高等代數(shù)(一)試題及參考答案0001

1、高等代數(shù)（一）考試試卷一、單選題（每一小題備選答案中，只有一個(gè)答案是正確的，請把你認(rèn)為正確答案的題 號填入答題紙內(nèi)相應(yīng)的表格中。錯(cuò)選、多選、不選均不給分，6小題，每小題4分，共24分）1.以下乘積中（）是4階行列式daj展開式中取負(fù)號的項(xiàng)A、aia22 033 a44.B、ai4 a23031a42.C、a12 023 a31a44.D、a23041a32a14.132.行列式0 22 a43中元素a的代數(shù)余子式是（A、02B、C、D、3.設(shè)A, B都是n階矩陣，若AB O,則正確的是（）.A、r（A） r（B） n.B、A 0.C、A O或 B O.D、|A 0.4,下列向量組中，線性無關(guān)的

2、是（）.A、0.B、 0,1, 2,1 r ,其中 1 m 2 .1, 2, , r ,其中任一向量都不能表示成其余向量的線性組合.設(shè)A是n階矩陣且r（A） r n,則人中（）A、必有r個(gè)行向量線性無關(guān).B、任意r個(gè)行向量線性無關(guān).C、任意r個(gè)行向量構(gòu)成一個(gè)極大線性無關(guān)組.D、任意一個(gè)行向量都能被其它r個(gè)行向量線性表出. n階矩陣A具有n個(gè)不同的特征值是A與對角陣相似的（）條件.A、充要.B、充分非必要. C、必要非充分. D、非充分非必要二、判斷題（正確的打M錯(cuò)誤的打入 5小題，每小題2分，共10分）.若A為n階矩陣，k為非零常數(shù)，則|kA kA.若兩個(gè)向量組等價(jià)，則它們包含的向量個(gè)數(shù)相同.

3、對任一排列施行偶數(shù)次對換后，排列的奇偶性不變.正交矩陣的逆矩陣仍是正交矩陣.任何數(shù)域都包含有理數(shù)域.、填空題（每空4分，共24分） TOC o 1-5 h z 0000IIIIII0 n 1 n0012 0 III III 00002 . 已知 5(1,0, 1) 3(1,0,2)(1, 3, 1),(4, 2,1), 則3.矩陣A1232112581111102 ,則 r(A)4 312an% 42X24.設(shè)線性方程組a2iXi222X2III HI III IIaniXian2X2d MH xnxn n n a2an其系數(shù)矩陣A與增廣矩陣人的秩分(,)別為s和t,則s與t的大小關(guān)系是5.a

4、111.計(jì)算行列式（1）1a111a111四、計(jì)算題（4小題，共42分）2,用基礎(chǔ)解系表出線性方程組111111；(2)165411362516a1216125642x2X33x42X512x1X2X3X43X56X22x32X42X522X1 3x2 5x3 17x4 10 x5（每小題6分，共12分）的全部解.（10分）53.求與向量組1分）(1,1,1,1), 2 (1, 1,0,4), 3 (3,5,1, 1)等價(jià)的正交單位向量組.(102 1 14.求矩陣A0 2 0的特征根和特征向量.（10分）4 1 3、單選題（每題4分，共24分）題號123456答案BCADAB、判斷題（每題2

5、分，共10分）題號12345答案XXVVV三、填空題（每空4分，共24分）n(n 1)1. ( 1) n!;3. 3 ；4(1)娓；(2) 0;s t ；5.52112四、計(jì)算題（共42分）1. （12分，每小題各6分）（1）解：a1111a1111a1111aa3111a3a11a31a1a311a(a 3) 1 1 a111a(3分)11110(a 3)0(a 3)(a 1)3(3分)注：中間步驟形式多樣，可酌情加分（2）解：11161361 216525125166412131662635525344243，此行列式為范德蒙行列式(3分)進(jìn)而原式11111654/ /=(6 1)(5 1

6、)(4 1)(5 6)(4 6)(4 5)165413635343120(3分)（10 分）解：用初等變換把增廣矩陣化為階梯形1212111122 353211362221710512103101101732177 454 1116312101103101732154177 41163121011031017得同解方程組32154177411631 213 210 115 410 0 48510 0 0000(3分)x1 2x2X3X2X35x43 X4 2 X54X514x3 8x4 5x51取X4,X5為自由未知量，得方程的一般解為X1 2x2 X31 3x4 2x5（其中X4,X5為自由

7、未知量）x2 x3 1 5x4 4x5 4x31 8x4 5x5 TOC o 1-5 h z .一 1551將 X4 0, X5 0 代入行特解 0 (一, 一 , -,0,0) . (3 分)444X1 2x2 x3 3x4 2x50用同樣初等變換，得到與導(dǎo)出組同解的方程組X2 X3 5X4 4X5 04x3 8x4 5x5 0X1 2x2 X3 3x4 2x5仍取X4,X5為自由未知量，得一般解X2 X3 5X4 4X54x38x4 5x5將X41, X50和X40, X54分別代入得到一個(gè)基礎(chǔ)解系:1 ( 1,3, 2,1,0), 2 (9, 11,5,0, 4) (3 分)所以，原方程

8、組的全部解為(1分)0 k1 1 k2 2, k1,k2為數(shù)域P中任意數(shù)。注：答案不唯一，但同一齊次方程組的基礎(chǔ)解系必等價(jià)。(10 分)解：因(1,1,1,1), 2 (1,1,0,4）, 3 （3,5,1, 1）是線性無關(guān)向量組，現(xiàn)將1, 2, 3正交化,1)34(1, 1,0,4)/1,1,1)(0, 2, 1,3)(1,1,(3(2,0)3,.1)3,2,2)T 2(3,5,1, 1)2)2,1a1414(0,2, 1,3)(6分)再將向量組2,3單位化，得1|1(2萼(0,142, 1,3),2,0).2,3就是與2,3等價(jià)的正交單位向量組。(4分)注：答案不唯（10 分）解：A的特征多項(xiàng)式為f()(1)(2)2(4分)所以A的特征值為1,2 （2重）1對應(yīng)的齊次線性方程組為x1 x2 x3 03x204x1 x2 4x30k