數(shù)字信號處理課件：1 離散時間信號與系統(tǒng)

1、第1章 離散時間信號與系統(tǒng) 1.1 離散時間信號序列 1.2 線性移不變系統(tǒng)1.3 常系數(shù)線性差分方程 1.4 連續(xù)時間信號的采樣 11.1 離散時間信號序列 離散時間信號只在離散時間上給出函數(shù)值，是時間上不連續(xù)的序列。它既可以是實數(shù)也可以是復(fù)數(shù)。一個離散時間信號是一個整數(shù)值變量n的函數(shù)，表示為x(n)或x(n)。n就表示序列值在序列中前后位置的序號 ，一個實值離散時間信號序列可以用圖形來描述。橫軸雖為連續(xù)直線，但只在n為整數(shù)時才有意義?？v軸線段的長短代表各序列值的大小。 圖 1-1 離散時間信號的圖形表示 2 離散時間信號常?？梢酝ㄟ^對模擬信號進行等間隔采樣而得到。例如，對于一個連續(xù)時間信號

2、xa(t)，以每秒fs=1/T個采樣的速率采樣而產(chǎn)生采樣信號，它與xa(t)的關(guān)系如下： 然而，并不是所有的離散時間信號都是這樣獲得的。一些信號可以認為是自然產(chǎn)生的離散時間序列，如每日股票市場價格、 人口統(tǒng)計數(shù)和倉庫存量等。 3一、 序列的運算 1. 序列的移位 已知序列x(n)，當(dāng)m為正時，則x(n-m)是指序列x(n)逐項依次滯后（右移）m位而給出的一個新序列; 而x(n+m)是指依次超前（左移）m位。而當(dāng)m為負時，則相反.圖 1-2 圖1-1序列x(n)的滯后序列 圖1-1 序列x(n)4例1-1（教材P9）則即序列x(n)超前序列x(n+1)52 序列的翻褶（折迭） 如果序列為x(n)

3、, 則x(-n)是以n=0的縱軸為對稱軸將序列x(n)加以翻褶。x(n)及x(-n)如圖1-3(a)、(b)所示。 圖 1-3 序列的翻褶(a) x(n)序列； (b) x(-n)序列 6討論：翻褶序列的移位 對于原序列x(n)而言，時間的增長方向向右，即向右移滯后，向左移超前。而對于原序列的翻褶序列x(-n)而言，時間的增長方向向左，即向左移滯后，向右移超前。也就是說對翻褶序列x(-n)移位m，即得x(m-n) ，當(dāng)m為正整數(shù)時，右移m位，當(dāng)m為負整數(shù)時，左移m位，恰好與原序列x(n)的移位規(guī)律相反。 783 序列的和 兩序列的和是指同序號n的序列值逐項對應(yīng)相加而構(gòu)成的一個新序列。 和序列z

4、(n)可表示為 圖 1-4 兩序列相加94 序列的乘積 兩序列相乘是指同序號n的序列值逐項對應(yīng)相乘。乘積序列z(n)可表示為 補充：序列的標(biāo)乘 序列x(n)的標(biāo)乘是指x(n)的每個序列值乘以常數(shù)c。標(biāo)乘序列z(n)可表示為：10 5. 累加它表示y(n)在某一個n0上的值y(n0)等于在這一個n0上的x(n0)值與n0以前所有n上的x(n)之和。 設(shè)某序列為x(n)，則x(n)的累加序列y(n)定義為 圖 1-5 序列x(n)及其累加 序列y(n)116 差分運算 前向差分： x(n)=x(n+1)-x(n) 后向差分： x(n)=x(n)-x(n-1) 由此得出： x(n)=x(n-1) 圖

5、1-6 x(n) 、前項差分x(n)及后項差分x(n)127 序列的時間尺度變換（抽取與零值插入）(a) 序列x(n) (b) 抽取序列xd(n),(D=2)(1) 抽取 已知序列x(n)，其時間尺度變換后的序列記為x(Dn)，D為正整數(shù)。x(Dn)表示從x(n)的每連續(xù)D個抽樣值中取出一個組成的新序列，這種運算稱為抽取，x(Dn)稱為x(n)的D取1的抽取序列。（注意：它不是簡單的時間軸的壓縮，而是相當(dāng)于將抽樣時間間隔由T變成DT） 圖1-7 抽取運算13序列x(n) (c) 插值序列xe(n),(I=2)(2) 零值插入 已知序列x(n)，序列的零值插入就是把x(n)的兩個相鄰抽樣值之間插

