選修4坐標系教案絕對經典

1、選修4-4坐標系與參數(shù)方程第1節(jié)坐標系【最新考綱】 i.了解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平 面圖形的變化情況；2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點 的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化；3.能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程.【高考會這樣考】1.坐標系的變換；2.極坐標與直角坐標的互化 要點梳理.平面直角坐標系中的坐標伸縮變換、一 , x=2x( A0),.，一設點P(x, y)是平面直角坐標系中的任息一點，在變換 ?。?，的作 TOC o 1-5 h z y = q(0)用下，點P(x, y)對應到點Px(, y,)稱小為平面直角坐標系中的坐標伸縮

2、變換.極坐標系與點的極坐標(1)極坐標系：如圖所示，在平面內取一個定點0(極點)；自極點O 股由力 引一條射線0 x(極軸)；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常1取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐”標系.(2)極坐標：平面上任一點M的位置可以由線段0M的長度p和從Ox到0M的角 度8來刻畫，這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(p,。稱為點M的極坐標.其中p稱為點M 的極徑，0稱為點M的極點.3.極坐標與直角坐標的互化點M直角坐標(x, y)極坐標(p, $互化公式x= 0S 0, psin 0I + y2tan 8=；(xw0)4.圓的極坐標方程曲線圖形極坐標方程(1)直線l

3、過極點，且極軸到此直線的角為j則直線l的極坐標方程是 壇“pCR).(2)直線l過點M(a, 0)且垂直于極軸，則直線l的極坐標方程為pcos A a. 九一 一. (3)直線過M b, 2且平行于極軸，則直線l的極坐標萬程為 酬_ 8= b.基礎自測.思考辨析(在括號內打“、或“X”)(1)平面直角坐標系內的點與坐標能建立一一對應關系，在極坐標系中點與坐標也是一 一對應關系.()若點P的直角坐標為(1, -V3),則點P的一個極坐標是2, -3.()在極坐標系中，曲線的極坐標方程不是唯一的.() TOC o 1-5 h z (4)極坐標方程8=九60)表示的曲線是一條直線.()答案 (1)

4、X ，(3)，(4) X.若以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段 y =1x(0&x&1)的極坐標方程為().1C 1 0冗p=.00cos 0+ sin 02f1c 1 “ 冗p= n . n, 00/cos 0+ sin 04.jtp= cos 0+ sin 0, 0 02p= cos 0+ sin 0, 0 0y4解析 y= 1 x(0 x 1),psin 4 1 pcos 0(0 pcos 00),的作用下的變換方y(tǒng) = N y (戶0)xx=，程的求法是將 ，代入v= f(x),整理得y = h(x為所求.y= y2.解答該類問題應明確兩點：一是根據(jù)平面

5、直角坐標系中的伸縮變換公式的意義x(, y的坐標關系，用方程與作用；二是明確變換前的點P(x, y)與變換后的點P 思想求解.【變式練習U 在平面直角坐標系中，已知伸縮變換?。簒 = 3x, 2y = y.1求點A 3, 2經過小變換所得點A的坐標；(2)求直線l: y = 6x經過小變換后所得直線l的方程.解(1)設點Ax(, y,)由伸縮變換力:x = 3x, 2y=y,x = 3x,行 ，yy=2,1-)x= Mi一 2y= y= 1.點A的坐標為(1, 1).設Px(, y是直線l上任意一點.x = 3x, x= T ,由伸縮變換小： ， 得32y = y, o ， 33 y=2y .

6、代入 y=6x, 得 2y = 65 = 2x； 即 y = x ,3；y=x為所求直線l的方程.考點二極坐標與直角坐標的互化【例21】在極坐標系下，已知圓O:-cos 0+ sin 8和直線l: psin 0 /=岑.求圓O和直線l的直角坐標方程；當 此（0,冗時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標.解 （1）圓 O： p= cos 0+ sin 以即（=2= pcos 0+ psin 0,圓O的直角坐標方程為：x2 + y2=x+y,即 x2 + y2 x y=0, 直線 l: psin 04 =乎, 即 psin 0 pcos 卜 1,x= 0, y= 1則直線l的直角坐標方程為：y- x

7、= 1,即x y+1 = 0.由x2 + y2 x y=0,x-y+ 1=0, 冗故直線l與圓o公共點的一個極坐標為1,萬.【例2 2】在極坐標系中，已知極坐標方程C1： os W3psin 9- 1 = 0, C2: p= 2cos a（1）求曲線C1, C2的直角坐標方程，并判斷兩曲線的形狀; 若曲線C1, C2交于A, B兩點，求兩交點間的距離. 解 （1）由 Ci： pcos 9-，3psin 9-1=0,.x Y3y- 1 = 0,表小一條直線.由C2 ：尸2cos 0,得 孑=2os 0.x2+y2 = 2x,即（x1）2 + y2= 1.所以C2是圓心為（1, 0）,半徑r=1的

