用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)論述研究律學(xué)的三種途徑

1、用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)闡述研究律學(xué)的三種途徑律學(xué)曾一度被學(xué)術(shù)界稱為絕學(xué)，它是音樂聲學(xué)、數(shù)學(xué)和音樂學(xué)互相浸透的一種穿插學(xué)科?！奥墒菢?gòu)成律制的根本單位，當(dāng)各律在音度上有了精細(xì)的規(guī)定，形成一種體系時(shí)，便稱為“律制。古今中外，律制包括三分損益律、五度相生律、新律、純律、十二平均律等等，筆者認(rèn)為想要更合理地研究律學(xué)，可以通過三種途徑來研究：各種律制的生律方法；各種律制的數(shù)字根底；各種律制開展變化的動(dòng)力和過程。利用這三種途徑可以在橫向、縱向上根本涵概律學(xué)開展變化的根本內(nèi)容。一、各種律制的生律方法不同的律制由不同的生律方法決定而生律法那么與所選擇的音程及其計(jì)算方法相關(guān)，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，生律方法也隨著相關(guān)科學(xué)的

2、開展而趨于合理和完善。生律方法有三種：古代，根據(jù)(管、弦)的長(zhǎng)度比例關(guān)系來計(jì)算；近代，根據(jù)音程的頻率比來計(jì)算；現(xiàn)代，根據(jù)音高的音程值來計(jì)算。(一)古人通過發(fā)音體(管、弦)的長(zhǎng)度比例關(guān)系來理解并計(jì)算音程，長(zhǎng)度比以較高音的長(zhǎng)度：較低音的長(zhǎng)度為標(biāo)準(zhǔn)。例如：相距純五度的兩音發(fā)音體的長(zhǎng)度，較高音的長(zhǎng)度與較低音的長(zhǎng)度的比是2：3；相距純四度，其長(zhǎng)度比是3：4；相距純粹協(xié)和的大三度，其長(zhǎng)度比是4：5。這些數(shù)在古代中國(guó)、希臘都作為長(zhǎng)度比用以計(jì)算音程，利用這些長(zhǎng)度比值來計(jì)算音程的主要律制有五度相生律、三分損益律等等。1、以純五度、純四度兩種音程為生律法的根據(jù)而建立的律制，稱為五度相生律，這是古希臘按照畢達(dá)哥拉斯

3、定律所建立的律制。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為當(dāng)一根弦被縮短到原長(zhǎng)度的一半，撥動(dòng)時(shí)發(fā)出的音調(diào)就與原來的音調(diào)構(gòu)成一個(gè)八度音程。類似的，假如長(zhǎng)度比是2：3和3：4，對(duì)應(yīng)的那么是五度和四度音程。但是五度相生律所訂出的七個(gè)根本音級(jí)間的音高關(guān)系，和十二平均律中七個(gè)根本音級(jí)的音高關(guān)系是不同的。雖然EF、B之間為半音，但比十二平均律中的半音要小，其余相鄰兩音級(jí)之間雖然也為全音，但比十二平均律中的全音要大。這種音高的差異就是由于定律方法的不同而產(chǎn)生的，因此，其后的律學(xué)家為發(fā)現(xiàn)更合理、更完善的律制而努力探究。2、公元前6世紀(jì)，當(dāng)古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出被西方尊為“音律學(xué)之祖的理論五度相生律時(shí)，我們的先祖管仲

4、已在?管子地員篇?中提出“三分損益生五音的論斷，即“三分損益律，其原理核心內(nèi)容與“畢律分毫不差，但它比西方的五度相生律早了近百年。三分損益律和五度相生律一樣都是根據(jù)振動(dòng)物體的長(zhǎng)度來計(jì)算的，三分損益律的詳細(xì)算法是在弦張力一樣的情況下，要求音上方純五度音，將發(fā)出該音的弦長(zhǎng)減去三分之一；要求音下方純四度音，將發(fā)出該音的弦長(zhǎng)增加三分之一。振動(dòng)體三分損一所發(fā)之音，比原長(zhǎng)所發(fā)之音高純五度；三分益一所發(fā)之音比原長(zhǎng)所發(fā)之音低純四度。如此繼續(xù)相生而得十二律。按八度同音關(guān)系，清黃鐘與黃種本律弦長(zhǎng)之比應(yīng)為1：2，清黃鐘與黃種本律弦長(zhǎng)之比不是1：2，并且清黃鐘音分值應(yīng)為1200音分，而仲呂繼續(xù)三分損益，得到清黃鐘，比

