信息光學(xué)(第二版)05-二維線性系統(tǒng)分析1-傅里葉變換課件

1、1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、定義及存在條件函數(shù)f(x,y)在整個(gè)x-y平面上絕對(duì)可積且滿足狄氏條件(有有限個(gè)間斷點(diǎn)和極值點(diǎn),沒(méi)有無(wú)窮大間斷點(diǎn)), 定義函數(shù)為函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換, 記作: F(fx,fy)= f(x,y)=F.T.f(x,y), 或 f(x,y) F(fx,fy)F.T.f(x,y): 原函數(shù), F(fx,fy): 像函數(shù)或頻譜函數(shù)變換核積分變換:傅里葉變換的核:exp(-j2pfx)1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、定義(續(xù))由頻譜函數(shù)求原函數(shù)的過(guò)程稱(chēng)為傅里葉逆變換:f(x,y)和F(fx,

2、fy)稱(chēng)為傅里葉變換對(duì)記作: f(x,y)= -1F(fx,fy). 顯然 -1 f(x,y)= f(x,y) 綜合可寫(xiě): f(x,y) F(fx,fy)F.T.F.T.-1x (y) 和 fx (fy )稱(chēng)為一對(duì)共軛變量, 它們?cè)诓煌姆懂?時(shí)空域或頻域) 描述同一個(gè)物理對(duì)象.1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、定義(續(xù))描述了各頻率分量的相對(duì)幅值和相移.x, y, fx , fy 均為實(shí)變量，F(xiàn)(fx,fy)一般是復(fù)函數(shù), F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf (fx,fy)振幅譜位相譜F(fx,fy)是f(x,y)的頻譜函數(shù)1-2 二維傅里葉變換

3、 2-D Fourier Transform廣義 F.T.對(duì)于某些不符合狄氏條件的函數(shù), 求F.T.的方法.例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可積對(duì)某個(gè)可變換函數(shù)組成的系列取極限不符合狄氏條件的函數(shù),函數(shù)系列變換式的極限原來(lái)函數(shù)的廣義F. T.可定義: g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 則 g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 二、廣義 F.T.根據(jù)廣義傅立葉變換的定義和d 函數(shù)的定義: g(x,y)=limt2sinc(tfx)sinc(tfy) = d(fx

4、, fy) t 則 rect(x/t)rect(y/t) =t2sinc(tfx)sinc(tfy) 1 = d(fx, fy)按照廣義變換的概念可以得出一系列特殊函數(shù)的F.T.rect( )重要推論: rect(x) =sinc(fx)1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 二、 極坐標(biāo)下的二維傅里葉變換和傅里葉-貝塞爾變換特別適合于圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)的F.T. 依F.T.定義: 極坐標(biāo)變換1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 極坐標(biāo)下的二維傅里葉變換令: 則在極坐標(biāo)中:則極坐標(biāo)下的的二維傅里葉變換定義為：1-2 二維傅里葉變換 2-D Fo

5、urier Transform 傅里葉-貝塞爾變換圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)的F.T.仍是圓對(duì)稱(chēng)函數(shù), 稱(chēng)為F-B (傅-貝)變換,記為G(r) = g(r), g(r) = -1G(r) 當(dāng) f 具有園對(duì)稱(chēng)性，即僅是半徑r的函數(shù):f(x,y)= g(r,q) = g (r). 依F.T.定義: 利用貝塞爾函數(shù)關(guān)系1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 傅里葉-貝塞爾變換例: 利用F-B變換求圓域函數(shù)的F.T.定義: 是圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)作變量替換, 令r =2prr, 并利用:1-2 二維傅里葉變換2-D Fourier Transform三. 虛、實(shí)、奇、偶函數(shù)的 F.T.將頻譜函數(shù)G

6、(f)分別寫(xiě)成實(shí)部(余弦變換)和虛部(正弦變換), 然后根據(jù)g(x)的虛、實(shí)、奇、偶 性質(zhì)討論頻譜的相應(yīng)性質(zhì).注意: 并非實(shí)函數(shù)的頻譜一定是實(shí)函數(shù).只有厄米函數(shù)(實(shí)部為偶函數(shù),虛部為奇函數(shù))的頻譜才一定是實(shí)函數(shù).例: rect (x) (實(shí)、偶) sinc(fx) (實(shí)、偶) F.T.但是, rect (x-1) (實(shí)、非偶) 復(fù)函數(shù) F.T.1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform四、 F.T.定理 - F.T.的基本性質(zhì)1. 線性定理 Linearity 設(shè) g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T.F.T.2. 空間縮放 Sca

7、ling (相似性定理）ag(x,y)+b h(x,y)=a G(fx,fy) + b H(fx,fy)F.T.是線性變換 1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 空間縮放注意空域坐標(biāo)(x,y)的擴(kuò)展(a,b1),導(dǎo)致頻域中坐標(biāo)(fx,fy)的壓縮及頻譜幅度的變化. 反之亦然.g(x)x01/2-1/21g(ax) a=2x01/4-1/41fG(f)01-11f02-21/2空域壓縮F.T.F.T.頻域擴(kuò)展1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 3. 位移定理 Shifting g(x-a, y-b)= G(fx, fy

8、) exp-j2p(fxa+fyb) 設(shè) g(x,y) G(fx,fy), F.T.頻率位移:原函數(shù)在空間域的相移,導(dǎo)致頻譜的位移.g(x,y) expj2p(fax+fby)= G(fx- fa, fy- fb)空間位移:原函數(shù)在空域中的平移,相應(yīng)的頻譜函數(shù)振幅分布不變,但位相隨頻率線性改變.推論:由1= d (fx,fy)expj2p(fax+fby)= d (fx- fa, fy- fb)復(fù)指函數(shù)的F.T.是移位的d 函數(shù)1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 4. 帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓,則| g(x)

9、 |2dx 代表信號(hào)的總能量(或總功率) | G(f) |2代表能量(功率)的譜密度(單位頻率間隔的能量或功率) 設(shè) g(x,y) G(fx,fy), F.T.Parseval定理說(shuō)明,信號(hào)的能量由|G(f)|2曲線下面積給出.或者說(shuō)等于各頻率分量的能量之和能量守恒1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 - Parseval定理的證明交換積分順序,先對(duì)x求積分:利用復(fù)指函數(shù)的F.T.利用d 函數(shù)的篩選性質(zhì)1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 5. 卷積定理空域中兩個(gè)函數(shù)的卷積, 其F.T.是各自F.T.的乘積.g(x,y)* h(x,y)= G(fx,fy) . H(fx,fy) 設(shè) g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T.F.T.g(x,y) . h(x,y)= G(fx,fy)