8、圓.(2)由(1)知，點(1, 0)在直線 x43y 1 = 0 上, 所以直線Ci過圓C2的圓心.因此兩交點A, B的連線段是圓C2的直徑.所以兩交點A, B間的距離|AB| = 2r = 2.規(guī)律方法1.進行極坐標方程與直角坐標方程互化的關鍵是抓住互化公式；x =pcos 0, y二 in 0, p =x2+ y2, tan 仁y(xwo).2.進行極坐標方程與直角坐標方程互化時，要注意 a 8的取值范圍及其影響；要 善于對方程進行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用；要靈活運用代入法和 平方法等技巧.【變式練習2】(1)在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極 軸建立極坐標

9、系.已知點A的極坐標為 也 j,直線的極坐標方程為fcos 84 = a,且點A在直線上，求a的值及直線的直角坐標方程.(2)把曲線C1： x2 + y2-8x- 10y+16=0化為極坐標方程.斛(1)丁點 A42, 4 在直線 pcos 0- j=a 上，匚 冗 冗 匚 . a = A/2cos 4 4 =2,所以直線的方程可化為pcos 9+ psin卜2, 從而直線的直角坐標方程為x+ y 2= 0.(2)將 x 8s 9，代入 x2+y28x10y+ 16 = 0, y= psin 0得 p- 8 pcos 9-10 psin 計 16= 0,所以C1的極坐標方程為 -8 pcos

10、9- 10 psin升16 = 0.考點三曲線極坐標方程的應用【例31】 在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立 極坐標系，曲線C1的極坐標方程為pcos44.設點M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且|OM| |OP|=16,求點P的 軌跡C2的直角坐標方程；. 九 , . 一.，.設點A的極坐標為2, 3，點B在曲線C2上，求AOAB面積的最大值.解（1）設P的極坐標為（p,。（戶0）, M的極坐標為（ ,肌例0）.4由題設知 |OP|= p, |OM|=.cos由|OM| |OP|= 16得C2的極坐標方程為p= 4cos 0（仍0）.因此C2的直角坐標方程為（

11、x2）2 + y2=4（xw0）.設點B的極坐標為（但，0（但0）.%于是 8AB的面積_TCa - sin a 3由題設知QA| = 2,但= 4cosc 1-S=/|OA| 但 sin/AOB= 4cos =2 sin 2a 3坐 02 +5.當a=我時，S取得最大值2+6.x=acos t,y=1 + asin t(t 為參數(shù),所以AOAB面積的最大值為2+73.【例3 2】在直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為 a0）.在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：-4cos 0.說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；直線C3的極坐標方程為 仁外其中如滿

12、足tan如=2,若曲線C1與C2的公共 點都在C3上,求a.解 消去t,得C1的普通方程x2+（y-1）2= a2,曲線C1表示以點（0, 1）為圓心，a為半徑的圓.將乂= pcos 9, y= psin 8代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為 十一2 psin 9+ 1 a2 = 0.曲線C1 , C2的公共點的極坐標滿足方程組p 2 .in 8+ 1 a2 0,尸 4cos 0.若 pwQ 由方程組得 16co$ 0 8sin 0cos 0+ 1 a2 = 0,由已知 tan 0= 2,可得 16cos2 8-8sin 匕os 仁0,從而 1a2=0,解得 a=1（舍去），a=1.

13、當a=1時，極點也為C1, C2的公共點，且在C3上.所以a= 1.規(guī)律方法1.（1）例31中利用極徑、極角的幾何意義，表示 9OB的面積，借助 三角函數(shù)的性質求最值優(yōu)化了解題過程 例3 2第（1）題將曲線Ci的參數(shù)方程先化成普通方程，再化為極坐標方程，考 查學生的轉化與化歸能力.第（2）題中關鍵是理解極坐標方程的含義，消去 p,建立 與直線C3：仁磅的聯(lián)系，進而求a.2.由極坐標方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標解決， 可先轉化為直角坐標方程，然后求解.【變式練習3】在直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為x=2cos”（小為 y=sin（|）參數(shù)），曲線C2： x2+

14、y22y= 0.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐 標系，射線I：仁0）與曲線Ci, C2分別交于點A, B（均異于原點O）.求曲線Ci, C2的極坐標方程；當0 0）與C2的極坐標方程得|OB|2=4sin2a, 則|OA|2+ |OB|2= . 2 2 + 4sin2 a=彳 2 2 + 4（i + sin2 o）-4.i + sin ai + sin a2令 t= i + sin2 % 則 |OA|2+ |OB|2=-+ 4t 4,當 0Vo1寸,t（i, 2）.、2-，,、一，、，設f（t）=： + 4t 4,易得f在（i, 2）上單調遞增， .2|OA|2+|OB|25,故|