5、黃鐘本律高24音分，因此它是不平均律，旋宮轉(zhuǎn)調(diào)不完美，暴露出十二律不能回歸本律和無法“周而復(fù)始地旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的問題。(二)近代，人們開場(chǎng)從單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)數(shù)，即頻率的角度出發(fā)，以更精細(xì)的方法來研究音高，因此，音程的關(guān)系也通過頻率比來理解和計(jì)算，由于頻率與長(zhǎng)度成反比，建立比例式時(shí)只要上下音在前后項(xiàng)的位置顛倒過來，所得的比例數(shù)就完全一樣。例如相距純五度的兩個(gè)音，較高音的長(zhǎng)度與較低音的長(zhǎng)度之比是2：3，那么較高音的頻率與較低音的頻率之比是3：2或32；相距純四度，頻率比為4：3；相距純粹協(xié)和的大三度，其頻率比為5：4。因此，古代所用的比例數(shù)仍然有效，只是對(duì)于數(shù)字所代表的兩音的上下作了相反的解釋，同樣這些

6、數(shù)字也就成了頻率比了。(三)無論用長(zhǎng)度比、還是頻率比，都有內(nèi)部的缺陷。隨著數(shù)學(xué)的開展，19世紀(jì)開場(chǎng)將對(duì)數(shù)引進(jìn)到音程計(jì)算當(dāng)中，建立了“音程值的概念。有了音程值之后，音程的大小就可一目了然了。任何律制中的任何音程的音分?jǐn)?shù)都可根據(jù)頻率比通過常用對(duì)數(shù)算得：先求出比例常數(shù)，再把各音程的頻率比的常用對(duì)數(shù)乘以比例常數(shù)即得。各國(guó)現(xiàn)多以“音分為音程值的單位，此為英國(guó)數(shù)學(xué)家兼比擬音樂學(xué)家埃利斯所創(chuàng)用。八度音程值為1200音分，每個(gè)平均律半音為100音分，這對(duì)于轉(zhuǎn)變調(diào)高是非常方便的，而五度相生律那么是“大全音204音分，“小半音90音分，很難進(jìn)展自由轉(zhuǎn)調(diào)。二、各種律制的數(shù)字根底在古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)的作用

7、與價(jià)值是其宇宙觀的重要內(nèi)容。音樂、幾何、雕塑、天文、地理以及建筑方面都可見到數(shù)學(xué)的作用，尤其是整數(shù)發(fā)揮的作用，他們認(rèn)為宇宙間一切現(xiàn)象都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。在數(shù)學(xué)史上，關(guān)于整數(shù)及其性質(zhì)的研究也是幾千年常盛不衰的，這說明推崇整數(shù)作為一種文化傳統(tǒng)的存在。但人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)五度相生律、三分損益律以及純律內(nèi)部的缺陷和不能旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的問題。為了到達(dá)調(diào)試的任意旋宮，引入無理數(shù)是必要的。中國(guó)最早提出十二平均律的明朝皇族樂律學(xué)家朱載墑(1536-1610)那么執(zhí)著地認(rèn)為樂律之正誤就是在于頻率比是否除得盡：“有奇是以密，無奇是以疏，由無理數(shù)產(chǎn)生的除不盡的頻率比才是密律，是準(zhǔn)確的樂律。十二平均律是各相鄰律(即半音)之

8、間其頻率比都相均等的一種律制，朱載墑的算法是將2開十二次方所得到的弦長(zhǎng)倍數(shù)(1059463)，即“頻率倍數(shù)，把這個(gè)數(shù)連續(xù)自乘十二次，就分別產(chǎn)生十二平均律各律的頻率倍數(shù)，而乘到第十二次，就到達(dá)2(八度)，即黃鐘復(fù)原了。朱載堉的奉獻(xiàn)在于徹底解決了我國(guó)律學(xué)史上長(zhǎng)期不能解決的黃鐘復(fù)原的難題。轉(zhuǎn)貼于論文聯(lián)盟.ll.三、各種律制開展變化的動(dòng)力解決旋宮轉(zhuǎn)調(diào)問題古今中外，從事和研究音樂的人們，在長(zhǎng)期的音樂理論過程中，發(fā)現(xiàn)五度相生律、純律、三分損益律等樂律內(nèi)部存在的缺陷不能旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的問題，這就是各種律制開展的動(dòng)力，無數(shù)律學(xué)家為了尋求可以隨意旋宮的律制而努力探究，因此，揭開了長(zhǎng)達(dá)幾千年尋求理想的平均律的歷史篇章。

