1.4-導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用-第-1章-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課件

1、1.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用第 1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中簡(jiǎn)單的優(yōu)化問題.3.學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型，并會(huì)求解數(shù)學(xué)模型.學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí)題型探究 重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾 知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的步驟1.分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系yf(x)；2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0；3.比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和在f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.思考(1)什么是優(yōu)化問題？答案在生活中，人們常常遇到求使經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)最大

2、、用料最省、費(fèi)用最少、生產(chǎn)效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.(2)優(yōu)化問題的常見類型有哪些？答案費(fèi)用最省問題，利潤(rùn)最大問題，面積、體積最大問題等.答案知識(shí)點(diǎn)二解決優(yōu)化問題的基本思路思考解決生活中優(yōu)化問題應(yīng)注意什么？答案返回答案(1)當(dāng)問題涉及多個(gè)變量時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意分析它們的關(guān)系，列出變量間的關(guān)系式；(2)在建立函數(shù)模型的同時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問題確定出函數(shù)的定義域；(3)在實(shí)際問題中，由f(x)0常常得到定義域內(nèi)的根只有一個(gè)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大值(極小值)，那么不與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，也可以判斷該極值就是最大值(最小值)；(4)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要從問題的實(shí)際意義去考查，不符

3、合實(shí)際意義的應(yīng)舍去，例如，長(zhǎng)度、寬度應(yīng)大于0，銷售價(jià)格為正數(shù)等.返回 題型探究 重點(diǎn)突破解析答案題型一利潤(rùn)最大問題例1某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件.如果降低售價(jià)，銷售量就會(huì)增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元/件，0 x21)的平方成正比.已知每件商品的售價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件.(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成關(guān)于x的函數(shù)；解若每件商品單價(jià)降低x元，則一個(gè)星期多賣的商品數(shù)為kx2件.由已知條件得k2224，解得k6.若記一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)為f(x)，則有f(x)(30 x9)(4326x2)6x3126x2432x9 072，x0

4、,21.解析答案(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？解對(duì)(1)中函數(shù)求導(dǎo)得f(x)18x2252x43218(x2)(x12).當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)00f(x)9 072極小值極大值0 x12時(shí)，f(x)取得極大值.f(0)9 072，f(12)11 664，301218(元)，故定價(jià)為每件18元能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大.反思與感悟反思與感悟利潤(rùn)最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤(rùn)收入成本”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值.解此類問題需注意兩點(diǎn)：價(jià)格要大于或等于成本，否則就會(huì)虧本

5、；銷量要大于0，否則不會(huì)獲利.解析答案跟蹤訓(xùn)練1某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x噸與每噸產(chǎn)品的價(jià)格p(元/噸)之間的函數(shù)關(guān)系式為p24 200 x2，且生產(chǎn)x噸產(chǎn)品的成本為R50 000200 x(元).問：該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？解依題意，知每月生產(chǎn)x噸產(chǎn)品時(shí)的利潤(rùn)為令f(x)0，得x1200，x2200(舍去).在(0，)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x200使f(x)0，且x200是極大值點(diǎn)，200就是最大值點(diǎn)，且最大值為每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為315萬元.解析答案題型二面積、容積最值問題例2已知一扇窗子的形狀為一個(gè)矩形和一個(gè)半圓相接，其

6、中半圓的直徑為2r，如果窗子的周長(zhǎng)為10，求當(dāng)半徑r取何值時(shí)窗子的面積最大.解設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為x，半圓弧長(zhǎng)為r，反思與感悟反思與感悟在解決面積、體積的最值問題時(shí)，要正確引入變量，將面積或體積表示為關(guān)于變量的函數(shù)，結(jié)合使實(shí)際問題有意義的變量的范圍，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.解析答案跟蹤訓(xùn)練2如圖，將一個(gè)矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對(duì)角線MN過C點(diǎn)，|AB|3 m，|AD|2 m.(1)要使矩形AMPN的面積大于32 m2，則AN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e；(3)若AN的長(zhǎng)度不少于6 m，

