工程數(shù)學(xué)留數(shù)優(yōu)質(zhì)課件

1、第五章 留數(shù)1 孤立奇點1函數(shù)不解析的點為奇點.如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析, 但在z0的某一個去心鄰域0|z-z0|d內(nèi)處處解析, 則z0稱為f(z)的孤立奇點.將函數(shù)f(z)在它的孤立奇點z0的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù). 根據(jù)展開式的不同情況對孤立奇點作分類.21. 可去奇點 如果在洛朗級數(shù)中不含z-z0的負(fù)冪項, 則孤立奇點z0稱為f(z)的可去奇點.這時, f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)實際上就是一個普通的冪級數(shù):c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.因此, 這個冪級數(shù)的和函數(shù)F(z)是在z0解析的函數(shù), 且當(dāng)zz0時, F(z)=f(z); 當(dāng)z=z0時, F(z

2、0)=c. 由于3所以不論f(z)原來在z0是否有定義, 如果令f(z0)=c0, 則在圓域|z-z0|d內(nèi)就有 f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了. 由于這個原因, 所以z0稱為可去奇點.452. 極點 如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個z-z0的負(fù)冪項, 且其中關(guān)于(z-z0)-1的最高冪為(z-z0)-m, 即f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+. (m1, c-m0),則孤立奇點z0稱為函數(shù)f(z)的m級極點. 上式也可寫成其中 g(z)=c-m+c-m

3、+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+.在|z-z0|d內(nèi)是解析的函數(shù), 且g(z)0.6反過來, 當(dāng)任何一個函數(shù)f(z)能表示為(5.1.1)的形式, 且g(z0)0時, 則z0是f(z)的m級極點.如果z0為f(z)的極點, 由(5.1.1)式, 就有73. 本性奇點 如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多個z-z0的負(fù)冪項, 則孤立奇點z0稱為f(z)的本性奇點.中含有無窮多個z的負(fù)冪項.8在本性奇點的鄰域內(nèi), 函數(shù)f(z)有以下的性質(zhì)(證明從略): 如果z0為函數(shù)f(z)的本性奇點, 則對任意給定的復(fù)數(shù)A, 總可以找到一個趨向于z0的數(shù)列, 當(dāng)z沿這個數(shù)列趨向于z0時, f(z)的值趨向于A

4、. 例如, 給定復(fù)數(shù)A=i, 我們把它寫成9綜上所述104.函數(shù)的零點與極點的關(guān)系 不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)mj(z),(5.1.2)其中j(z)在z0解析且j(z)0, m為某一正整數(shù), 則z0稱為f(z)的m級零點.例如當(dāng)f(z)=z(z-1)3時, z=0與z=1是它的一級與三級零點, 根據(jù)這個定義, 我們可以得到以下結(jié)論:如f(z)在z0解析, 則z0是f(z)的m級零點的充要條件是f(n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1), f(m)(z0)0 (5.1.3)11這是因為, 如果f(z)在z0解析, 就必能在z0的鄰域展開為泰勒級數(shù):

5、f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+.易證z0是f(z)的m級極點的充要條件是前m項系數(shù)c0=c1=.=cm-1=0, cm0,這等價于 f(n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1), f(m)(z0)0 (5.1.3) 例如z=1是f(z)=z3-1的零點, 由于f (1)=3z2|z=1=30, 從而知z=1是f(z)的一級零點.12由于(5.1.2)中的j(z)在z0解析, 且j(z0)0, 因而它在z0的鄰域內(nèi)不為零. 這是因為j(z)在z0解析, 必在z0連續(xù), 所以給定所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心鄰域內(nèi)不為零, 即不恒為零的解析函

6、數(shù)的零點是孤立的.131415由此, 當(dāng)zz0時, 得而y(z)=1/j(z)在z0解析, 并且y(z0)0, 所以z0是f(z)的m級極點.證畢這個定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡單的方法.1617185. 函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài) 如果函數(shù)f(z)在無窮遠(yuǎn)點z=的去心鄰域R|z|內(nèi)解析, 稱點為f(z)的孤立奇點.1920規(guī)定, 如果t=0是j(t)的可去奇點, m級極點或本性奇點, 則稱點z=是f(z)的可去奇點, m級極點或本性奇點.由于f(z)在R|z|+內(nèi)解析, 所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開成洛朗級數(shù), 根據(jù)(4.4.5)與(4.4.8),C為R|z|+內(nèi)繞原點任何一條簡單正向閉曲線2