6、入(I-1)個零值。可表示為：圖1-7 零值插入運算I為正整數(shù)，其他n148 卷積和（離散卷積）（） (1)定義：卷積和是求離散線性移不變系統(tǒng)輸出響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）的主要方法。 其中*表示卷積和。由上式可以證明，卷積與兩序列的先后次序無關(guān)，即 設(shè)已知序列x(n)和h(n)，它們的卷積和定義為：15(1)翻褶：先在啞變量坐標(biāo)m上作出x(m)和h(m)，將h(m)以m=0 的垂直軸為對稱軸翻褶成h(-m). (2)移位：將h(-m)移位n，即得h(n-m).當(dāng)n為正整數(shù)時，右移n位，當(dāng)n為負整數(shù)時，左移n位. (3) 相乘：再將h(n-m)和x(m)的相同m值的對應(yīng)點值相乘. (4)相加：把以上所

7、有對應(yīng)點的乘積疊加起來,即得y(n)值. 依上法,取n=, -2, -1, 0, 1, 2, 各值，即可得全部y(n)值. (2)卷積和的運算：卷積和的運算在圖形表示上可分為以下四步：16例1-7（教材P14（） ）：設(shè)計算離散卷積。 x(m)的非零區(qū)間： h(n-m)的非零區(qū)間： y(n)的非零區(qū)間：解：17圖1-8 x(n)和h(n)的卷積和圖解18 利用圖1-8，求任意一個y(n)時，只需將兩序列對應(yīng)位置上的點相乘再求和即可。 1）n 1時，y(n)=02）1n5時，3）n6時，y(n)=019二、幾種常用序列（） 這個序列只在n=0 處有一個單位值1，其余點上皆為0。這是最常用、最重要

8、的一種序列，它在離散時間系統(tǒng)中的作用，很類似于連續(xù)時間系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)(t)。 單位沖激序列(n)右移m位有：(1-2)1. 單位抽樣序列(單位沖激序列,單位脈沖序列)(n) 20圖 1-9 單位抽樣序列 212 單位階躍序列u(n) 它很類似于連續(xù)時間信號與系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù)u(t)。 (1-3)圖 1-10 單位階躍序列 u(n)22(n)和u(n)間的關(guān)系為： 而 令n-m=k，代入此式可得 (1-4)(1-5)(1-6) (后向差分)圖 1-10 單位階躍序列 u(n) (累加)233矩形序列RN(n) (1-7)RN(n)和(n)、u(n)的關(guān)系為: 圖 1-11 矩形序列 (

9、1-8)(1-9)244實指數(shù)序列 式中：a為實數(shù)。當(dāng)|a|1時，序列是發(fā)散的。a為負數(shù)時，序列是擺動的。 圖 1-12 指數(shù)序列(1-10)25 序列值為復(fù)數(shù)的序列稱為復(fù)序列。 復(fù)序列的每個值具有實部和虛部兩部分，復(fù)指數(shù)序列是最常用的一種復(fù)序列： (1-11a)或 (1-11b)式中，0是數(shù)字域頻率。 5 復(fù)指數(shù)序列26對第一種表示，序列的實部、虛部分別為 如果用極坐標(biāo)表示，則 因此有： 注意：只有當(dāng)0為常數(shù)時 才是一個序列， 它是否具有周期性，還有待討論。 276 正弦型序列圖1-13 當(dāng) 時的正弦序列(周期性序列，周期N=10) x(n)=A sin(n0+) (1-12)式中: A為幅

10、度; 為起始相位; 0為數(shù)字域的頻率，它反映了序列變化的速率。28三、 序列的周期性(1-13)則稱序列x(n)是周期性序列，周期為N。 由于 則 如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，滿足1. 周期性序列的定義2. 正弦序列的周期性（） 29若N0=2k, 當(dāng)k為整數(shù)時，則 這時的正弦序列x(n)就是周期性序列，其周期滿足N=2k/0（N，k必須為整數(shù)）?？煞謳追N情況討論如下： 式中，P,Q為互素的整數(shù)，則 ,顯然當(dāng)k=Q時N=P為最小正整數(shù)， 即x(n)是周期為P的周期性序列。 （1） 當(dāng)2/0為正整數(shù)時，正弦序列x(n)是周期為2/0的周期性序列。（2） 當(dāng)2/0不是整數(shù)，而是一個有理數(shù)時

