數(shù)字信號處理課件：6 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法

1、第6章 無限長單位沖激響應(yīng)（IIR） 數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 6.1 引言 6.4 用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器6.5 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 6.7 用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 6.10 由模擬低通濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器6.1 引 言 數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實現(xiàn)濾波的線性時不變系統(tǒng)。它將輸入的數(shù)字序列通過特定運算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列。設(shè)計數(shù)字濾波器的任務(wù)就是尋求一個因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有指定的頻率特性。通常數(shù)字濾波器總是假定輸入信號x(n)中的有用成分和希望去除的成分各自占有不同的頻帶，這樣當x(n)通過一個線性系統(tǒng)（即濾波器）后，可將欲去除

2、的成分有效的去除。 一個輸入序列x(n)，通過一個單位脈沖響應(yīng)為h(n)的線性移不變系統(tǒng)后，其輸出響應(yīng)y(n)為 將上式兩邊經(jīng)過傅里葉變換，可得 可以看出，輸入序列的頻譜X(ej)經(jīng)過濾波后，變?yōu)閄(ej)H(ej)。如果|H(ej)|的值在某些頻率上是比較小的，則輸入信號中的這些頻率分量在輸出信號中將被抑制掉。因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的，適當選擇H(ej)，使得濾波后的X(ej)H(ej)符合人們的要求即可，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。 線性數(shù)字濾波器按頻率響應(yīng)的通帶特性可劃分為低通、高通、帶通、帶阻和全通幾種形式(如圖6-1所示)。其特點為： 一、數(shù)字濾波器按頻率特性

3、的分類1）頻率變量以數(shù)字頻率表示( )，所以數(shù)字濾波器的設(shè)計中必須給出抽樣頻率fs； 2）以數(shù)字抽樣頻率 為周期,頻率特性只限于折疊頻率以內(nèi)，即限于 范圍之內(nèi)。因此對于數(shù)字濾波器，只給出區(qū)間 上的設(shè)計指標;圖 6-1 各種數(shù)字濾波器的理想幅頻特性(只標注了正頻率部分) :通帶截 止頻率0通帶過渡帶阻帶：通帶容限：阻帶容限：通帶截止頻率：阻帶截止頻率：過渡帶二、數(shù)字濾波器的性能要求1幅度特性的逼近要求（以低通為例）圖 6-2 低通濾波器頻率響應(yīng)幅度特性的容限圖 1在通帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以最大誤差1逼近于1，即 在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差小于 2而逼近于零，即 st|c 式中：c,和st分別為通帶截止頻

4、率和阻帶截止頻率，它們都是數(shù)字域頻率。幅度響應(yīng)在過渡帶（st-c）中從通帶平滑地下降到阻帶。 在具體技術(shù)指標中往往使用通帶允許的最大衰減(波紋)1 和阻帶應(yīng)達到的最小衰減2描述.（6-2a） （6-2b） 式中，假定|H(ej0)|=1(已被歸一化)。例如|H(ej)|在c處滿足|H(ejc)|=0.707，則1=3dB（幅頻特性3dB處對應(yīng)的角頻率c為截止頻率，是濾波器設(shè)計的重要參數(shù)之一）；在st處滿足|H(ejst)|=0.001，則2=60 dB。(注：lg是log10的規(guī)范符號表示) 1（通帶允許的最大衰減）和2（阻帶應(yīng)達到的最小衰減）的定義為： 2表征數(shù)字濾波器頻響特性的三個參量 (

5、P223) 表征數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)特性的三個參量是幅度平方響應(yīng)、相位響應(yīng)和群延時響應(yīng)。 1）幅度平方響應(yīng)2）相位響應(yīng)3群延遲響應(yīng) 它是濾波器平均延遲的一個度量，定義為相位對角頻率的導(dǎo)數(shù)的負值，即當要求濾波器為線性相位響應(yīng)特性時，則通帶內(nèi)群延遲特性就應(yīng)是常數(shù)。 按照實際任務(wù)要求， 確定濾波器的性能指標。 用一個因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求。根據(jù)不同要求可以用IIR系統(tǒng)函數(shù)，也可以用FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近。 利用有限精度算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。這里包括選擇運算結(jié)構(gòu)（如第5章中的各種基本結(jié)構(gòu)），選擇合適的字長（包括系數(shù)量化及輸入變量、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數(shù)字的

