) 意

14、大利 羅馬大學(xué) 1868(一說1863)年非歐幾里得幾何學(xué)解釋嘗試： 0 球面 黎氏幾何學(xué) 常曲率曲面 0 偽球面 羅氏幾何學(xué) = 0 平面 歐氏幾何學(xué) 高斯，1777年4月30日出生在德國布倫斯威克的一個(gè)貧窮的自來水工人家庭。高斯的舅舅很有才能，經(jīng)常盡其所能地教高斯各種知識，對幼年的高斯影響很大。高斯的父親原本不打算讓高斯上學(xué)，由于童年的高斯表現(xiàn)出非凡的數(shù)學(xué)才華，在高斯7歲時(shí)還是上了小學(xué)。1787年高斯上四年級，有一次數(shù)學(xué)老師要求全班學(xué)生計(jì)算從1到100的正整數(shù)的和。當(dāng)老師剛剛解釋完題目，年僅10歲，班上年齡最小的高斯就把寫有答案5050的石板交給老師。其他學(xué)生雖然陸續(xù)交了卷，但是全都錯(cuò)了。

15、這個(gè)故事被廣泛流傳著。 1791年經(jīng)校長推薦，14歲的高斯得到一位公爵的賞識和資助，被送到布魯林學(xué)院學(xué)習(xí)。這個(gè)學(xué)院的教師巴爾特斯發(fā)現(xiàn)了高斯的數(shù)學(xué)天才，就與高斯一起研讀牛頓、拉格朗日、歐拉等著名數(shù)學(xué)家的著作。高斯的發(fā)展勢頭很好，那位公爵又資助高斯于1795年進(jìn)入哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)，1798年轉(zhuǎn)入赫爾姆什塔特大學(xué)，在那里受到老師帕夫的器重，后來他們成了好朋友。1807年起，高斯成為哥廷根大學(xué)常任教授和天文臺臺長，直到1855年2月23日去世。 高斯是一位科學(xué)天才，他勤奮努力，刻苦鉆研，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，所以他的成果涉及幾乎所有的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，并且他還是許多數(shù)學(xué)分支學(xué)科的開創(chuàng)者和奠基人。比如，他證明的代數(shù)基本定理，

16、奠定了方程論的理論基礎(chǔ)；1801年出版的算術(shù)研究，開啟了數(shù)論研究的新時(shí)代；1827年著述的曲面的一般研究，是近代微分幾何學(xué)的開端；他建立的正態(tài)分布曲線和最小二乘法，統(tǒng)計(jì)學(xué)廣為應(yīng)用；他是非歐幾何學(xué)的創(chuàng)立者之一。在天文學(xué)、測地學(xué)、電磁學(xué)領(lǐng)域也作出不朽貢獻(xiàn)。 高斯對人類科學(xué)事業(yè)的貢獻(xiàn)，不僅在于他的論著數(shù)量之多，更重要的是他的工作為19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。他既是一位卓越的古典數(shù)學(xué)家，又是一位杰出的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家。 1796 年3月30日，19歲的高斯發(fā)現(xiàn)用直尺和圓規(guī)作正17 邊形的可能性，非常得意，從此堅(jiān)定了他研究數(shù)學(xué)的信心。 1799年高斯給出代數(shù)學(xué)基本定理的第一個(gè)證明，因此而獲得博士學(xué)位。但他并不

17、滿足，又于1815、1816和1850年相繼給出更漂亮的證明?？梢姼咚沟目茖W(xué)態(tài)度和執(zhí)著精神。 羅氏幾何學(xué)與黎氏幾何學(xué)一、羅氏幾何學(xué)舉例二、黎氏幾何學(xué)模型 羅氏幾何學(xué)與黎氏幾何學(xué) 一羅氏幾何學(xué)舉例： 公理：過直線外一點(diǎn)至少可以引兩條直線與已知直線不相交。1AE 與 a 沒有公共點(diǎn)。 否則，假設(shè)交于 P，可在a 上 P 的右邊再取一點(diǎn)M*，連AM*： * = DAP DAM* = ，矛盾。2 * /2 。 否則，假設(shè) * = /2 ，AEAD，AE是AD上過A唯一垂線，除 AE 之外過 A 的任意一條射線與 AD 構(gòu)成的角 *都不是 極限值，AE成為過A唯一與a不相交直線，矛盾。 單調(diào)遞增有界，/

18、2，當(dāng)DM時(shí)， * AE 為割線AM的極限位置。 二黎氏幾何學(xué)模型： 1854年 Riemann，Geog Friedrich(1826 1866)在高斯的安排下，向哥廷根大學(xué)全體教授作了題為 關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)的講演，1868年正式出版成書。 假設(shè)球半徑無限大，則球面成平面，球面上的大圓為直線： 1同一平面內(nèi)兩條直線必相交； 2直線無限但長度有界； 3 () 。 公理化方法的發(fā)展一、公理化方法二、歷史發(fā)展三、歐幾里得幾何學(xué)的希爾伯特公理體系 公理化方法的發(fā)展 一公理化方法： 選取少數(shù)不加定義的原始概念和無條件承認(rèn)的相互制約的規(guī)定，再以嚴(yán)格的邏輯演繹，使某一個(gè)數(shù)學(xué)分支成為一個(gè)邏輯整體。 基本概念 本質(zhì)內(nèi)涵和相互關(guān)系； 公理體系 相容，獨(dú)立，完備。 二歷史發(fā)展： 1實(shí)體公理體系的產(chǎn)生：公元前3世紀(jì)，以亞里士多德邏輯為基