1-1數(shù)學(xué)物理方程及其定解條件演示教學(xué)

1、數(shù)學(xué)物理方法信息與通信工程學(xué)院李莉1教學(xué)目的通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生熟悉和掌握波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和Laplace方程等典型數(shù)學(xué)物理方程的常用解法：別離變量法、行波法、積分變換法和Green函數(shù)法等等。熟悉和掌握Bessel函數(shù)和Legendre函數(shù)等兩類特殊函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用。通過(guò)對(duì)所討論問(wèn)題的綜合分析，使學(xué)生逐步掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來(lái)解決實(shí)際物理問(wèn)題的思路和具體步驟，為電磁場(chǎng)、微波理論等后續(xù)課程的學(xué)習(xí)及培養(yǎng)初步的科研能力打下根底。2數(shù)學(xué)物理方法：數(shù)學(xué)物理方程+特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程從物理學(xué)、工程科學(xué)與技術(shù)科學(xué)的實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)出的，反映物理量之間關(guān)系的偏微分方程和積分方程。特殊函數(shù)與初等函數(shù)相

2、對(duì)；初等函數(shù)：常函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)3主要內(nèi)容第4章 數(shù)學(xué)物理方程及其定解條件 4.1 根本方程的建立 4.2 定解條件 4.3 定解問(wèn)題的提法 4.4 二階線性偏微分方程的分類與化簡(jiǎn)第5章 別離變量法 5.1 1+1維齊次方程的別離變量法 5.2 二維Laplace方程的定解問(wèn)題 5.3 非齊次方程的解法 5.4 非齊次邊界條件的處理4第6章 二階常微分方程的級(jí)數(shù)解法 本征值問(wèn)題6.1 二階常微分方程的級(jí)數(shù)解法6.2 Sturm-Liouville斯特姆-劉維爾本征值問(wèn)題第7章 Bessel函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 7.1 Bessel方程的引入 7.2 Bess

3、el函數(shù)的性質(zhì) 7.3 Bessel函數(shù)的應(yīng)用 *7.4 修正Bessel函數(shù) *7.5 可化為Bessel方程的方程5第8章 Legendre 多項(xiàng)式及其應(yīng)用 8.1 Legendre 方程及Legendre 多項(xiàng)式的引入 8.2 Legendre 多項(xiàng)式的性質(zhì) 8.3 Legendre多項(xiàng)式的應(yīng)用 *8.4 關(guān)聯(lián)Legendre 多項(xiàng)式及其應(yīng)用 *8.5 其它特殊函數(shù)方程簡(jiǎn)介第9章 行波法與積分變換法 9.1 一維波動(dòng)方程的DAlember(達(dá)朗貝爾)公式 9.2 三維波動(dòng)方程的Poisson公式 9.3 Fourier積分變換法求定解問(wèn)題 9.4 Laplace變換法解定解問(wèn)題6第10章

4、 Green函數(shù)法 10.1 引言 10.2 函數(shù)的定義與性質(zhì) 10.3 Poisson方程的邊值問(wèn)題 10.4 Green函數(shù)的一般求法 10.5 用電像法求某些特殊區(qū)域的Dirichlet-Green函數(shù)7教學(xué)根本要求掌握波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程、Laplace方程的物理背景及其定解問(wèn)題的提法；熟練掌握三類方程定解問(wèn)題的解法：別離變量法，行波法、積分變換法等；熟悉Bessel函數(shù)和Legendre函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。8物理過(guò)程數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)解物理解學(xué)習(xí)方法物理現(xiàn)象4-1 根本方程的建立根本方程是一類或幾類物理現(xiàn)象滿足的普遍規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)任務(wù)：將物理規(guī)律“翻譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，即列出某類物理現(xiàn)象所滿足的

5、數(shù)學(xué)物理方程常用的方法：微元法：在整個(gè)系統(tǒng)中分出一個(gè)小局部，分析鄰近局部與這一小局部的相互作用，通過(guò)對(duì)表達(dá)式的化簡(jiǎn)、整理，即得到所研究問(wèn)題滿足的數(shù)學(xué)物理方程規(guī)律法：將物理規(guī)律比方Maxwell方程組用容易求解的數(shù)學(xué)物理方程表示出來(lái)統(tǒng)計(jì)法：通過(guò)統(tǒng)計(jì)規(guī)律建立所研究問(wèn)題滿足的廣義數(shù)學(xué)物理方程，常用于經(jīng)濟(jì)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域。10 波動(dòng)方程均勻弦的微小橫振動(dòng)設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦，平衡時(shí)沿直線拉緊，而且除了受不隨時(shí)間變化的張力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用。下面研究弦作微小橫振動(dòng)的規(guī)律。所謂“橫向是指全部運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)在一個(gè)平面內(nèi)，而且弦上的點(diǎn)沿垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)。所謂“微小是指運(yùn)動(dòng)的幅度及弦在任意位置

