2023-2024學(xué)年遼寧省重點(diǎn)高中沈陽市郊聯(lián)體高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat19頁2023-2024學(xué)年遼寧省重點(diǎn)高中沈陽市郊聯(lián)體高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由向量平行關(guān)系可求得的值，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】，，，.故選：A.2．若，則直線與平面的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．在平面內(nèi) D．平行或在平面內(nèi)【答案】D【分析】利用向量的基本定理及線面平行的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)椋杂善矫嫦蛄炕径ɡ碇?，三向量共面，所以直線與平面的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi).故選：D.3．已知平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)且直線的法向量是，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C．3 D．1【答案】C【分析】根據(jù)與法向量垂直可求實(shí)數(shù)的值.【詳解】，因?yàn)橹本€的法向量是，故，故，故選：C.4．直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．∪C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意先求出直線的斜率，再由斜率與傾斜角可求得答案.【詳解】直線l的斜率，因?yàn)椋?，設(shè)直線l的傾斜角為，則，因?yàn)椋曰?，所以直線l的傾斜角的取值范圍是故選：D.5．直線的方程為，當(dāng)原點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可知當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大，利用兩直線垂直斜率的關(guān)系可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】直線方程可化為，由可得，所以，直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大，且，又因?yàn)橹本€的斜率為，解得.故選：B.6．直線的方向向量為，且過點(diǎn)，則點(diǎn)到l的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線的方向向量為，取直線的一個(gè)單位方向向量為，計(jì)算代入空間中點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】依題意，因?yàn)橹本€的方向向量為，所以取直線的一個(gè)單位方向向量為，由，可得，所以，，所以.故選：B.7．柏拉圖多面體是柏拉圖及其追隨者對(duì)正多面體進(jìn)行系統(tǒng)研究后而得名的幾何體．下圖是棱長(zhǎng)均為1的柏拉圖多面體，分別為的中點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量運(yùn)算得，，再求即可.【詳解】由柏拉圖多面體的性質(zhì)可知，側(cè)面均為等邊三角形，四邊形為邊長(zhǎng)為1的菱形，又≌，所以，故四邊形為正方形，同理四邊形也為正方形．

取的中點(diǎn)，連接，則，同理，．故選：A．8．已知為平面外一點(diǎn)，到兩邊的距離都為，則到面的距離（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作，交于，作，交于，過作平面，交平面于，則，從而，由此能求出到平面的距離．【詳解】，為平面外一點(diǎn)，，點(diǎn)到兩邊，的距離均為，過點(diǎn)作，交于，作，交于，過作平面，交平面于，連接，，則，故所以，又，到平面的距離為．故選：B．二、多選題9．給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底D．是共線的充要條件【答案】BC【分析】根據(jù)線面垂直、基底、共面、點(diǎn)面距等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，雖然，但是無法判斷是否在平面外，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由，得，所以，所以共面，所以四點(diǎn)共面，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，用反證法，若共面；設(shè)，因?yàn)椴还裁?，所以，方程無解，所以不共面，可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，是反向共線，同向共線得出，共線不能得出，是共線的充分不必要條件，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是B．若三條直線不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值集合為C．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或D．過兩點(diǎn)的直線方程為【答案】BCD【分析】求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷A；分兩種情況判斷B；分直線經(jīng)過原點(diǎn)和不經(jīng)過原點(diǎn)兩種情況求解，從而判斷C；由直線的方程的兩點(diǎn)式方程的限制條件可判斷D.【詳解】對(duì)于A，直線與軸和軸的交點(diǎn)分別為，，所以與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，故A正確；對(duì)于B，三條直線不能構(gòu)成三角形，分兩種情況：①三條直線相交于一點(diǎn)，即為原點(diǎn)，此時(shí)有，所以；②直線與或平行，則或，所以或，所以滿足題意的的實(shí)數(shù)的取值集合為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，其方程為；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程為，又直線過點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)直線方程為，即，綜上，所求直線方程為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由直線的兩點(diǎn)式方程可知，當(dāng)或時(shí)，此方程無意義，即直線的兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線，故D錯(cuò)誤.故選：BCD11．在正三棱柱中，所有棱長(zhǎng)為1，又與交于點(diǎn)，則（

