高三數(shù)學概念、方法、題型、易誤點總結十一、概率

1、高三數(shù)學概念、方法、題型、易誤點總結（十一）班級 姓名 十一、概率隨機事件的概率，其中當時稱為必然事件；當時稱為不可能事件P(A)=0； 2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=。理解這里m、的意義。如（1）將數(shù)字1、2、3、4填入編號為1、2、3、4的四個方格中，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的概率是_（答：）；（2）設10件產品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：從中任取2件都是次品；從中任取5件恰有2件次品；從中有放回地任取3件至少有2件次品；從中依次取5件恰有2件次品。（答：；） 3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同時發(fā)生）。計算公式：P(A

2、+B)P(A)+P(B)。如（1）有A、B兩個口袋，A袋中有4個白球和2個黑球，B袋中有3個白球和4個黑球，從A、B袋中各取兩個球交換后，求A袋中仍裝有4個白球的概率。（答：）；（2）甲、乙兩個人輪流射擊，先命中者為勝，最多各打5發(fā)，已知他們的命中率分別為0.3和0.4，甲先射，則甲獲勝的概率是（0.425=0.013，結果保留兩位小數(shù)）_（答：0.51）； （3）有一個公用電話亭，在觀察使用這個電話的人的流量時，設在某一時刻，有n個人正在使用電話或等待使用的概率為P（n），且P（n）與時刻t無關，統(tǒng)計得到 ，那么在某一時刻，這個公用電話亭里一個人也沒有的概率P（0）的值是（答：）4、對立事件

3、：（A、B對立，即事件A、B不可能同時發(fā)生，但A、B中必然有一個發(fā)生）。計算公式是：P（A）+ P(B)；P()=1P(A)；5、獨立事件：（事件A、B的發(fā)生相互獨立，互不影響）P(AB)P(A) P(B) 。提醒：（1）如果事件A、B獨立，那么事件A與、與及事件與也都是獨立事件；（2）如果事件A、B相互獨立，那么事件A、B至少有一個不發(fā)生的概率是1P（AB）1P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互獨立，那么事件A、B至少有一個發(fā)生的概率是1P（）1P()P()。如（1）設兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同,則事件A發(fā)生的概率P(A)是_（答

4、：）；（2）某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分，答錯得0分，假設這位同學答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響，則這名同學得300分的概率為_;這名同學至少得300分的概率為_（答：0.228；0.564）；（3）袋中有紅、黃、綠色球各一個，每次任取一個，有放回地抽取三次，球的顏色全相同的概率是_（答：）；（4）一項“過關游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于，則算過關，那么，連過前二關的概率是_（答：）；（5）有甲、乙兩口袋，甲袋中有

5、六張卡片，其中一張寫有0，兩張寫有1，三張寫有2；乙袋中有七張卡片，四張寫有0，一張寫有1，兩張寫有2，從甲袋中取一張卡片，乙袋中取兩張卡片。設取出的三張卡片的數(shù)字乘積的可能值為且，其相應的概率記為，則的值為_（答：）；（6）平面上有兩個質點A、B分別位于（0，0）、（2，2）點，在某一時刻同時開始每隔1秒鐘向上下左右四個方向中的任何一個方向移動1個單位，已知質點A向左、右移動的概率都是，向上、下移動的概率分別是和p，質點B向四個方向中的任何一個方向移動的概率都是q。求p和q的值；試判斷最少需要幾秒鐘，A、B能同時到達D（1，2）點？并求出在最短時間內同時到達的概率. （答：；3秒；）6、獨立

6、事件重復試驗：事件A在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生了次的概率(是二項展開式的第k+1項)，其中為在一次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的概率。如（1）小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是_（答：）；（2）冰箱中放有甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時從中任意取1瓶甲種或乙種飲料，取用甲種或乙種飲料的概率相等，則甲種飲料飲用完畢時乙種飲料還剩下3瓶的概率為_（答：）提醒：（1）探求一個事件發(fā)生的概率，關鍵是分清事件的性質。在求解過程中常應用等價轉化思想和分解(分類或分步)轉化思想處理，把所求的事件：轉化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉化為若干個互斥事件

