線段的垂直平分線優(yōu)質(zhì)課教案

1、 /5線段的垂直平分線【教學(xué)目標(biāo)】1經(jīng)歷線段垂直平分線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，初步掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，體會(huì)辨證思想；2能運(yùn)用線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題；3通過(guò)從操作實(shí)驗(yàn)到演繹推理的數(shù)學(xué)活動(dòng)，認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)歸納和演繹推理的作用。【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理；難點(diǎn)：線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理的應(yīng)用?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】課件，三角尺，學(xué)案【教學(xué)過(guò)程】一、情景引入1引例：區(qū)政府為了方便居民日常生活，計(jì)劃開一家大超市，為了使該超市到A，B，C三個(gè)居民小區(qū)的距離相等，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)一下，這個(gè)超市應(yīng)該建在哪里呢？B小區(qū)C小區(qū)2.回顧，導(dǎo)入a小區(qū)提問(wèn)1：線段是

2、不是軸對(duì)稱圖形？如果是，那么請(qǐng)說(shuō)明它的對(duì)稱軸在哪里？提問(wèn)2：如圖，線段AB關(guān)于直線MN對(duì)稱，在直線MN上任取一點(diǎn)P,分別聯(lián)結(jié)PA.PB,那么線段PA與PB一定相等嗎？揭示課題：線段的垂直平分線二、學(xué)習(xí)新知（一）探究新知線段的垂直平分線的性質(zhì)定理操作：以直線MN為折痕將這個(gè)圖形翻折，觀察點(diǎn)P的位置動(dòng)不動(dòng)?點(diǎn)A與點(diǎn)B是否重合？你得到哪些線段相等？歸納：如果一個(gè)點(diǎn)在一條直線的垂直平分線上，那么分別聯(lián)結(jié)這點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)所得的兩條線段相等。驗(yàn)證：證明這個(gè)命題，寫出已知和求證。已知：如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)C,點(diǎn)P在直線MN上。求證：PA=PB.分析：如圖，當(dāng)點(diǎn)P不在線段AB上時(shí)，

3、要證明PA=PB，只需要證厶PCA95PCB.由直線MN是線段AB的垂直平分線，可知CA=CB，ZPCA=ZPCB，再加上PC為公共邊，三角形全等即可得到。特別地，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，此時(shí)PA=PB當(dāng)然也成立。證明：/MN是線段AB的垂直平分線（已知）MN丄AB,AC=BC（線段垂直平分線的定義）設(shè)點(diǎn)P在線段AB外時(shí)，TMN丄AB（已證）ZPCA=ZPCB=90（垂直的定義）在APCA和APCB中，（AC=BC（已證）ZPCA=ZPCB（已證）PC=PC（公共邊）PCAAPCB（S.A.S）PA=PB（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，即PA=PB歸

4、納線段垂直平分線的性質(zhì)定理：文字語(yǔ)言：線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等符號(hào)語(yǔ)言：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.PA=PB辨析練習(xí)：如圖（1）：若AC垂直平分BD，則AB=如圖（2）:若BD垂直平分AC，則AB=如圖（3）:若AC、BD互相垂直平分，則AB=如圖（4）:PD、PE分別垂直平分線段AB、BC,則PAPC1）(3)DABD2）2逆定理：提問(wèn)：線段垂直平分線的逆命題是什么？逆命題正確嗎？原命題：如果有一個(gè)點(diǎn)為線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等。逆命題：如果一個(gè)點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)是這條線段垂直平分線上的一點(diǎn)。簡(jiǎn)寫為：和

5、一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的直平分線上。符號(hào)語(yǔ)言：PA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上驗(yàn)證：已知：如圖，PA=PB證明：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上。分析：為了證明點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，可以先經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作線段AB的垂線MN，然后證明直線MN平分線段AB.證明：過(guò)點(diǎn)P作MN丄AB,垂足為點(diǎn)C/PA=PB（已知）PC丄AB（已作）AC=BC（等腰三角形底邊上的高平分底邊）PC是線段AB的垂直平分線即點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上特別地，當(dāng)P就在AB的中點(diǎn)上時(shí)，結(jié)論正確嗎？綜上所述，這條逆命題是正確的，也就是說(shuō)，線段的垂直平分線有它的逆定理。3線段的垂直平分線性質(zhì)定理和逆定理的區(qū)

6、別：性質(zhì)定理是歸納線段垂直平分線上點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離的數(shù)量關(guān)系。逆定理是歸納和一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)與線段的位置關(guān)系。（二）應(yīng)用新知，嘗試反饋例題1已知：如圖，AB=AC,DB=DC,E是AD上一點(diǎn)。求證：BE=CE。證明：聯(lián)結(jié)BC./AB=AC,DB=DC.點(diǎn)A、D在線段的垂直平分線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上）AD是線段BC的垂直平分線,點(diǎn)E在AD上,BE=CE（線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）?！菊f(shuō)明】本例綜合運(yùn)用了線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理,通過(guò)本例讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用這兩個(gè)定理解決幾何問(wèn)題,并且明確這兩個(gè)定理各自的作

7、用,性質(zhì)定理可以用來(lái)證明線段相等,學(xué)生原有證明線段相等的思維模式包括利用全等三角形和等角對(duì)等邊,通過(guò)本例知道證明線段相等又多了一種途徑。對(duì)于線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理的應(yīng)用,部分學(xué)生可能錯(cuò)誤地認(rèn)為“因?yàn)榈骄€段兩端距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上,所以過(guò)到線段兩端距離相等的點(diǎn)的直線是這條線段垂直平分線”,在本例教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)過(guò)一點(diǎn)不能確定一條直線,判定一條直線是已知線段的垂直平分線,必須有和已知線段兩端距離相等的的兩個(gè)點(diǎn)才能確定這條直線。同步練習(xí)：如圖，已知AB=AC,ZABD=ZACD，求證：AD是線段BC的垂直平分線。A證明：.AB=AC（已知）ZABC=ZACB（等邊對(duì)等角）又ZA

8、BD=ZACD（已知）ZABD-ZABC=ZACD-ZACB（等式性質(zhì)）即ZDBC=ZDCBDB=DC（等角對(duì)等邊）VAB=AC（已知）DB=DC（已證）點(diǎn)A和點(diǎn)D都在線段BC的垂直平分線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）AD是線段BC的垂直平分線。（三）實(shí)際應(yīng)用，拓展新知現(xiàn)在我們可以來(lái)解決之前引例中的問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生討論得出只需要畫出三角形其中兩邊的垂直平分線，得到它們的交點(diǎn)即為所求，并且第三邊的垂直平分線也必過(guò)這個(gè)交點(diǎn)。由此自然引出例題2的教學(xué)，證明上述結(jié)論成立。例題2NO已知：如圖，在ABC中，OM、ON分別是AB、AC的垂直平分線，OM與ON相交與點(diǎn)0。求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。分析：要引導(dǎo)學(xué)生想到本例的關(guān)鍵在于分別聯(lián)結(jié)OB、OA、OC證明：分別聯(lián)結(jié)OB、OA、0C.TOM、ON分別是AB、AC的垂直平分線（已知）OA=OB,OA=OC（線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）OB=OC（等量代換）點(diǎn)O在BC的垂直平分線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這