9、所謂旋宮就是說當(dāng)音樂運(yùn)作中發(fā)生調(diào)式改變時(shí)，新音階與根本音階能否吻合的問題。拿五度相生律的十二聲音階為例，五度相生律所訂出的七個(gè)根本音級(jí)中EF、B半音比十二平均律中的半音要小，其余相鄰兩音級(jí)之間比十二平均律中的全音要大。這種音高的差異就是由于定律方法的不同而產(chǎn)生的，當(dāng)主音改變時(shí)，原有的十二聲音階將不能使用，不能到達(dá)調(diào)式的隨意平移，這只需解一道簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題：使十二聲音階具有一樣的頻率比，然而，問題的解決卻經(jīng)過了長(zhǎng)期的探究研究。與西方古代音樂相比，中國(guó)古代音樂起點(diǎn)高，成就大，千百年來，人們對(duì)樂律的研究從來就沒有中斷過。三分損益律是我國(guó)最早的樂律理論，由它定出的樂音純粹悅耳，迄今人們還在使用。但三分損

10、益律是一種不平均律，它所形成的古代大全音204音分，較十二平均律的全音為大，古代小半音90音分，較十二平均律的半音為校因此，就出現(xiàn)了仲呂無法還生黃鐘本律的現(xiàn)象，暴露出十二律不能“周而復(fù)始地旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的問題。由此也揭開了中華民族長(zhǎng)達(dá)兩千多年之久的尋求平均律的歷史序幕。從此以后，西漢律學(xué)家京房，利用“三分損益法從第十三律起繼續(xù)往下推算，直至第六十律，他把三分損益法還生本律的音差值由235音分縮小至36音分。但是，京房六十律并不是十二平均律，仍然不可以隨意轉(zhuǎn)調(diào)，并且它的實(shí)用價(jià)值不高；南朝太史錢樂之在“京房六十律的根底上繼續(xù)用“三分損益法往下生律，一直生至第三百六十律。他把還生黃鐘本律的音差數(shù)縮小為18

11、45音分，但是，他算出來的三百六十律沒有應(yīng)用價(jià)值，并且使求解十二平均律的探究步入了“山窮水頸的困境；南朝宋人何承天不同意京房采用加律的方法來解決音差問題，而是主張?jiān)谑蓛?nèi)部加以調(diào)整，創(chuàng)造了非常接近十二平均律的“新律。詳細(xì)方法是：先以黃鐘本律之?dāng)?shù)(設(shè)為9寸)減去仲呂所生黃鐘之?dāng)?shù)(依三分損益法計(jì)算11次得到88788寸)，得差數(shù)01212寸。再將此差數(shù)平分為十二等分，即0，12121200101，然后將此數(shù)依次遞加在林鐘以下各律上。何承天的新律，就其效果而言，已相當(dāng)接近十二平均律了。何承天最早從理論上解決了黃鐘復(fù)原的問題，但新律是按弦長(zhǎng)而非按頻率比計(jì)算的，因此仍不是真正的十二平均律。直至明朝中葉

12、，皇族世子朱載墑揭開了劃時(shí)代的一幕，他創(chuàng)造以珠算開方的方法，求得律制上的等比數(shù)列，從而得到真正的十二平均律，且黃鐘正好復(fù)原，可以隨意旋宮轉(zhuǎn)調(diào)。十二平均律以其精細(xì)的計(jì)算最終解決了古代中外“畢“管兩位“樂律學(xué)之祖留下的千古缺憾，近兩千年中外律學(xué)家鍥而不舍的追求目的，他第一次解決了十二律自由旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的千古難題，從而實(shí)現(xiàn)了利用等比數(shù)列方式將一個(gè)純八度的振動(dòng)體均勻地分為12份比值相等的“十二平均律原那么。這是音樂文化史上最早出現(xiàn)的“十二平均律律學(xué)理論，這一偉大創(chuàng)造對(duì)于中國(guó)乃至世界都具有深遠(yuǎn)的影響。綜上所述，律學(xué)是音樂聲學(xué)、數(shù)學(xué)和音樂學(xué)互相浸透的一種穿插學(xué)科，我們研究律學(xué)，應(yīng)該合理把握其間的穿插關(guān)系，為研究樂律、分析樂律效勞。但是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)不能準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)音樂的本質(zhì)，歷史證明尋求更完善的樂律不能單純用數(shù)學(xué)方法去計(jì)算，并且律學(xué)與數(shù)學(xué)有著非常復(fù)雜的關(guān)系，我們必須清醒地認(rèn)識(shí)到，我們要研究的是音樂而不是數(shù)學(xué)，要防止盲目的“以數(shù)求音的錯(cuò)誤觀點(diǎn)。參考文獻(xiàn)：