7、中有一個發(fā)生的概率；利用對立事件的概率，轉化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率；看作某一事件在n次實驗中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件。（2）事件互斥是事件獨立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件；（3）概率問題的解題規(guī)范：先設事件A=“”， B=“”；列式計算；作答。例8、盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回地從中任取兩次，每次取一只，試求下列事件的概率：取到的2只都是次品；取到的2只中正品、次品各一只；取到的2只中至少有一只正品。解：從6只燈泡中有放回地任取兩只，共有62=36種不同取法 （1）取到的2只都是次品情況為22=4種，因而所求概率為 （2）

8、由于取到的2只中正品、次品各一只有兩種可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率為 （3）由于“取到的兩只中至少有一只正品”是事件“取到的兩只都是次品”的對立事件，因而所求概率為例9、甲、乙兩人獨立地破譯1個密碼，他們能譯出的密碼的概率分別為和，求：恰有1人譯出的密碼的概率；至多1人譯出的密碼的概率；若達到譯出的密碼的概率為，至少需要多少個乙這樣的人。解：記“甲譯出密碼”為事件A，“甲譯不出密碼”這事件；記“乙譯出密碼”為事件B，“乙譯不出密碼”為事件；“兩人都譯出密碼”為事件C，“兩人都譯不出密碼”為事件D；“恰有1人譯出密碼”為事件E；“至多1人譯

9、出密碼”為事件F。 （1）“恰有1人譯出密碼”是包括2種情況：一種是，另一種是。這兩種情況不能同時發(fā)生，是互斥的。 （2）“至多1人譯出密碼”包括兩種情況：“2人都譯不出密碼”或“恰有1人譯出密碼”，即事件D+E，且事件D、E是互斥的 （3）n個乙這樣的人都譯不出密碼的概率為，根據(jù)題意得： 解得：n=16例10、某數(shù)學家有兩盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根，求他發(fā)現(xiàn)用完一盒時另一盒還有r根（1rn）的概率。解析：由題意知：數(shù)學家共用了2n-r根火柴，其中n根取自一盒火柴，n-r根取自另一盒火柴。由于數(shù)學家取火柴時，每次他在兩盒中任取一盒并從中抽取一根，故他

10、用完的那一盒取出火柴的概率是，他不從此盒中取出一根火柴的概率也是。由于所取的2n-r根火柴，有n根取自用完的那一盒的概率為：9、擲三顆骰子（各面上分別標以數(shù)字1到6的均勻正方體玩具），恰有一顆骰子出1點或6點的概率是A、 B、 C、 D、10、一工人看管三臺機床，在一小時內甲、乙、丙三臺機床需要工人照看的概率分別是0.9，0.8和0.85，那么在一小時中至少有一臺機床不需要照看的概率是A、0.003 B、0.612 C、0.388 D、0.02711、在4次獨立重復試驗中，隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率P的取值范圍是A、0.4，1 B、（

11、0，0.4 C、（0，0.6 D、0.6，1）12、一批零件10個，其中有8個合格品，2個次品，每次任取一個零件裝配機器，若第一次取得合格品的概率是P1，第二次取得合格品的概率是P2，則A、P1P2 B、P1=P2 C、P1P2 D、P1=2P213、一個學生通過某種英語聽力測試的概率是1/2，他連續(xù)測試n次，要保證他至少有一次通過的概率大于0.9，那么n的最小值為A、3 B、4 C、5 D、614、甲、乙兩人投籃命中的概率分別為p、q，他們各投兩次，若p=1/2，且甲比乙投中次數(shù)多的概率恰好等于7/36，則q的值為A、 B、 C、 D、9、C 10、C 11、A 12、B 13、B 14、C