）A．= B．C．三棱錐的體積為 D．與平面BB′C′C所成的角為【答案】AC【解析】畫出正三棱柱，對(duì)選項(xiàng)A，由向量的線性運(yùn)算表示出；對(duì)選項(xiàng)B，判斷是否為直角三角形；對(duì)選項(xiàng)C，用棱錐體積公式計(jì)算；對(duì)選項(xiàng)D，利用線面垂直，得出即與平面BB′C′C所成的角，放在直角中求解.【詳解】由題意，畫出正三棱柱如圖所示，向量，故選項(xiàng)A正確；在中，，，，，所以和不垂直，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在三棱錐中，，點(diǎn)到平面的距離即中邊上的高，所以，所以，故選項(xiàng)C正確；設(shè)中點(diǎn)為，所以，又三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即與平面BB′C′C所成的角，，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的線性運(yùn)算、求棱錐的體積和線面角的求法，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.12．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且直線平面，下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B．直線與直線所成的角記為，則的最小值為C．平面與平面所成的銳二面角記為，則D．平面將正方體分成的兩部分體積之比為【答案】ABC【分析】利用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式、棱臺(tái)體積公式逐一判斷即可.【詳解】A：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，線段的中點(diǎn)分別為，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，由正方體的性質(zhì)可知，所以，因此平面就是平面，因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以有且，由正方體的性質(zhì)可知且，于是有且，所以四邊形是平行四邊形，則有，而平面，平面，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，由上可知，因此，而平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，當(dāng)點(diǎn)在線段時(shí)，則有平面，一定能直線平面，即點(diǎn)的軌跡為線段，顯然，因此本選項(xiàng)正確；B：，，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段，所以設(shè)，解得，所以，，，顯然當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，因此本選項(xiàng)正確；C：，，設(shè)平面的法向量為，因此有，由正方體的性質(zhì)可知平面的法向量為，所以，因此選項(xiàng)C正確；D：由上可知平面就是平面，所以三棱臺(tái)的體積為，該正方體的體積為，所以平面將正方體分成的兩部分體積之比為，或者為，因此本選項(xiàng)不正確，故選：ABC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用線面平行的判定定理和面面平行的判定定理確定平面和點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.三、填空題13．若直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】0【分析】根據(jù)題意結(jié)合直線平行運(yùn)算求解，注意檢驗(yàn)防止出現(xiàn)重合.【詳解】直線與直線互相平行，則，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與直線互相平行，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，不符合題意；綜上所述：.故答案為：014．過點(diǎn)且和的距離相等的直線方程是．【答案】或【分析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證不滿足條件；當(dāng)若斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程求得的值，即可求解.【詳解】若斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線為，此時(shí)不滿足條件；若斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的直線，即．根據(jù)題意，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線方程為，當(dāng)時(shí)，直線方程為綜上可得，直線方程為或．故答案為：或15．長(zhǎng)為4的線段的兩端點(diǎn)在直二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且與這兩個(gè)面都成角，求異面直線與所成的角為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量求出異面直線AB與l所成的角作答.【詳解】依題意，，，過作于，過作于，連，如圖，