11、（有理數(shù)可表示成分數(shù)），則 30（3）當(dāng)2/0是無理數(shù)時，則任何k皆不能使N取正整數(shù)。 這時，正弦序列不是周期性的。 3. 對連續(xù)正弦信號進行采樣得到的正弦序列為周期性序列的條件設(shè)連續(xù)正弦信號x(t)為 其頻率為f0，則角頻率0=2f0，信號的周期為 31 以采樣時間間隔T對連續(xù)周期信號x(t)進行采樣，得到采樣信號x(n)，則有 如果令0為數(shù)字域頻率，滿足 式中fs是采樣頻率。用0代替0T， 可得 32 分析2/0與T及T0的關(guān)系:1)若要2/0為整數(shù)，就表示連續(xù)正弦信號的周期T0應(yīng)為采樣時間間隔T的整數(shù)倍，此時抽樣得到的正弦序列是周期序列;2)若要2/0為有理數(shù)，就表示T0與T是互為互素的

12、整數(shù)，且有 (1-14)(1-15)式中，k和N皆為正整數(shù)，從而有 即N個采樣間隔應(yīng)等于k個連續(xù)正弦信號的周期，此時抽樣得到的正弦序列是周期序列。 33圖中 ，則有 上式說明, 14個采樣間隔等于3個連續(xù)正弦信號的周期，此時 為有理數(shù) ，所以該正弦序列是周期序列。34 任意序列可以表示成單位抽樣序列的移位加權(quán)和，即 (1-16)由于 四、 用單位抽樣序列來表示任意序列和 加權(quán) 移位 則 因此式（1-16）成立，這種表達式提供了一種信號分析工具。 35式(1-16)恰好滿足卷積和的定義式，即上式說明，任意序列與 作卷積運算仍得到原序列，這就是說任意序列都可看成是該序列與 的卷積和。 例1-8（教

13、材P19） 36五、 序列的能量(1-18) 序列x(n)的能量E定義為序列各抽樣值的平方和， 即 371.2 線性移不變系統(tǒng) 定義：一個離散時間系統(tǒng)是將輸入序列變換成輸出序列的一種運算。 若以T來表示這種運算，則一個離散時間系統(tǒng)可表示為： 離散時間系統(tǒng)中最重要、 最常用的是“線性移不變系統(tǒng)”。（線性時不變系統(tǒng)或線性定常系統(tǒng)） 圖 1-16 離散時間系統(tǒng) 38一、 線性系統(tǒng)（） 那么當(dāng)且僅當(dāng)1. 定義：滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。 如果系統(tǒng)在x(n)和x2(n)單獨輸入時的輸出分別為y1(n)和y2(n)， 即: 同時成立時，該系統(tǒng)是線性的。式中ai為任意常數(shù)。這兩個性質(zhì)合在一起就成為疊加

14、原理，寫成 可加性齊次性或比例性392. 在證明一個系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時，必須證明此系統(tǒng)同時滿足可加性和比例性，而且信號可以是任意序列，包括復(fù)序列，比例常數(shù)可以是任意數(shù)，包括復(fù)數(shù)。 例1-10 以下系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)： y(n)=2x(n)+3解：設(shè)很明顯， 在一般情況下 所以此系統(tǒng)不滿足疊加原理， 故不是線性系統(tǒng)。 40二、移不變系統(tǒng)（時不變系統(tǒng)（） ）定義：系統(tǒng)的運算關(guān)系T在整個運算過程中不隨時間（也即不隨序列的先后）而變化，這種系統(tǒng)稱為移不變系統(tǒng)（或稱時不變系統(tǒng)）。 這個性質(zhì)可用以下關(guān)系表達：若輸入x(n)的輸出為y(n),則將輸入序列移動任意位后,其輸出序列除了跟著移動相同位外， 幅值應(yīng)該

15、保持不變，即若Tx(n)= y(n)則 Tx(n-m)= y(n-m) （m為任意整數(shù)） (1-20) 滿足以上關(guān)系的系統(tǒng)就稱為移不變系統(tǒng)。 41例1-12 證明 不是時不變系統(tǒng)。 證： 由于二者不相等，故不是移不變系統(tǒng)。 同時具有線性和移不變性的離散時間系統(tǒng)稱為線性移不變（LSI）離散時間系統(tǒng)，簡稱LSI系統(tǒng)。除非特殊說明，本書都是研究LSI系統(tǒng)。 42三、單位抽樣響應(yīng)（單位沖激響應(yīng)）與卷積和1. 定義：單位抽樣響應(yīng)是指輸入為單位沖激序列時系統(tǒng)的輸出。一般用h(n)表示，即h(n)=T(n)2. 線性移不變系統(tǒng)的卷積和表達式（） 設(shè)系統(tǒng)輸入序列為x(n)，輸出序列為y(n)。由于任一序列x(

