6.3用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型課件

1、6.3 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形五、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法四、實(shí)對(duì)稱矩陣與二次型的一些性質(zhì)三、正交變換二、正交矩陣一、問題的引入六、在二次曲線中的應(yīng)用引例考察方程 所表示的曲線。由一、問題的引入利用配方法可得(1) 令(2) 令或或引例考察方程 所表示的曲線。一、問題的引入(3) 令即其中問題哪個(gè)方程描述了真正的橢圓呢？xy引例考察方程 所表示的曲線。一、問題的引入二、正交矩陣定義設(shè) A 為 n 階實(shí)矩陣，若 A 滿足則稱 A 為正交矩陣。此時(shí)顯然有例如設(shè)則有故 A 為正交矩陣。二、正交矩陣性質(zhì)(1) 若 A 為正交矩陣，則 也為正交矩陣；(2) 若 A 為正交矩陣，則 或(3)

2、若 A, B 為正交矩陣，則 A B 也為正交矩陣；(4) 方陣 A 為正交矩陣的充要條件是 A 的列(行)向量構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。證明(僅證性質(zhì) (4) 中列向量的情況)將矩陣 A 按列分塊則即 A 為正交陣A 的列向量構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。證明(僅證性質(zhì) (4) 中列向量的情況)例下列矩陣是否為正交陣？(1) A 是正交矩陣;答(2) B 不是正交矩陣。(將 B 的每一列單位化即得到正交矩陣)例設(shè)方陣 A 為正交陣，且試證 A + I 不可逆。即 A + I 不可逆。證從而有上式兩端取行列式并由 得三、正交變換若 P 為正交矩陣，則線性變換 稱為正交變換。定義 性質(zhì) 設(shè) 為線性變換，則下列命

3、題等價(jià)：(1) 線性變換 為正交變換；(2) 在線性變換 下，向量的內(nèi)積不變，即當(dāng) 時(shí)，有(3) 線性變換 把 中的標(biāo)準(zhǔn)正交基變成標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)過正交變換后，向量 (線段) 的長度、夾角保持不變，優(yōu)點(diǎn)曲線 (曲面) 的形狀、大小保持不變。正交基。(1) (2)：(2) (3)：設(shè)為 中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，經(jīng)線性變換 后得向量組從而為 中的標(biāo)準(zhǔn)正交基；即 C 為正交陣，若 為正交變換,若在線性變換 下，向量的內(nèi)積不變,證明 (采用循環(huán)證明的方法完成其等價(jià)性的證明)則有(3) (1)：設(shè)則有由于 和 都是正交陣，若 把 中的標(biāo)準(zhǔn)正交基變成標(biāo)準(zhǔn)正交基，設(shè)為 中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，經(jīng)線性變換 后得向量組也為 中的標(biāo)準(zhǔn)正交

4、基。則也是正交陣。因此從而 為正交變換。目標(biāo)求正交矩陣 P，即使得或要求(1) 矩陣 P 的列必須為 A 的特征向量；(2) 矩陣 P 的列必須為正交向量組；(3)必須是 A 的特征值。三、正交變換四、實(shí)對(duì)稱矩陣與二次型的一些性質(zhì)1. 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)(1) A 的特征值都是實(shí)數(shù)；性質(zhì)1設(shè) A 為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，則有(2) A 的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量必正交；證明(1) 設(shè) l 是 A 的特征值,又由 有故則存在 使得對(duì)上式兩端取共軛轉(zhuǎn)置，并利用 得其中 是 X 的共軛。從而有即得即實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的特征值都是實(shí)數(shù)。(a)(b)證明(2) 設(shè) 是 A 的兩個(gè)不同的特征值，分別是對(duì)應(yīng)于

5、的特征向量，則因此由 有即 與 正交。四、實(shí)對(duì)稱矩陣與二次型的一些性質(zhì)1. 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1(1) A 的特征值都是實(shí)數(shù)；設(shè) A 為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，則有(2) A 的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量必正交；性質(zhì)2設(shè) A 為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必存在正交矩陣 C，使得(數(shù)學(xué)歸納法)證明 假設(shè)性質(zhì)對(duì)于 階成立，需證對(duì)于 n 階也成立 。對(duì)于 1 階實(shí)對(duì)稱矩陣，性質(zhì)顯然成立。則 P 為正交陣，且(1) 設(shè) A 的某特征值 對(duì)應(yīng)的單位特征向量為將 擴(kuò)充為 中的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組令記為即得00其中(2) 對(duì)于 有根據(jù)歸納法假設(shè)，存在 階正交陣 使得則 Q 為正交陣，且000000000000令為 階對(duì)

6、稱矩陣，(3) 由于則 C 為正交陣，且00 令00(4) 由于定理對(duì)于任意一個(gè)給定的實(shí)二次型其中是矩陣 A 的特征值。正交變換使得四、實(shí)對(duì)稱矩陣與二次型的一些性質(zhì)1. 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)2. 主軸定理總存在(2) 求出相應(yīng)的一組線性無關(guān)的特征向量(3) 將 標(biāo)準(zhǔn)正交化注得到步驟(4) 令(1) 求出二次型對(duì)應(yīng)的矩陣A 的特征值作正交變換即得注由于實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量必正交。故標(biāo)準(zhǔn)正交化只需在每個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量之間進(jìn)行。五、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法例設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣求正交陣 C，使得特征值解(1) 由(2) 對(duì)于令即求解得基礎(chǔ)解系為單位化得單位特征向量(3)

7、對(duì)于令即求解得基礎(chǔ)解系為這兩個(gè)向量已正交，只需單位化即得：(4) 于是可得正交矩陣使得解(1) 二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣為例已知 求一個(gè)正交變換 X = PY ，將該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。由可得 A 的特征值為(2) 當(dāng) 時(shí)， 得基礎(chǔ)解系直接單位化得求解方程組因 已正交，得基礎(chǔ)解系單位化得(3) 當(dāng) 時(shí)， 求解方程組(4) 于是可得正交矩陣則有解(1) 二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣為例已知求一個(gè)正交變換 X = PY ，將該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。由可得 A 的特征值為(2) 當(dāng) 時(shí)， 得基礎(chǔ)解系對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化得求解方程組得基礎(chǔ)解系單位化得(3) 當(dāng) 時(shí)， 求解方程組(4) 于是可得正交矩陣則有六、在二次曲線中的應(yīng)

8、用例已知某二次曲線的方程為寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫出該二次曲線示意圖。解記當(dāng) 時(shí)， 求得單位化的特征向量當(dāng) 時(shí)， 求得單位化的特征向量可得 A 的特征值為(1) 由則有(2) 令即原方程 化為即xy為 軸的方向，C 的第一列，即C 的第二列，即為 軸的方向，由此即可畫出(3) 如何作圖？原方程所表示的二次曲線為1. 對(duì)稱矩陣的性質(zhì)本節(jié)小結(jié)(1) 特征值為實(shí)數(shù)；(2) 屬于不同特征值的特征向量必正交；(3) 特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的(4) 必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣。且對(duì)角矩陣個(gè)數(shù)相等；的對(duì)角線上的元素即為其特征值；而正交矩陣的列即為其特征向量。1. 對(duì)稱矩陣的性質(zhì)2. 利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟(1) 求特征值；(2) 求線性無關(guān)的特征向量；(3) 將特征向量正交化并單位化；(4) 由所求得的特征向量構(gòu)成正交矩陣；由特征值構(gòu)成對(duì)角陣。本節(jié)小結(jié)1. 對(duì)稱矩陣的性質(zhì)2. 利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，具有保持幾何特性不