6、處切線的傾角都很小，以致它們的高于一次方的項(xiàng)可以忽略不計(jì)。弦是均勻的，設(shè)其線密度為 ；11弧段兩端所受張力為 和設(shè)弦上具有橫坐標(biāo)為x的點(diǎn)，在時(shí)刻t的位置為M，其位移MN記為u。顯然，在振動(dòng)過(guò)程中，位移u是變量x和t的函數(shù)，即采用微元法來(lái)建立位移u滿足的方程：把弦上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)先看成小弧段的運(yùn)動(dòng)，然后再考慮小弧段趨于零的極限情況。在弦上任取一弧段 ，其長(zhǎng)度為ds，由于假定弦是柔軟的，所以在任意點(diǎn)處張力的方向總是沿著弦在該點(diǎn)的切線方向。是弦的線密度12現(xiàn)在考慮弧段 在t時(shí)刻的受力和運(yùn)動(dòng)情況。根據(jù)牛頓第二定律，作用于弧段上任一方向上力的總和等于這段弧的質(zhì)量乘以該方向上的運(yùn)動(dòng)加速度。在x方向弧段 受力總和

7、為由于弦只做橫向運(yùn)動(dòng)，所以按照弦作微小振動(dòng)的假設(shè)，可知在振動(dòng)過(guò)程中，弦上M和M點(diǎn)處切線的傾角都很小，即：13略去 和 的所有高于一次方的項(xiàng)時(shí)，就有由代入式便可近似得到：在u方向弧段 受力總和為其中， 是 的重力。14當(dāng) 時(shí)，小弧段在時(shí)刻t沿u方向的加速度近似為 ，小弧段的質(zhì)量為由牛頓第二定律有將近似式代入，15上式左端方括號(hào)的局部是由于x產(chǎn)生 的變化引起的 的改變量，可以用微分近似代替：所以式*變?yōu)?或一般來(lái)說(shuō)，張力較大時(shí)弦振動(dòng)的速度變化很快，即 要比g大得多，所以可以把g略去?？傻茫浩渲?，這就是均勻弦的橫振動(dòng)所滿足的泛定方程。它是一種波動(dòng)方程。由于在空間上是一維的，故稱一維波動(dòng)方程。16其中

8、， ，表示t時(shí)刻單位質(zhì)量的弦在x點(diǎn)所受的外力。如果均勻弦上沿位移方向還經(jīng)受外力場(chǎng)作用，單位長(zhǎng)度弦上所受之力，即力密度為F(x,t)。那么在方程左端還應(yīng)加上一項(xiàng)外力 。受迫振動(dòng)那么方程組應(yīng)該變?yōu)椋褐貜?fù)以上的推導(dǎo)過(guò)程，可得有外力作用時(shí)弦的振動(dòng)方程為：*式*稱為弦的受迫振動(dòng)方程。17包括有非零自由項(xiàng)的方程稱為非齊次方程。自由項(xiàng)恒等于零的方程稱為齊次方程。方程*為一維齊次波動(dòng)方程，方程*為一維非齊次波動(dòng)方程。方程*和方程*的差異在于方程 * 的右端多了一個(gè)與未知函數(shù)u無(wú)關(guān)的項(xiàng)f(x,t)，這個(gè)項(xiàng)稱為自由項(xiàng)。*18桿的質(zhì)量密度為 ，橫截面為S常數(shù)，長(zhǎng)度為 均勻彈性桿的微小縱振動(dòng)一根彈性桿中任意小段受外界