7、1如果在級數(shù)(5.1.6)中i)不含負(fù)冪項, ii)含有有限多的負(fù)冪項, 且t-m為最高冪, iii)含有無窮多的負(fù)冪項, 則t=0是j(t)的i)可去奇點,ii)m級極點, iii)本性奇點.22因此, 在級數(shù)(5.1.5)中, i)不含正冪項;ii)含有限多的正冪項, 且zm為最高冪;iii)含有無窮多的正冪項;則z=是f(z)的i)可去奇點;ii)m級極點;iii)本性奇點.232425262 留數(shù)271. 留數(shù)的定義及留數(shù)定理 如果函數(shù)f(z)在z0的鄰域內(nèi)解析, 那末根據(jù)柯西-古薩基本定理但是, 如果z0為f(z)的一個孤立奇點, 則沿在z0的某個去心鄰域0|z-z0|R內(nèi)包含z0的

8、任意一條正向簡單閉曲線C的積分一般就不等于零.28因此將f(z)在此鄰域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.后,兩端沿C逐項積分, 右端各項積分除留下c-1(z-z0)-1的一項等于2pic-1外, 其余各項積分都等于零, 所以其中c-1就稱為f(z)在z0的留數(shù), 記作Resf(z),z0, 即29定理一(留數(shù)定理) 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點z1,z2,.,zn外處處解析. C是D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線, 則Dz1z2z3znC1C2C3CnC30證 把在C內(nèi)的孤立奇點z

9、k(k=1,2,.,n)用互不包含的正向簡單閉曲線Ck圍繞起來, 則根據(jù)復(fù)合閉路定理有31求函數(shù)在奇點z0處的留數(shù)即求它在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)洛朗級數(shù)中c-1(z-z0)-1項的系數(shù)即可. 但如果知道奇點的類型, 對求留數(shù)可能更有利. 如果z0是f(z)的可去奇點, 則Resf(z),z0=0, 因為此時f(z)在z0的展開式是泰勒展開式. 如果z0是本性奇點, 則沒有太好的辦法, 只好將其按洛朗級數(shù)展開. 如果z0是極點, 則有一些對求c-1有用的規(guī)則.322. 留數(shù)的計算規(guī)則規(guī)則1 如果z0為f(z)的一級極點, 則規(guī)則2 如果z0為f(z)的m級極點, 則33事實上, 由于f(z)=c

10、-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,令兩端zz0, 右端的極限是(m-1)!c-1, 兩端除以(m-1)!就是Resf(z),z0, 因此即得(5.2.5), 當(dāng)m=1時就是(5.2.4)343536由規(guī)則1, 得37我們也可以用規(guī)則III來求留數(shù):這比用規(guī)則1要簡單些.38394041423.在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù) 設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R|z|內(nèi)解析, C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條簡單閉曲線, 則積分的值與C無關(guān), 稱其為

11、f(z)在點的留數(shù), 記作積分路線的方向是負(fù)的.43定理二 如果函數(shù)f(z)在擴充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點, 那末f(z)在所有各奇點(包括點)的留數(shù)總和必等于零.證 除點外, 設(shè)f(z)的有限個奇點為zk(k=1,2,.,n). 又設(shè)C為一條繞原點的并將zk(k=1,2,.,n)包含在它內(nèi)部的正向簡單閉曲線, 則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)定義, 有4445463 留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用471. 形如 的積分, 其中R(cosq,sinq)為cosq與sinq的有理函數(shù). 令z=eiq, 則dz=ieiqdq,48其中f(z)是z的有理函數(shù), 且在單位圓周|z|=1上分母不為零, 根據(jù)

12、留數(shù)定理有其中zk(k=1,2,.,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇點.49例1 計算 的值.解 由于0p1, 被積函數(shù)的分母在0qp內(nèi)不為零, 因而積分是有意義的. 由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2, 因此50在被積函數(shù)的三個極點z=0,p,1/p中只有前兩個在圓周|z|=1內(nèi), 其中z=0為二級極點, z=p為一級極點.515253取積分路線如圖所示, 其中CR是以原點為中心, R為半徑的在上半平面的半圓周. 取R適當(dāng)大, 使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點zk都包在這積分路線內(nèi).z1z2z3yCR-RROx54此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.555657583. 形如 的