應(yīng)力和應(yīng)變PPT

1、第三章 應(yīng)力和應(yīng)變3.1 應(yīng)力分析3.2 應(yīng)變分析3.1 應(yīng)力分析一、應(yīng)力張量及其分解(1) 一點的應(yīng)力狀態(tài)通過一點P 的各個面上應(yīng)力狀況的集合 稱為一點的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：(2) 應(yīng)力張量一點 的應(yīng)力狀態(tài)可由九個應(yīng)力分量來描述，這些分量構(gòu)成一個二階對稱張量，稱為應(yīng)力張量。上式中左邊是工程力學(xué)的習(xí)慣寫法，右邊是彈性力學(xué)的習(xí)慣寫法定義：寫法：采用張量下標記號的應(yīng)力寫法把坐標軸x、y、z分別用x1、x2、x3表示，或簡記為xj (j=1,2,3),(3) 斜截面上的應(yīng)力與應(yīng)力張量的關(guān)系在xj坐標系中，考慮一個法線為N的斜平面。N是單位向量，其方向作弦為則這個面上的應(yīng)力向量

2、SN的三個分量與應(yīng)力張量 之間的關(guān)系采用張量下標記號，可簡寫成說明：i）重復(fù)出現(xiàn)的下標叫做求和下標，相當于 這稱為求和約定；ii）不重復(fù)出現(xiàn)的下標i叫做自由下標，可取i=1,2,3；(4) 應(yīng)力張量的分解1.靜水“壓力”：在靜水壓力作用下，應(yīng)力應(yīng)變間服從彈性規(guī)律，且不會屈服、不會產(chǎn)生塑性變形。應(yīng)力不產(chǎn)生塑性變形的部分產(chǎn)生塑性變形的部分反映靜水“壓力”：2.平均正應(yīng)力：3.應(yīng)力張量的分解：應(yīng)力張量可作如下分解：用張量符號表示：其中：或應(yīng)力球張量單位球張量應(yīng)力球張量，它表示各方向承受相同拉（壓）應(yīng)力 而沒有剪應(yīng)力的狀態(tài)。應(yīng)力偏張量應(yīng)力偏張量與單元體的體積變形有關(guān)說明：材料進入塑性后，單元體的體積變

3、形是彈性的，只與應(yīng)力球張量有關(guān)；而與形狀改變有關(guān)的塑性變形則是由應(yīng)力偏張量引起的 。應(yīng)力張量的這種分解在塑性力學(xué)中有重要意義。二、主應(yīng)力和應(yīng)力不變量（1）主應(yīng)力1. 一點的主應(yīng)力與應(yīng)力主向 若某一斜面上 ，則該斜面上的正應(yīng)力 稱為該點一個主應(yīng)力 ；（2）應(yīng)力主向主應(yīng)力 所在的平面 稱為主平面；主應(yīng)力 所在平面的法線方向 稱為應(yīng)力主向；根據(jù)主平面的定義，SN與N重合。若SN的大小為 ，則它在各坐標軸上的投影為代入（3-3）式應(yīng)有 或即 將這個行列式展開得到其中2. 應(yīng)力張量的不變量當坐標軸方向改變時,應(yīng)力張量的分量 均將改變,但主應(yīng)力的大小不應(yīng)隨坐標軸的選取而改變.因此,方程(3-9)的系數(shù) 的

4、值與坐標軸的取向無關(guān)，稱為應(yīng)力張量的三個不變量?？梢宰C明方程（3-9）有三個實根，即三個主應(yīng)力當用主應(yīng)力來表示不變量時應(yīng)力偏張量Sij顯然也是一種應(yīng)力狀態(tài)即J1=0的應(yīng)力狀態(tài)。不難證明，它的主軸方向與應(yīng)力主軸方向一致，而主值（稱為主偏應(yīng)力）為：應(yīng)力偏張量也有三個不變量： 其中應(yīng)力偏張量的第二不變量 今后用得最多。再介紹它的其他幾個表達式：在第四章中將看到， 在屈服條件中起重要作用。至于 可以注意它有這樣的特點：不管 的分量多么大，只要有一個主偏應(yīng)力為零，就有 。這暗示 在屈服條件中不可能起決定作用。 說明：三、等斜面上的應(yīng)力等斜面：通過某點做平面 ，該平面的法線與三個應(yīng)力主軸夾角相等八面體面：

5、滿足（3-20）式的面共有八個，構(gòu)成一個八面體，如圖所示。等斜面常也被叫做八面體面。若八面體面上的應(yīng)力向量用F8表示，則按（3-3）式有設(shè)在這一點取 坐標軸與三個應(yīng)力主軸一致，則等斜面法線的三個方向余弦為八面體面素上的正應(yīng)力為八面體面素上的剪應(yīng)力為說明：八面體面上的應(yīng)力向量可分解為兩個分量：i)垂直于八面體面的分量，即正應(yīng)力 ，它與應(yīng)力球張量有關(guān)，或者說與 有關(guān)；ii)沿八面體面某一切向的分量，即剪應(yīng)力 ，與應(yīng)力偏張量的第二不變量 有關(guān)。四、等效應(yīng)力1.定義：如果假定 相等的兩個應(yīng)力狀態(tài)的力學(xué)效應(yīng)相同，那么對一般應(yīng)力狀態(tài)可以定義： 在塑性力學(xué)中稱為應(yīng)力強度或等效應(yīng)力注意：這里的“強度”或“等效