顯然，則有，于是，又因?yàn)椋?，，，，因此，而，則，所以異面直線AB與l所成的角為.故答案為：.16．如圖所示在三棱錐中，側(cè)面底面，底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)面中，，且為棱中點(diǎn)，則直線上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)距離的最小值為．【答案】/【分析】若是中點(diǎn)，連接，過作于，由面面、線面垂直的性質(zhì)找到異面直線、的公垂線，結(jié)合異面直線距離的定義及已知求它們的最小距離.【詳解】若是中點(diǎn)，為棱中點(diǎn)，底面是正三角形，連接，所以，故，由，則，而側(cè)面底面，側(cè)面，側(cè)面底面，故面，又面，則，，面，所以面，面，則，過作于，則，又，所以是異面直線、的公垂線，故直線上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)距離的最小值為長(zhǎng)度，又是邊長(zhǎng)為1，則，故.故答案為：四、解答題17．已知直線．(1)若與垂直，求實(shí)數(shù)的值；(2)若直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)垂直可得參數(shù)滿足的方程，從而可求參數(shù)的值.（2）根據(jù)截距均為0或相等或互為相反數(shù)分類計(jì)算后可得參數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)橹本€與垂直，所以解得.（2）因?yàn)橹本€在兩個(gè)坐標(biāo)軸截距的絕對(duì)值相等，所以當(dāng)直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸截距為0時(shí)，，解得；當(dāng)直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸截距相等且不為0時(shí)，直線的斜率為，故，解得；當(dāng)直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸截距相反且不為0時(shí)，直線的斜率為1，故，解得；綜上所述或或.18．在棱長(zhǎng)為的正四面體中，．(1)設(shè)，，用，，表示(2)若，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算即可求得；（2）先表示出，根據(jù)，即可解得．【詳解】（1）因?yàn)?，所以是棱的中點(diǎn)，所以，則，故．（2）因?yàn)?，所以，在棱長(zhǎng)為的正四面體中，，所以，解得：．19．已知直線，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，(1)求的最小值：(2)求的最大值，以及最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】(1)(2)最大值為6，【分析】（1）先把原式轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離，再把兩點(diǎn)間距離最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離；（2）先求的對(duì)稱點(diǎn)為，再寫出直線與直線聯(lián)立求點(diǎn)，把最值轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離求解.【詳解】（1）因?yàn)椋顒t原式為，點(diǎn)到直線距離是的最小值，即所以原式最小值為.（2）設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為則解得所以的最大值為，并且取最小值時(shí)，即得，聯(lián)立，此時(shí)所以最大值為6，此時(shí).20．如圖，在正四棱錐中，O為底面中心，，，M為PO的中點(diǎn)，.(1)求證：平面EAC；(2)求：（i）直線DM到平面EAC的距離；（ii）求直線MA與平面EAC所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EAC的法向量與，即可判斷出線面的位置關(guān)系.(2)利用第一問的法向量，與平行關(guān)系，用點(diǎn)到平面的距離公式可求得，（ii）平面EAC法向量由(1)可得，寫出代入公式即可求得.【詳解】（1）證明：連接BD，則O是BD的中點(diǎn)，且.在正四棱錐中，平面ABCD，，，所以，，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，，，，設(shè)平面EAC的法同量，則,即，取，得，∵，∴，∵DM在平面EAC外，∴平面EAC.（2）（i），∴直線DM到平面EAC的距高.（ii），則，∴直線MA與平面EAC所成角的正弦值為.21．在中，已知，，且邊上的中線在軸上的截距為2.(1)求直線的一般式方程；(2)若點(diǎn)在軸上方，的面積為，且過點(diǎn)的直線在軸?軸上的截距相等，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）得到點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)式計(jì)算得到結(jié)果.（2）依題意得到的面積，假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得點(diǎn)到直線的距離，并得到直線的方程，然后假設(shè)直線方程，代值計(jì)算即可.【詳解】（1）根據(jù)題意得到點(diǎn)，又直線過點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)式得直線的方程為，即.（2）因?yàn)榈拿娣e為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以的面積為39.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)?，所以，解?因?yàn)橹本€的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離解得（舍去），所以點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，即.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，此時(shí)直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.22．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，△PAD為等邊三角形，平面平面ABCD，．(1)求點(diǎn)A到平面PBC的距離；(2)E為線段PC上一點(diǎn)，若直線AE與平面ABCD所成的角的正弦值為，求平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）取AD中點(diǎn)O，連接OB，OP.通過證明，可得，.后由等體積法可求得點(diǎn)A到平面PBC的距離；（2）由（1），如圖建立以O(shè)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，由直線AE與平面ABCD所成的角的正弦值為，可得.求得平面ADE的法向量后，利用空間向量可得平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值.【詳解】（1）取AD中點(diǎn)O，連接OB，OP.∵為等邊三角形，∴