6、處理方法（舍入、截尾）等（第9章內(nèi)容）。 三、數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟 (P222)四、IIR濾波器的設(shè)計方法(P225) 一個N階的IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 一般滿足MN，這類系統(tǒng)稱為N階系統(tǒng)，以下討論都假定MN。 IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計就是確定各系數(shù)ak, bk或零極點ck、dk和A, 以使濾波器滿足給定的性能要求.設(shè)計思路：先設(shè)計一個合適的模擬濾波器，然后將其變換成滿足預(yù)定指標的數(shù)字濾波器。優(yōu)點：這種方法很方便，因為模擬濾波器已經(jīng)具有很多簡單而又現(xiàn)成的設(shè)計公式，并且設(shè)計參數(shù)已經(jīng)表格化了，設(shè)計起來既方便又準確。 通常有以下兩種方法：2） 最優(yōu)化設(shè)計法（計算機輔助設(shè)計法） 1）利用模擬濾

7、波器的理論來設(shè)計數(shù)字濾波器 若需設(shè)計濾波器的幅頻特性是任意的或者形狀比較復(fù)雜，可采用計算機輔助設(shè)計(CAD)方法進行優(yōu)化設(shè)計。分兩步實現(xiàn)：1）選擇一種最優(yōu)準則。 例如選擇最小均方誤差準則。它是指在一組離散的頻率i(i=1, 2, , M)上，所設(shè)計出的實際頻響幅度|H(ej)|與所要求的理想頻響幅度|Hd(ej)|的均方誤差最小。 2）求在此最佳準則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)ak, bk。 一般是通過不斷改變?yōu)V波器系數(shù)ak、bk，分別計算; 最后，找到使為最小時的一組系數(shù)ak, bk, 從而完成設(shè)計。這種設(shè)計需要進行大量的迭代運算,故離不開計算機。所以最優(yōu)化方法又稱為計算機輔助設(shè)計法。 6.4 用

8、模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器3）根據(jù)模擬低通濾波器的性能指標，利用某種模擬濾波器逼近方法,設(shè)計或查表求得此模擬低通濾波器傳遞函數(shù)Ha(s),以它作為設(shè)計數(shù)字濾波器的“樣本”.利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟：1）將給定的數(shù)字濾波器的性能指標，按某一變換(映射)規(guī)則轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬濾波器的性能指標；4）用與步驟1)中的同一變換規(guī)則,將模擬原型低通濾波器變換成所需的數(shù)字各型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。2）如果要設(shè)計的不是數(shù)字低通濾波器，則必須將1）中變換所得的相應(yīng)（高通、帶通、帶阻）模擬濾波器性能指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的性能指標。 利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，就是將已知的模擬濾波

9、器傳遞函數(shù)Ha(s)變換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。因此，它歸根結(jié)底是一個由s平面映射到z平面的變換，這個映射變換必須滿足以下兩條基本要求：1）H(z)的頻響必須要能模仿Ha(s)的頻響,即s平面虛軸j必須映射到z平面的單位圓ej上, 即頻率軸要對應(yīng)。 2）因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z),即s平面的左半平面Res0必須映射到z平面單位圓內(nèi)部|z|1.模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的兩種常用的變換方法：沖激響應(yīng)不變法;雙線性變換法。一、變換原理h(n)=ha(nT) （6-27）6.5 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器() 利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾

10、波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。沖激響應(yīng)不變法又稱為標準z變換法,它是從濾波器的單位沖激響應(yīng)出發(fā),使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將ha(t)進行等間隔采樣, 使h(n)正好等于ha(t)的采樣值, 滿足 令 利用采樣序列的z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系，得這說明沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器的s平面變換成數(shù)字濾波器的z平面，這個從s到z的變換z = esT正是從s平面變換到z平面的標準變換關(guān)系式。 圖 6-7 沖激響應(yīng)不變法的映射關(guān)系 注意：H(z)是和Ha(s)的周期延拓函數(shù)之間有變換關(guān)系z = esT，故沖激響應(yīng)不變

11、法并不相當于從s平面到z平面的簡單代數(shù)映射關(guān)系。二、混疊失真(6-29) 只有當模擬濾波器的頻率響應(yīng)帶限于折疊頻率以內(nèi)時，即(6-30) 數(shù)字濾波器的頻響和模擬濾波器的頻響間的關(guān)系為： 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng), 而不產(chǎn)生混疊失真，即 (6-31) 注意：任何一個實際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴格限帶的，由沖激響應(yīng)不變法變換出的數(shù)字濾波器的頻響就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，如下圖所示。這時數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)就不同于原模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響

12、應(yīng)在折疊頻率以上頻率處衰減越大、越快時，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時，采用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。 圖 沖激響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象1）對某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)進行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。 兩點說明：2）在設(shè)計中，當濾波器的指標用數(shù)字域頻率給定時，若c不允許變化，則不能用減小T的辦法解決混疊問題。 三、模擬濾波器的數(shù)字化方法 (6-32) 1一般方法2簡化方法 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有N個單階極點，且假定分母的階