9、影響發(fā)生縱振動(dòng)，必使其相鄰局部發(fā)生伸長(zhǎng)或縮短。最終，桿上任意小段的縱振動(dòng)必然傳播到整根桿。這種振動(dòng)的傳播就是波。彈性模量E：桿伸長(zhǎng)單位長(zhǎng)度所需的力x點(diǎn)在t時(shí)刻的縱向位移為u(x,t) 。外力密度為F(x,t)，應(yīng)力 ：桿在伸縮過(guò)程中各點(diǎn)相互之間單位截面上的作用力：桿上x點(diǎn)在t時(shí)刻的應(yīng)力。應(yīng)變：桿的相對(duì)伸長(zhǎng)19x點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)椋喝鐖D，AB段的相對(duì)伸長(zhǎng)是：由于振動(dòng)是微小的，可認(rèn)為不超過(guò)桿的彈性限度由牛頓第二定律，可得x,x+x段的運(yùn)動(dòng)方程為：虎克Hooke定律：應(yīng)力=彈性模量*應(yīng)變20將虎克定律 代入上式 得：將函數(shù) 在 處展開為泰勒級(jí)數(shù)并取前兩項(xiàng)，得：其中， 滿足21以 除上式兩端，得：令 ，得：記

10、方程變?yōu)椋阂痪S波動(dòng)方程22傳輸線方程對(duì)于直流電或低頻的交流電，基爾霍夫Kirchhoff定律指出同一支路中電流相等。但對(duì)于較高頻率的指頻率還沒(méi)有高到能顯著地輻射電磁波的情況，電路中的導(dǎo)線的自感和電容的效應(yīng)不可忽略，因而同一支路中電流未必相等。考慮一來(lái)一往的高頻傳輸線具有分布參數(shù)的導(dǎo)體在具有分布參數(shù)的導(dǎo)體中，電流通過(guò)的情況，可以用電流強(qiáng)度I與電壓V來(lái)描述，此處I與V都是 的函數(shù),記作 與 。R每一回路單位的串聯(lián)電阻； L每一回路單位的串聯(lián)電感；C每單位長(zhǎng)度的分路電容； G每單位長(zhǎng)度的分路電導(dǎo)。23采用微元法根據(jù)基爾霍夫第二定律，在長(zhǎng)度為的傳輸線中，電壓降應(yīng)等于電動(dòng)勢(shì)之和，即兩邊除以 ，并令 ，可

11、得另外，由基爾霍夫第一定律，流入節(jié)點(diǎn)的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流，即可得24即I 和V應(yīng)滿足如下方程組：從這個(gè)方程組消去V (或I), 即可得到I (或V)所滿足的方程。2512將方程1對(duì)x微分假定V與I對(duì)x,t都是二次連續(xù)可微的，得：同時(shí)在方程2兩端乘以C后再對(duì)t微分，可得：將兩個(gè)結(jié)果相減，即得：26將 代入上式，得電流I滿足的微分方程類似可得電壓V滿足的方程：傳輸線方程27根據(jù)不同的具體情況，對(duì)參數(shù)R ,L, C, G作不同的假定，就可以得到傳輸線方程的各種特殊形式。無(wú)損耗傳輸線：此時(shí)傳輸線方程可簡(jiǎn)化為無(wú)損耗傳輸線方程28假設(shè)令這兩個(gè)方程與一維齊次波動(dòng)方程標(biāo)準(zhǔn)形式完全相同。由此可見，同一個(gè)

12、方程可以用來(lái)描述不同的物理現(xiàn)象。一維波動(dòng)方程只是波動(dòng)方程中最簡(jiǎn)單的情況，在流體力學(xué)、聲學(xué)及電磁場(chǎng)理論中，還要研究高維的波動(dòng)方程。29電磁波方程電磁場(chǎng)由電場(chǎng)強(qiáng)度E，電位移矢量D，磁場(chǎng)強(qiáng)度H，磁感應(yīng)強(qiáng)度B描述。電磁場(chǎng)的規(guī)律由以下的麥克斯韋方程組表述：其中， 是自由電荷密度， 是傳導(dǎo)電流密度。這組方程還必須與下述場(chǎng)的物質(zhì)方程相聯(lián)立其中， 是介質(zhì)的介電常數(shù)， 為導(dǎo)磁率， 為導(dǎo)電率。1-11-21-31-42-12-22-330哈密頓算符：運(yùn)算規(guī)那么：是個(gè)矢量微分算子，在運(yùn)算中具有矢量和微分雙重性質(zhì)。梯度：標(biāo)量場(chǎng)在這一點(diǎn)的最大變化率。旋度：矢量場(chǎng)中某一點(diǎn)的最大環(huán)流量。散度：矢量場(chǎng)中某一點(diǎn)的通量。表示源的大小。31在方程組1中，E和H是相互耦合的。設(shè)法脫耦，導(dǎo)出E和H單獨(dú)滿足的方程。例如，先消去E:在方程1-4左端求旋度，并利用方程2-1和2-31-11-2