12、18、有1個數(shù)字難題，在半小時內，甲能解決它的概率是，乙能解決它的概率是，兩人試圖獨立地在半小時內解決它，則：兩人都未解決的概率為_；問題得到解決的概率為_。19、一次考試出了10個選擇題，每道題有4個可供選擇的答案，其中1個是正確的，3個是錯誤的，某學生只知道5個題的正確答案，對其他5個題全靠猜回答，那么這個學生卷面上正確答案不少于7個題的概率是_。18、（1）1/3 （2）2/3 19、0.3671875解答題23、某氣象站天氣預報的準確率為80%，求： （1）5次預報中恰有4次準確的概率； （2）5次預報中至少有4次準確的概率（結果保留2位有效數(shù)字）。23、（1）0.41 （2）0.74

13、24、有6個房間安排4個旅游者住，每人可以進住任一房間，且進住房間是等可能的，試求下列事件的概率：事件A：指定的4個房間各有1人；事件B：恰有4個房間中各有1人；事件C：指定的某個房間中有2人；事件D：第1號房間有1人，第2號房間有3人。24、（1） （2）（3） （4）25、有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8，0.7，從兩批種子中各取1粒，求： （1）2粒種子都能發(fā)芽的概率； （2）至少有1粒種子發(fā)芽的概率； （3）恰好有1粒種子發(fā)芽的概率。25、（1）0.56 （2）0.94 （3）0.3826、如圖構成系統(tǒng)的每個元件的可靠性為r（0r，r1），且各個元件能否正常工作是相互獨立的，試求圖

14、中兩種系統(tǒng)的可靠性。26、（1）rn(2-rn) （2）rn(2-r)n （2）比（1）可靠 例5. 抽樣本檢查是產品檢查的常用方法.分為返回抽樣和不返回抽樣兩種具體操作方案.現(xiàn)有100只外型相同的電路板，其中有40只A類版后60只B類板.問在下列兩種情況中“從100只抽出3只，3只都是B類”的概率是多少？ 每次取出一只，測試后放回，然后再隨機抽取下一只（稱為返回抽樣）； 每次取出一只，測試后不放回，在其余的電路板中，隨意取下一只（稱為不返回抽樣）解： 設“從100只中抽去3只，3只都是B類”為事件M，先求基本事件總數(shù)，由于每次抽去一只，測試后又放回，故每次都是從100只電路板中任取一只，這是

15、重復排列，共有個.再求M所包含的基本事件數(shù)，由于每次抽出后又放回，故是重復排列，共有 個，所以 由于取出后不放回，所以總的基本事件數(shù)為個，事件M的基本事件數(shù)為，所以 32002年全國高考天津文科卷(20) 天津理科卷(19) （本小題考查相互獨立事件同時發(fā)生或互斥事件有一個發(fā)生的概率的計算方法，考查運用概率知識解決實際問題的能力。）某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個員工上網(wǎng)的概率都是0.5 (相互獨立)。() 求至少三人同時上網(wǎng)的概率；() 至少幾人同時上網(wǎng)的概率小于0.3?解： () 至少3人同時上網(wǎng)的概率等于1減去至多2人同時上網(wǎng)的概率，即 () 至少4人同時上網(wǎng)的概率為 至少5人同時

16、上網(wǎng)的概率為 因此，至少5人同時上網(wǎng)的概率為小于0.3。42003年全國高考江蘇卷(17) 天津文科卷(20) （本小題考查相互獨立事件概率的計算，運用數(shù)學知識解決問題的能力。）有三種產品，合格率分別為0.90, 0.95和0.95，各抽取一件進行檢驗。() 求恰有一件不合格的概率； () 求至少有兩件不合格的概率。(精確到0.001)解：設三種產品各抽取一件，抽到合格產品的事件分別為A、B和C。() P(A) = 0.90，P(B) = P(C) = 0.95，P( eq oac(A,) = 0.10，P( eq oac(B,) = P( eq oac(C,) = 0.05。因為事件A、B、

17、C相互獨立，恰有一件不合格的概率為 P(A B eq oac(C,) + P(A eq oac(B,) C) + P( eq oac(A,) B C) = P(A) P(B) P( eq oac(C,) + P(A) P( eq oac(B,) P(C) + P( eq oac(A,) P(B) P(C) = 0.90 0.95 0.05 + 0.90 0.05 0.95 + 0.10 0.95 0.95 = 0.176 0.17575答：恰有一件不合格的概率為0.176。() 解法一：至少有兩件不合格的概率為P(A eq oac(B,) eq oac(C,) + P( eq oac(A,)