13、次大于分子的階次，因此可將Ha(s)展開成部分分式表達式 （拉氏反變換） （采樣） （z變換） 1）s平面的每一個單極點s=sk變換到z平面上 處的單極點;2） Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)是相同的,都是Ak； 3）如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則變換后的數(shù)字濾波器也是因果穩(wěn)定的。 這種Ha(s)到H(z)的對應(yīng)變換關(guān)系, 只有將Ha(s)表達為部分分式形式才成立如果T很小，數(shù)字濾波器可能具有太高的增益，這是不希望的。為了使數(shù)字濾波器增益不隨采樣頻率而變化，可作以下簡單的修正，令 3修正的H(z) （去掉T的影響） (6-35) 則有: (6-36) 例 6-1 ()： 設(shè)模擬濾波器的系

14、統(tǒng)函數(shù)為 解 ：設(shè)T=1，試利用沖激響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 模擬濾波器的頻響Ha(j)以及數(shù)字濾波器的頻響H(ej)分別為: 由圖可見：由于Ha(j)不是充分限帶的，所以H(ej)產(chǎn)生了嚴重的頻譜混疊失真。 圖6-6 例6-1中沖激響應(yīng)不 變法的頻率響應(yīng)幅度四、優(yōu)缺點（） 沖激響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好；1優(yōu)點：模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系=T。因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過沖激響應(yīng)不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。 沖激響應(yīng)不變法的最大缺點是有頻率響

15、應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。若要對高通和帶阻濾波器采用沖激響應(yīng)不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率后再使用沖激響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。這樣會進一步增加設(shè)計復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。 2缺點：6.7 用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 () 沖激響應(yīng)不變法使數(shù)字濾波器在時域上模仿模擬濾波器，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系=T，這都是它的優(yōu)點。但是它也有一個嚴重的缺陷，那就是頻

16、譜混疊失真問題，這是由于從s平面到z平面的映射z=esT是一個多值映射。為了克服沖激響應(yīng)不變法的混疊效應(yīng)，人們設(shè)計了雙線性變換法。雙線性變換法是從模擬濾波器到數(shù)字濾波器的另一種變換方法，而且是工程實踐中普遍采用的方法，它的主要特點是計算公式直接且簡單，且無頻譜混疊效應(yīng)。 沖激響應(yīng)不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因為從s平面到z平面是多值映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到 之間，再用標準變換轉(zhuǎn)換到z平面上。也就是說，第一步先將整個s平面壓縮映射到中介平面s1的 一條橫帶里；第二步再通過標準變換關(guān)系 將此橫帶變換到整個z平面

17、上去。這樣就使s平面與z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系， 消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖6-11所示。 一、變換原理圖 6-11 雙線性變換的映射關(guān)系 先研究s平面到s1平面的映射。由上圖可知，將s平面進行壓縮，實際上，就是將其j軸壓縮到s1平面的j1軸上的 到 的范圍內(nèi)。這可通過正切變換實現(xiàn)：待定常數(shù)，用不同的方法確定c，可使模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字濾波器的頻率特性在不同頻率點有對應(yīng)關(guān)系經(jīng)過這樣的頻率變換，當由 時, 1由 -/T經(jīng)過變化到/T ，即s平面的整個j軸被壓縮到s1平面的2/T 一段。通過歐拉公式，可得：再將s1平面通過標準變換關(guān)系映射到z平面，即令 將這

18、一關(guān)系解析擴展至整個s平面和s1平面，令j=s，j1=s1，則得到s平面到s1平面的映射關(guān)系：得到s平面與z平面的單值映射關(guān)系： sz間的變換是雙向的，并且都是兩個線性函數(shù)之比，故稱作雙線性變換。二、變換常數(shù)c的選擇1）若想使模擬濾波器與數(shù)字濾波器在低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系，即在低頻處有1，則c =2/T。只有當1T很小時，和1之間才存在線性關(guān)系，即： 12）若想使數(shù)字濾波器的某一特定頻率(例如截止頻率 )與模擬原型濾波器的一個特定頻率c 嚴格相對應(yīng)，即 ，則有即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓。這一變換是否符合前面提出的由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器時，從s平面到z平面映射變換的二個基本要求？

19、三、逼近的情況 當 時，得：令 ，則 即s左半平面映射在z平面單位圓內(nèi)，s右半平面映射在z平面單位圓外，s平面的虛軸映射在z平面的單位圓上。因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。四、雙線性變換的特點優(yōu)點：避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象；這是因為s平面與z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系（靠頻率的嚴重非線性關(guān)系得到的），即整個s平面的j軸單值對應(yīng)于z平面單位圓一周，關(guān)系式為：可見，和為非線性關(guān)系。圖6-12 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 由圖中看到，在零頻率附近，接近于線性關(guān)系，進一步增加時，增長變得緩慢， (終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆

