新編-第五節(jié)、修改傅里葉級(jí)數(shù)1-精品課件

1、第五節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)一、三角級(jí)數(shù),三角函數(shù)系的正交性諧波分析稱為三角級(jí)數(shù).簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) :復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng) :得級(jí)數(shù)(一)三角級(jí)數(shù) 三角函數(shù)系的正交性證:上的積分等于 0 .任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在同理可證 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (二)、三角函數(shù)系的正交性上的積分不等于 0 .且有 但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通常把兩個(gè)函數(shù)f與g在a,b上可積，且我們稱函數(shù)f與g在a,b上正交的二、以2為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)問題:2. 展開的條件是什么?且能展開成三角級(jí)數(shù)(利用正交性)(利用正交性)

2、傅里葉系數(shù)代入傅里葉系數(shù)的三角級(jí)數(shù)稱為傅里葉級(jí)數(shù)問題:在什么條件下函數(shù)可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)?定理(收斂定理, 展開定理)設(shè) f (x) 是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件:1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則 f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂 , 且有 x 為間斷點(diǎn)其中( 證明略 )為 f (x) 的傅里葉系數(shù) . x 為連續(xù)點(diǎn)注意: 函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.簡(jiǎn)介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則有則有有即解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.例1三、正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)定義內(nèi)容小結(jié)1. 周期為

3、2 的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及收斂定理 其中注意: 若為間斷點(diǎn),則級(jí)數(shù)收斂于機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 周期為 2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 奇函數(shù)正弦級(jí)數(shù) 偶函數(shù)余弦級(jí)數(shù)3. 在 0 , 上函數(shù)的傅里葉展開法 作奇周期延拓 ,展開為正弦級(jí)數(shù) 作偶周期延拓 ,展開為余弦級(jí)數(shù)1. 在 0 , 上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎 ?答: 不唯一 , 延拓方式不同級(jí)數(shù)就不同 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)傅里葉 (1768 1830)法國(guó)數(shù)學(xué)家. 他的著作熱的解析 理論(1822) 是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性 書中系統(tǒng)的運(yùn)用了三角級(jí)數(shù)和 三角積分, 他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分. 最卓越的工具. 以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的 文獻(xiàn), 他深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題傅里葉分析對(duì)近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展 都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響. 狄利克雷 (18 05 1859)德國(guó)數(shù)學(xué)家. 對(duì)數(shù)論, 數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出的貢獻(xiàn), 是解析數(shù)論 他是最早提倡嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家.函數(shù) f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂的第一個(gè)充分條件; 了改變絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)中項(xiàng)的順序不影響級(jí)數(shù)的和, 舉例說明條件收斂級(jí)數(shù)不具有這