單位圓與三角函數(shù)線-課件

1、1.2.2單位圓與三角函數(shù)線人教B必修4xoATy高一數(shù)學(xué) 馮偉(一)知識(shí)目標(biāo)1.單位圓的概念.2.有向線段的概念.3.用正弦線、余弦線、正切線表示任意角的三角函數(shù)值.(二)能力目標(biāo)1.理解并掌握單位圓、有向線段的概念.2.正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來(lái)，即用正弦線、余弦線、正切線表示出來(lái).(三)德育目標(biāo)通過(guò)三角函數(shù)的幾何表示，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，拓展思維空間.學(xué)習(xí)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn) 正確地用三角函數(shù)線表示任意角的三角函數(shù)值教學(xué)難點(diǎn) 正確地用與單位圓有關(guān)的三角函數(shù)線表示三角函數(shù)值摩天輪數(shù)學(xué)源于生活 我們首先建立下面的坐標(biāo)

2、系：在觀覽車轉(zhuǎn)輪圓面所在的平面內(nèi)，以觀覽車轉(zhuǎn)輪中心為原點(diǎn)，以水平線為x軸，以轉(zhuǎn)輪半徑為單位長(zhǎng)建立直角坐標(biāo)系。設(shè)P 點(diǎn)為轉(zhuǎn)輪邊緣上的一點(diǎn),它表示座椅的位置，記，則由正弦函數(shù)的定義可知，（1）角的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？P(x,y)（2）角 的正弦、余弦、正切值與終邊上P點(diǎn)的位置是否有關(guān)？知識(shí)鏈接(3)數(shù)軸上向量的數(shù)量（坐標(biāo)）是如何規(guī)定的？(4) 從定義看出：角 的三角函數(shù)是兩個(gè)變量的比值。為了簡(jiǎn)單地計(jì)算其正余弦、正切我們可以使分母為1。當(dāng)r=1時(shí)，即p點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1。所有滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成什么圖形？數(shù)軸上的向量 的坐標(biāo)是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值為線段的長(zhǎng)度，如果方向與軸方向相同取正，反

3、之取負(fù)。P(-2,3)MNAB1、單位圓 半徑為1的圓叫單位圓。課前預(yù)習(xí)設(shè)單位圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，則單位圓與x軸的交點(diǎn)分別為A(1，0)，A(1，0).而與y軸的交點(diǎn)分別為B(0，1)，B(0，1).N1B(0,1)A(1,0)aMP(cosa,sina)yxOA(-1,0)B(0,-1)問(wèn)題2：在單位圓中能不能用一條線段直觀地表示角的正弦值、余弦值？如 果能，怎樣找 出這條線段？問(wèn)題3：在單位圓中，怎樣用一條線段來(lái)表示的正切值？問(wèn)題1：設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，則p點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？ 設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y），過(guò)P作x軸的垂線，垂足為

4、M； 做PN垂直y軸于點(diǎn)N， 則點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P在x軸、y軸上的正射影.2. 三角函數(shù)線根據(jù)三角函數(shù)的定義有點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos,sin)其中cos=OM，sin=ON. 這就是說(shuō)，角的余弦和正弦分別等于角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo). 以A為原點(diǎn)建立y軸與y軸同向，y軸與角的終邊(或其反向延長(zhǎng)線)相交于點(diǎn)T(或T )，則tan=AT(或AT ) 我們把軸上的向量分別叫做的余弦線、正弦線和正切線.問(wèn)題5：角與它的三角函數(shù)線之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系？與三角函數(shù)線的數(shù)量之間呢？ 角的三角函數(shù)線是三角函數(shù)定義的幾何表示，它的數(shù)量等于這個(gè)角的三角函數(shù)值。問(wèn)題4：觀察思考：

5、三角函數(shù)線的方向和符號(hào)？當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，它的三角函數(shù)線及其數(shù)量是如何變化的？例1：作出PM 的正弦線、余弦線和正切線。oxyA(1,0)T典型例題解：在直角坐標(biāo)系中作單位圓。以ox軸方向?yàn)槭歼呑?的終邊與單位圓交于P點(diǎn)，作PMox軸，垂足為M，由單位圓與ox軸正方向的交點(diǎn)A作ox軸的垂線與OP的反向延長(zhǎng)線交于T點(diǎn)，則練習(xí)1.分別作出 、 的正弦線、余弦線、正切線。例2.比較大小：(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5; (3) tan2和tan3.解：由三角函數(shù)線得sin1cos1.5tan2tan3練習(xí)2 若 則下列各式中正確的（ ）C例3. 已知sinx=

6、0.5，求角x的大小.(0 x360)解：由在y軸上找到y(tǒng)=0.5的點(diǎn)，做x軸的平行線，交單位圓于點(diǎn)P和P兩點(diǎn)，由三角函數(shù)線知x1=30, x2=150.變式：去掉 0 xOP 知，sin+cos1變式： 比較 與 1 的關(guān)系。 yxPMOA（1，0）例4：利用三角函數(shù)線證明：若解：如圖， 單位圓O與 角的終邊交于點(diǎn)P，與x 軸的正半軸交于點(diǎn)A，過(guò)P作PM垂直于x軸于點(diǎn)M，則由三角函數(shù)的定義可知：例5 當(dāng) ，試比較實(shí)數(shù) ， sin ，tan 的大小。 分析：如圖單位圓O與 角的終邊交于點(diǎn)P，與x 軸的正半軸交于點(diǎn)A，過(guò)P作PM垂直于x軸于M，過(guò)A作單位圓的切線，交的終邊與點(diǎn)T ,連接AP，則：

7、由 知 即 yxTPMOA（1，0）1、下列四個(gè)命題中(1)一定時(shí)，單位圓中的正弦線一定；（2）單位圓中有相同正弦線的角相等；（3）與+有相同的正切線；（4）具有相同正切線的兩個(gè)角終邊在同一條直線上。不正確的命題個(gè)數(shù)是 （ ） A：0 B：1 C：2 D：32、已知是第一象限角，則下列等式中可能成立的是 （ ） A：sin+cos=1.2 B： sin+cos=-0.9 C： sincos=1.3 D： sin+cos=1.2典型例題3、在（0，/2）內(nèi)，使sinxcosx成立的x的取值范圍是 _.4、若 則下列各式中正確的（ ）5、如果 和 OM 分別是角 的正弦線和余弦線，那么下列結(jié)論中正確的是（）6、利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小單位圓三角函數(shù)線正弦線余弦線正切線1、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)2、數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合課堂小結(jié)（1）給定任意一個(gè)角，都能在單位圓中作出它的正弦線、余弦線、正切線。 （2） 三角函數(shù)線的位置 ： 正弦線為從原點(diǎn)到的終邊與單位圓的交點(diǎn)在y軸上的射影的有向線段； 余弦線為從原點(diǎn)到的終邊與單位圓的交點(diǎn)在x軸上的射影的有向線段； 正切線在過(guò)單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上，為有向線段3、主要內(nèi)容（3） 特殊情況： 當(dāng)角的終邊在x軸上時(shí)，點(diǎn)P與