求數(shù)列通項問題的思維流程研究(共8頁)

1、求數(shù)列(shli)通項問題的思維流程研究山東(shn dn)博興縣第二(d r)中學(xué) （256500） 盧振路 求數(shù)列的通項是高中數(shù)學(xué)中數(shù)列部分的最基本問題之一，對它的研究涉及到的知識點多，綜合性強(qiáng)，是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點。本文試圖在詳細(xì)剖析各類求數(shù)列的通項問題的基礎(chǔ)上，從學(xué)生解題的思維流程角度，找出各類問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，總結(jié)出解決這類問題的一般的思維模式. 求數(shù)列的通項問題的基本類型及其解題規(guī)律如下： 一、已知數(shù)列 的遞推關(guān)系式，求通項 【例1】已知數(shù)列 滿足=8 , =2 , 且 -2+ =0 (nN+)，求通項. 解：nN+ ，-2+ =0，-=- ,-=-=-=-，數(shù)列是等差數(shù)列.故可

2、設(shè)其通項公式為=-(n-1)d ( nN+),由=+(4-1)d可得,d= -2, =-2 n+10( nN+). 本題給出的遞推公式稍加變形后,正好符合等差數(shù)列的定義,所以可根據(jù)給定的條件由待定系數(shù)法直接求得. 【例2】已知：各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足=1, (n+1) + -n=0（nN+),求其通項. 解法一：(n+1)+-n=0， (n+1) +-n=0 ， =-1（舍去），或 = ， 由 = （n N+)可得, = = = = = , 即 = . 解法(ji f)二：同解法一 得到 = （n N+)， 即(n+1) -n=0（n N+),故n是公差為0的等差數(shù)列(dn ch sh l

3、i)，所以n=1=1，即= （n N+). 解法(ji f)三：同解法一 得到 = （n N+)，由 =1可得，= ，= ，= ，故可猜想= （n N+)，再由數(shù)學(xué)歸納法證明（略）. 本題在無法直接使用基本數(shù)列（指等差數(shù)列和等比數(shù)列，下同）定義的情況下，可連續(xù)使用遞推公式（以下稱這種方法為“迭代法”）而得到數(shù)列的通項.如果考慮不到這一點或者無法實施這種迭代,可考慮引進(jìn)輔助數(shù)列,使得 =f()（n N+),如果的滿足基本數(shù)列的定義或者可使用迭代而能求出其通項,也就得到了的通項.如果引進(jìn)輔助數(shù)列的方法仍舊無法奏效,還有最后一招，即采用歸納猜想證明的方法,之所以把它作為最后一招,因為畢竟它是以上各種

4、方法中最繁瑣的一種,而我們的學(xué)生卻往往把它作為首要的方法,這種思維順序上的顛倒應(yīng)予糾正.二、已知數(shù)列的前n項和求通項 【例3】已知數(shù)列的前項和=+3,nN+,求通項an. 解：當(dāng)n=1時，=2+3=5 ；當(dāng)n2，nN+時, =- =+3-3=， 故an= . 已知數(shù)列(shli)的前n項和求通項問題(wnt)可直接利用 與的關(guān)系式 = (以下(yxi)簡稱該關(guān)系式為“基本關(guān)系”）求得 ，但需要特別注意的是,使用這個關(guān)系式必須對n=1時的情形單獨討論 ，特別是不適和當(dāng)n2時的表達(dá)式時，忽略這一點就會致錯. 【例4】數(shù)列對于nN+,r為常數(shù), 都滿足+= 9-6n,求通項. 解：+= 9-6n（n

5、N+）即為數(shù)列的前n項和,當(dāng)n=1時，=9-6=3 ,當(dāng)n2，nN+時，=-=9-6n-9+6(n-1) =-6, = . 本題表明在未知數(shù)列的前n項和的情況下,和第一類問題類似的是,如果知道了的輔助數(shù)列的前n項和,則可通過求出的通項而得到的通項. 三、已知數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系式求通項 【例5】已知是數(shù)列的前n項和，且=5-3（nN+），求數(shù)列的通項. 解： nN+都有=5-3, n2時 , -=5（-）=5 , 4=即 = -（n2）, 又當(dāng)n=1時，由 =53 可得 = ， 是一個(y )首項為 ，公比(n b)為 - 的等比數(shù)列(dn b sh li)，故= . 本例表明已知數(shù)列的

6、前n項和與通項的關(guān)系式求通項問題,在多數(shù)情況下可直接利用基本關(guān)系= 消去與有關(guān)項 后可得到的遞推公式,從而轉(zhuǎn)化為第一類問題而解決.因此解決此類問題的首要步驟是力求獲得的遞推公式.【例6】 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且=( + ) ,（nN+） , 求此數(shù)列的通項. 解：n2時 =-,=( + )可化為= (-+ ),化簡得 = 1 , 又當(dāng)n=1時，由 = = ( + ) 可得 ， =1, 是一個首項為1，公差為 1的等差數(shù)列, =1+n-1=n，從而= , n2時 =-= - ， 又 當(dāng)n=1時，a =1也適合上式,= -（nN+）. 本題在探索思路時也試圖象例5那樣(nyng)獲

7、得 的一個遞推公式,但事實(shsh)表明,這種努力是徒勞的,也就是說通向轉(zhuǎn)化(zhunhu)為第一類問題的道路被堵塞了.此時,考慮到求出轉(zhuǎn)化為第二類問也可求出通項,就果斷地利用基本關(guān)系消去,先得到的遞推公式,根據(jù)第一類問題的解法求出 ,再根據(jù)第二類問題的解法求出.當(dāng)然作為一種幾乎是萬能的解法,如果以上的思路無法奏效,我們還可以利用歸納猜想證明的方法來解決,但是考慮到它的繁瑣,我們把它作為最后的出路.根據(jù)以上的分析,我們可以的出如下結(jié)論:1.對于每一類數(shù)學(xué)問題,僅僅知道它有幾種解法是不夠的,更重要的是我們應(yīng)該弄清每種解法的使用條件及其相互關(guān)系,建立正確合理的思維順序.2.對于求數(shù)列的通項這類問題,我們已經(jīng)看到第三類問題的解決涵蓋了前兩類問題,前兩類問題解決過程只是第三類問題的解決過程的一部分.因此,掌握了第三類問題,也就掌握了整個求數(shù)列的通項問題的解法. 基于以上認(rèn)識,我們把第三類問題的解題思維過程用流程圖的形式在下面給出,作為本文的結(jié)束語: 求數(shù)列(shli)通項問題的思維流程圖已知的與關(guān)系式求通項已知的遞推公式,求通項 歸納猜想證明已知求通項求出通項 是是否否否否否是是是是否可利用基本關(guān)系得到的 遞推公式是否符合基本數(shù)列的定義?是否可使用迭代法?是否可引進(jìn)基本數(shù)列,使