7、則當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最??？并求出最小面積.x2，3x232x640，即(3x8)(x8)0，解析答案即當(dāng)AN的長(zhǎng)度為4 m時(shí)，S矩形AMPN取得最小值24 m2.解析答案即當(dāng)AN的長(zhǎng)度為6 m時(shí)，S矩形AMPN取得最小值27 m2.解析答案題型三成本最省問題例3甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b(b0)；固定部分為a元.(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；解析答案(2)為

8、了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？解由題意，s、a、b、v均為正數(shù).所以當(dāng)vc時(shí)，y最小.綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，反思與感悟反思與感悟選取合適的量做自變量，并根據(jù)實(shí)際確定其取值范圍，正確列出函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.其中把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，正確列出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.解析答案跟蹤訓(xùn)練3工廠A到鐵路的垂直距離為20 km，垂足為B，鐵路線上距離B處100 km的地方有一個(gè)原料供應(yīng)站C，現(xiàn)在要從BC段上的D處向工廠修一條公路，使得從原料供應(yīng)站C到工廠A所需的運(yùn)費(fèi)最省，已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為35，則D點(diǎn)應(yīng)選在何處？于是從原料供應(yīng)站C途中經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠

9、A所需總運(yùn)費(fèi)為由實(shí)際問題可知，運(yùn)輸費(fèi)用一定有最小值，而此函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，故x15時(shí)取最小值，故D點(diǎn)在距B點(diǎn)15 km處最好.例4某船由甲地逆水行駛到乙地，甲、乙兩地相距s(km)，水的流速為常量a(km/h)，船在靜水中的最大速度為b(km/h)(ba)，已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用(以元為單位)與船在靜水中的速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，則船在靜水中的航行速度為多少時(shí)，其全程的燃料費(fèi)用最省？易錯(cuò)易混因沒有注意問題的實(shí)際意義而出錯(cuò)解析答案返回防范措施錯(cuò)解設(shè)船在靜水中的航行速度為x km/h，全程的燃料費(fèi)用為y元，解析答案防范措施令y0，得x2a或x0(舍)，所以f(2a)4ask，即當(dāng)x2a時(shí)，

10、ymin4ask.故當(dāng)船在靜水中的航行速度為2a km/h時(shí)，燃料費(fèi)用最省.錯(cuò)因分析這個(gè)實(shí)際問題的定義域?yàn)?a，b，而x2a為函數(shù)的極值點(diǎn)，是否在(a，b內(nèi)不確定，所以需要分類討論，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.正解設(shè)船在靜水中的航行速度為x km/h，全程的燃料費(fèi)用為y元，解析答案防范措施令y0，得x2a或x0(舍).(1)當(dāng)2ab時(shí)，若x(a,2a)，y0，f(x)為減函數(shù)，若x(2a，b時(shí)，y0，f(x)為增函數(shù)，所以當(dāng)x2a時(shí)，ymin4ask.防范措施當(dāng)x(a，b時(shí)，y0，所以f(x)在(a，b上是減函數(shù)，綜上可知，若b2a，則當(dāng)船在靜水中的速度為b km/h時(shí)，燃料費(fèi)用最省；若b2a，則當(dāng)船在靜

11、水中的速度為2a km/h時(shí)，燃料費(fèi)用最省.在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的過程中，正確建立數(shù)學(xué)模型，找到實(shí)際問題中函數(shù)定義域的取值范圍.返回防范措施 當(dāng)堂檢測(cè)1234解析答案1.內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長(zhǎng)最大的矩形的邊長(zhǎng)為_.解析設(shè)矩形與半圓直徑垂直的一邊的長(zhǎng)為x，解析答案2.要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20 cm，要使其體積最大，則高為_ cm.12343.一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為1 000元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去，月租金每增加50元，就會(huì)多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花費(fèi)100元維修費(fèi)，則月租金定為_元時(shí)可獲得最大收入.解析設(shè)x套為沒有租出去的公寓數(shù)，則收入函數(shù)f(x)(1 00050 x)(50 x)100(50 x)，f(x)1 600100 x，當(dāng)x16時(shí)，f(x)取最大值，故把月租金定為1 800元時(shí)收入最大.1 800解析答案1234解析答案4.制作容積為256的方底無蓋水箱，它的高為_時(shí)最省材料.解析設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，高為h，則V(x)x2h256，41234課堂小結(jié)返回1.解應(yīng)用題的思路方法：(1)審題：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)