15、OA|2+|OB|2的取值范圍是（2, 5）.課后練習A組（時間：50分鐘）A組（時間：50分鐘）.一八九，一.在極坐標系中，已知直線4pcos 0-6 +1 = 0與圓p= 2sin 8,試判定直線與圓的 位置關系.二一，兀，iL入.一，一 、一I解 由4pcos 9-6+1=0得2y3 pcos 9+ 2 psin計1=0,故直線的直角坐標萬程為 25x+ 2y+1 = 0.由-2sin 8得j=2的所0,故圓的直角坐標方程為x2 + y2 = 2y,則x2+(y1)2= 1.圓心為(0, 1),半徑為r = 1.12 1+113.圓心到直線 2，3x+2y+1 = 0 的距離 d= /

16、k=；=3/3) 2 + 22 4:直線與圓相交，有兩個公共點.以直角坐標系中的原點 O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，已知曲線2的極坐標萬程為- 1 sin 0(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)過極點O作直線l交曲線于點P, Q,若QP| = 3|OQ|,求直線l的極坐標方程.解 （1） 尸 x2 + y2, psin 卜 y,2 P= 1_而 為 P的1n 42，曲線的直角坐標方程為x2 = 4y+ 4.(2)設直線l的極坐標方程為8= 0o( pC R), TOC o 1-5 h z 22根據(jù)達思1$小I:3 1 sin (出+施，解得00=瓢祖=55， 66.、一一

17、 551r直線l的極坐標萬程 46( pc R)或 4( pc R).在極坐標系中，已知曲線 C1： p= 2與C2： sos 84 =也交于兩點A, B.(1)求兩交點的極坐標；(2)求線段AB的垂直平分線l的極坐標方程.解(1)Ci：尸2的直角坐標方程為x2 + y2 = 4,C2： pcos 0-4=2的方程即 pcos 0+ 內訪 8= 2,x2+y2= 4,由x+y 2=0,化為直角坐標方程得x+y2 = 0. TOC o 1-5 h z x = 2,x= 0,解得 或y=0y= 2, 冗所以兩父點為（0, 2）, （2, 0）,化為極坐標為2, 2 , （2, 0）.（2）易知直線

18、l經過點（0, 0）及線段AB的中點（1 , 1）,所以其方程為y = x,化為極、一一開坐標萬程得仁4（pe R）.x = tcos a,.在直角坐標系xOy中，曲線C1:（t為參數(shù)，twQ）其中0W a冗在y=tsin a以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線 C2： p= 2sin 9, C3： p= 25cos 9.求C2與C3交點的直角坐標；若C1與C2相交于點A, C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值.解（1）曲線C2的直角坐標方程為x2+ y22y=0,曲線C3的直角坐標方程為x2+ y22j3x=0.x2+ y2 2y= 0,聯(lián)立22x+y2 23x=0,x= 0,

19、 解得y= 0所以C2與C3交點的直角坐標為（0, 0）和x 2，3y=2.亞32，2 .曲線Ci的極坐標方程為 仁從pC R,產0） 其中00 a兀.因此A的極坐標為（2sin & c）, B的極坐標為（2#cos a,.，一 一-t兀所以 AB| = |2sin a 23cos o|=4 sin 民一3當a=,|AB|取得最大值，最大值為4.=1,圓C的圓心的極坐一. 冗5.在極坐標系中，已知直線l的極坐標萬程為 份in升4.一 九,標是c i, 4，圓的半徑為1.求圓c的極坐標方程；求直線l被圓C所截得的弦長.解(1)設O為極點，OD為圓C的直徑，A(p,。為圓C上的一個動點, TOC

20、o 1-5 h z 一.兀.兀則/AOD=4 8或/AOD= 9- 4，_ _冗 冗|OA|= |OD|cos4 8 或 |OA|=|OD|cos 0-4 .一一 1一.、一一 .1T所以圓C的極坐標方程為 -2cos 0- 4 .由 psin 8+4 = 1,得黑，sin 時cos。=1,直線l的直角坐標方程為x+ y-42 = 0,又圓心C的直角坐標為 坐，*滿足直線l的方程，直線l過圓C的圓心，故直線被圓所截得的弦長為直徑 2.B組(時間：30分鐘)6.在直角坐標系xOy中，直線Ci： x= 2,圓C2： (x1)2+(y2)2=1,以坐標 原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.求

21、C1, C2的極坐標方程； 一 ，一，、一I.九、一, , (2)若直線C3的極坐標萬程為 8= 4( pC R),設C2與C3的父點為M, N,求 42MN 的面積.解(1)因為x= pcos 0, y= psin 9,所以Ci的極坐標方程為pcos仁-2,C2的極坐標方程為 p-2 pcos 9- 4 psin計4= 0.(2)將 8= 4(弋入 p - 2 cos 0- 4 (Bin 0+ 4=0,得/一 3& p+ 4 = 0,解得 p1 = 2V2,陰=V2.故 初一化=&,即|MN| = q2.由于C2的半徑為1,則易得AC2MN為直角三角形，11所以AMN的面積為S= 2X12=2.7.(2018合肥二模)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為 尸4cos 9求出圓C的直角坐標方程；已知圓C與x軸相交于A,