20、到低頻部分去的現(xiàn)象（即不會產(chǎn)生混疊失真）。2）穩(wěn)定的模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后所得數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。這是因為穩(wěn)定的模擬濾波器，其極點必全部位于s的左半平面上，經(jīng)雙線性變換后，這些極點全部落在z平面單位圓內(nèi)。)雙線性變換比沖激響應(yīng)不變法的設(shè)計計算更直接和簡單。由于s與z之間的簡單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳函。 置換過程:頻率響應(yīng)：缺點： 與成非線性關(guān)系，導(dǎo)致：1）數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變，一個線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。 例如，一個模擬微分器，它的幅度與頻率是直線關(guān)系，但通過雙線性變換后

21、，就不可能得到數(shù)字微分器2)為了避免這種幅頻響應(yīng)的畸變，通常要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的(即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)，這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性,它們在通帶內(nèi)要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減為的常數(shù)特性)，故雙線性變換只能用于設(shè)計低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。 注意：對于分段常數(shù)的模擬濾波器，雙線性變換后雖然仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的數(shù)字濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點還是會產(chǎn)生非線性變化，即畸變，不過好在這種頻率的畸變可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正。五、頻率預(yù)畸變定義：頻率預(yù)畸變就是將模擬濾波器的臨界頻

22、率事先加以畸變，然后通過雙線性變換后正好映射到所需要的頻率上。 利用關(guān)系式： 將所要設(shè)計的數(shù)字濾波器臨界頻率點 ，變換成對應(yīng)的模擬域頻率 ，利用此 設(shè)計模擬濾波器，再通過雙線性變換，即可得到所需的數(shù)字濾波器，其臨界頻率正是 。如圖6-14所示。圖6-14 雙線性變換的頻率非線性預(yù)畸例6-A (補充)： 設(shè)計一個一階數(shù)字低通濾波器，3dB截止頻率為c =0.25，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃思濾波器。 解：數(shù)字低通濾波器的截止頻率為c=0.25，相應(yīng)的巴特沃思模擬濾波器的3dB截止頻率是c，就有 模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 將雙線性變換應(yīng)用于模擬濾波器，有 由上題可知，T不參與設(shè)計，即雙線性變換法中

23、用 設(shè)計與用 設(shè)計得到的結(jié)果一致。 進行頻率變換有以下兩種基本方法 ：6.9 設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法第一種方法的簡化的形式：找出歸一化模擬低通原型與數(shù)字高通，帶通和帶阻濾波器之間的從s域到z域的變換關(guān)系直接由歸一化模擬低通原型變換成所需的數(shù)字濾波器沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法c=1 這種簡化方法實際上是把第一種方法中的兩步合成一步來實現(xiàn)，即把模擬低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器的公式與用雙線性變換得到相應(yīng)數(shù)字濾波器的公式合并，就可直接從模擬低通原型通過一定的頻率變換關(guān)系， 一步完成各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計，因而簡捷便利，得到普遍采用。 此外

24、，對于高通、帶阻濾波器，由于沖激響應(yīng)不變法不能直接采用，只能在加了保護濾波器以后使用。 對于第一種方法，重點是模擬域頻率變換，即如何由模擬低通原型濾波器轉(zhuǎn)換為截止頻率不同的模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器（略），這里我們僅在下表中列出一些模擬到模擬的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系。一般直接用歸一化原型轉(zhuǎn)換，取c=1, 可使設(shè)計過程簡化。 表6-A 截止頻率為c的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性濾波器的轉(zhuǎn)換公式 把數(shù)字濾波器的性能要求轉(zhuǎn)換為與之相應(yīng)的作為 “樣本”的模擬低通濾波器的性能要求；6.10 由模擬低通濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器舉例說明：用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法由三階巴特沃思低通原型濾波器設(shè)計三階巴特沃思數(shù)

25、字低通濾波器的過程。一、模擬低通濾波器變換成數(shù)字低通濾波器 根據(jù)此性能要求設(shè)計模擬低通濾波器，這可以用查表的辦法，也可以用解析的方法； 通過沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法，將此“樣本”模擬低通濾波器數(shù)字化為所需的數(shù)字濾波器H(z)。例(補充)：用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計一個三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=4kHz（即采樣周期為T=250s），其3 dB截止頻率為fc=1kHz。解：查表可得歸一化三階模擬巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù) (一) 沖激響應(yīng)不變法1）以s/c代替其歸一化頻率，則可得三階模擬巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù)為式中：c=2fc2）將上式進行因式分解并表示成如下的部分分式形式： 3）將此部分分式系數(shù)代入(6-36)式就得到 式中：c=cT=2fcT=2fc / fs=0.5是數(shù)字濾波器數(shù)字頻域的截止頻率。 將上式兩項共軛復(fù)根合并