6、”都是在 意義下衡量的2.等效應(yīng)力 的特點與空間坐標軸的選取無關(guān)；各正應(yīng)力增加或減少同一數(shù)值（也就是疊加一個靜水應(yīng)力狀態(tài)）時 數(shù)值不變，即與應(yīng)力球張量無關(guān)； 全反號時 的數(shù)值不變。3. 空間空間指的是以 的九個分量為坐標軸的九維偏應(yīng)力空間； 標志著所考察的偏應(yīng)力狀態(tài)與材料未受力（或只受靜水應(yīng)力）狀態(tài)的距離或差別的大小。聯(lián)系到（3-17）式，不難看出 代表 空間的中的廣義距離4. 等效剪應(yīng)力聯(lián)系到（3-19）式，可知或也可以定義 ,剪應(yīng)力強度或等效剪應(yīng)力:5. 八面體剪應(yīng)力、等效應(yīng)力 和等效剪應(yīng)力之間的換算關(guān)系為： 說明：這些量的引入，使我們有可能把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)化作“等效”（在 意義下等效）的單

7、向應(yīng)力狀態(tài)，從而有可能對不同應(yīng)力狀態(tài)的“強度”作出定量的描述和比較。五、三向Mohr圓和Lode應(yīng)力參數(shù)在 平面上 三點中的任意兩點為直徑端點，可作出三個Mohr圓，如圖3-3.其半徑為： 稱為主剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力1.三向Mohr圓2.Lode應(yīng)力參數(shù)分析由圖3-4可見，若在已知應(yīng)力狀態(tài)上疊加一個靜水壓力，其效果僅使三個 Mohr圓一起沿 軸平移一個距離，該距離等于所疊加的靜水應(yīng)力，并不改變Mohr圓的大小。結(jié)論 軸的位置與屈服及塑性變形無關(guān)，決定屈服與塑性變形的只是Mohr圓本身的大小。若將 軸平移到 ，并使則：移軸后的三向Mohr圓正是描述應(yīng)力偏張量的三向Mohr圓，如圖所示。M點是P1P2

8、線段的中點Lode在1925年引進的參數(shù)Lode應(yīng)力參數(shù)當P2點由P3移向P1時， 的變化范圍是：下面三個特殊情況是常用到的：i)單向拉伸：ii)純剪切：iii)單向壓縮： 只由P1、P2、P3三點的相對位置決定而與 坐標原點的選擇無關(guān)，故 是描述應(yīng)力偏張量的一個特征值。綜上所述，OO表示了一點應(yīng)力狀態(tài)的球張量部分；而以O(shè)為坐標原點的三向Mohr圓（由 和 所確定）則表示了應(yīng)力的偏張量部分。六、應(yīng)力空間和主應(yīng)力空間1. 應(yīng)力空間一點的應(yīng)力張量有九個應(yīng)力分量，以它們?yōu)榫艂€坐標軸就得到假想的九維應(yīng)力空間?？紤]到九個應(yīng)力分量中只有六個是獨立的，所以又可構(gòu)成一個六維應(yīng)力空間來描述應(yīng)力狀態(tài)。一點的應(yīng)力狀

9、態(tài)可以用九維或六維應(yīng)力空間中的一個點來表示。2.主 應(yīng)力空間（Haigh-Westergaard空間）它是以 為坐標軸的假想的三維空間，這個空間中的一個點，就確定了用主應(yīng)力 所表示的一個應(yīng)力狀態(tài)。2.主 應(yīng)力空間的性質(zhì)L直線：主應(yīng)力空間中過原點并坐標軸成等角的直線。 其方程為 顯然，L直線上的點代表物體中承受靜水應(yīng)力的點的狀態(tài)，這樣的應(yīng)力狀態(tài)將不產(chǎn)生塑性變形。 平面：主應(yīng)力空間中過原點而與L直線垂直的平面。其方程為 由于 平面上任一點的平均正應(yīng)力為零，所以 平面上的點對應(yīng)于只有應(yīng)力偏張量、不引起體積變形的應(yīng)力狀態(tài)。 主應(yīng)力空間中任意一點P所確定的向量 總可以分解為：這樣任意應(yīng)力狀態(tài)就被分解為兩

10、部分，分別與應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量部分對應(yīng)。小結(jié)物體內(nèi)一點的應(yīng)力狀態(tài)用應(yīng)力張量描述，它又可分解為應(yīng)力 球張量和應(yīng)力偏張量兩個部分。塑性變形只與應(yīng)力偏張量有關(guān)。三向Mohr應(yīng)力圓和主應(yīng)力空間為應(yīng)力張量的分解提供了幾何 形象和數(shù)學(xué)工具。 這樣取 的目的是使 構(gòu)成一個二階對稱張量， 即應(yīng)變張量。3.2 應(yīng)變分析一、位移與應(yīng)變的關(guān)系1. Cauchy公式其中 與工程剪應(yīng)變相差一半，即 張量記法: 以 記 ,以 記 。 記號約定：以下標之間的逗號表示微商如Cauchy公式的張量形式：（3-29）（3-29）式是在小變形條件建立的。二、應(yīng)變張量的分解應(yīng)變張量也可以分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量，即（3-31）應(yīng)變球張量它與彈性的體積改變部分有關(guān)；其中稱 為平均正應(yīng)變應(yīng)變偏張量只反映變形中形狀改變的那部分。二、應(yīng)變張量的不變量應(yīng)變偏張量的三個不變量用 表示 ：其中 分別是主應(yīng)變和應(yīng)變偏張量的主值。 應(yīng)變偏張量的分解：三、等效應(yīng)變和Lode應(yīng)變參數(shù)等斜面（八面體面）上的正應(yīng)變和剪應(yīng)變： 等效應(yīng)變 和等效剪應(yīng)變 Lod