18、B eq oac(C,) + P( eq oac(A,) eq oac(B,) C) + P( eq oac(A,) eq oac(B,) eq oac(C,) = 0.90 0.052 + 2 0.10 0.95 0.05 + 0.10 0.052 = 0.012答：至少有兩件不合格的概率為0.012。解法二：三件都合格的概率為P(A B C) = P(A) P(B) P(C) = 0.90 0.952 = 0.812 0.81225由 () 知，恰有一件不合格的概率為0.176，所以至少有兩件不合格的概率為1 P(A B C) + 0.176 = 1 ( 0.812 + 0.176 ) =

19、 0.012。答：至少有兩件不合格的概率為0.012，52002年全國高考上海文科卷(7) 上海理科卷(7)在某次花樣滑冰比賽中，發(fā)生裁判受賄事件。競賽委員會決定將裁判由原來的9名增到14名，但只取其中7 名裁判的評分作為有效分。若14名裁判中有2人受賄，則有效分中沒有受賄裁判的評分的概率是 。(結果用數(shù)值表示)提示：所求概率為 62003年全國高考上海文科卷(9) 上海理科卷(9)某國際科研合作項目成員由11個美國人、4個法國人和5個中國人組成?，F(xiàn)從中隨機選出兩位作為成果發(fā)布人，則此兩人不屬于同一個國家的概率為 。(結果用分數(shù)表示)提示：屬于同一個國家的概率為，所求概率為 或：所求概率為 例

20、1 今有標號為1,2,3,4,5的五封信，另有同樣標號的五個信封；現(xiàn)將五封信任意地裝入五個信封，每個信封裝入一封信，試求至少有兩封信配對的概率 解 設恰有2封信配對為事件A，恰有3封信配對為事件B，恰有4封信（也即5封信配對）為事件C，則“至少有2封信配對”事件等于A+B+C，且A、B、C兩兩互斥 P(A)= ，P(B)= ，P(C)= ，所求概率為P(A)+P(B)+P(C)= 所以至少有兩封信配對的概率是 點評 只有當事件彼此互斥時, 求事件和的概率才可以使用公式P(A+B)=P(A)+P(B) 例2 從一副52張的撲克牌中任取4張，求其中至少有兩張牌的花色相同的概率 解法一 任取四張牌，

21、設至少有兩張牌的花色相同為事件A；四張牌是同一花色為事件B1；有3張牌是同一花色，另一張牌是其他花色為事件B2；每兩張牌為同一花色為事件B3；只有兩張牌為同一花色，另兩張牌為不同花色為事件B4，可見，B1，B2，B3，B4彼此互斥，且A=B1+B2+B3+B4P(B1)=，P(B2)=，P(B3)=，P(B4)=，P(A)= P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4)=0.8945解法二 由解法一知，為取出的四張牌的花色各不相同，P()=P(A)=1 P()=1=0.8945所以至少有兩張牌花色相同的概率是0.8945 點評 解法二充分運用了正難則反的思想，使解題過程清楚簡潔 只有當兩個事

22、件為對立事件時, 才可以使用公式P(A)+ P()=1 例3 擲三顆骰子（各面分別標有數(shù)字1到6的正方體玩具），試求：（1）沒有一顆骰子出現(xiàn)1點或6點的概率；（2）恰好一顆骰子出1點或6點的概率 解 （1）用A、B、C分別表示事件“第1、2、3顆骰子出現(xiàn)1點或6點”，因為每顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)互不影響，故A、B、C獨立，且P(A)= P(B)= P(C)=，沒有一顆骰子出現(xiàn)1點或6點就是事件，P()=P()P()P()=（2）“恰有一顆骰子出1點或6點”可分解為三個事件A，B，C之和，且這三個事件兩兩互斥，故所求概率為：P=P(A)+P(B)+P(C)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=3()2=點評 事件間的互斥和相互獨立是兩個不同的概念, 兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生, 兩事件相互獨立是指