16、n)可以寫成(n)的移位加權(quán)和， 即 （1-21）注：線性移不變系統(tǒng)可用它的單位沖激響應(yīng)h(n)來表征。(1-21)式完全表征了系統(tǒng)的時域特征。利用h(n)就可得到線性移不變系統(tǒng)對任意輸入的輸出。43系統(tǒng)的輸出為 由于系統(tǒng)是線性的， 利用疊加原理知 又由于系統(tǒng)是移不變的，故對移位的單位沖激序列的響應(yīng)就是單位沖激響應(yīng)的移位，即 因此，得到線性移不變系統(tǒng)的卷積和表達式：（1-22） 圖 1-19 線性移不變系統(tǒng) 圖 1-16 離散時間系統(tǒng) 反映了線性移不變離散時間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系 44四、線性移不變系統(tǒng)的性質(zhì) 1 交換律 由于卷積和與兩卷積序列的次序無關(guān), 故即卷積和服從交換律,這說明：如果把單

17、位沖激響應(yīng)h(n)改作為輸入，而把輸入x(n)改作為系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)，則輸出y(n)不變。 (1-24)圖1-20 卷積和服從交換律452 結(jié)合律利用卷積和的定義可證明卷積運算服從結(jié)合律，即 上式說明：兩個線性移不變子系統(tǒng)級聯(lián)后仍構(gòu)成一個線性移不變系統(tǒng),其單位沖激響應(yīng)為兩子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積,且線性移不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)與它們的級聯(lián)次序無關(guān)。 (1-25)46圖 1-21 具有相同單位沖激響應(yīng)的三個線性移不變系統(tǒng) 473 分配律 由卷積和的定義可證明卷積和服從加法分配律,即 (1-26)上式說明：兩個線性移不變系統(tǒng)的并聯(lián)等效系統(tǒng)（等式左邊）的單位沖激響應(yīng)等于兩系統(tǒng)各自單位沖激響應(yīng)之和。

18、圖1-22 線性移不變系統(tǒng)的并聯(lián)組合及其等效系統(tǒng) 481. 定義：因果系統(tǒng)是指某時刻系統(tǒng)的輸出只取決于此時刻和此時刻以前時刻的輸入的系統(tǒng)，即n時刻的系統(tǒng)輸出y(n)只取決于x(n), x(n-1), x(n-2), 。如果系統(tǒng)的輸出y(n)還取決于未來的輸入x(n+1), x(n+2), 這樣的系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，也即不現(xiàn)實的系統(tǒng)。五、因果系統(tǒng)（） 例：根據(jù)上述定義判斷下列5個系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)。1) y(n)=nx(n)2) y(n)=x(n+2)+ax(n)因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)492線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是 h(n)=0, n0 (1-27) 證明：可利用卷積和公式進行證明，參

19、見教材P27，28。3) y(n)=x(n3)4) y(n)=x(-n)5) y(n)=x(n)sin(n+2)非因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng) 注意：1)必須從全部時間上看輸入輸出關(guān)系的因果性 ； 2)考查因果系統(tǒng)時必須把輸入信號的影響與系統(tǒng)定義中用到的其他函數(shù)的影響區(qū)別開來。 注：n0，x(n)=0 的序列稱為因果序列，一個因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是因果序列。 50補充：LSI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)如下,判斷其是否為因果系統(tǒng)解：即n0時， h(n)=0, 所以系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。顯然n0時， h(n)0,所以系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。 51 許多重要的網(wǎng)絡(luò)，如頻率特性為理想矩形的理想低通濾波器以及理想微分器等都是

20、非因果的不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。但是數(shù)字信號處理往往是非實時的，即使是實時處理，也允許有很大延時。這時對于某一個輸出y(n)來說，已有大量的“未來”輸入x(n+1), x(n+2), ，記錄在存儲器中可以被調(diào)用，因而可以很接近于實現(xiàn)這些非因果系統(tǒng)。也就是說，可以用具有很大延時的因果系統(tǒng)去逼近非因果系統(tǒng)。這個概念在以后講有限長單位脈沖響應(yīng)濾波器設(shè)計時要常用到，這也是數(shù)字系統(tǒng)優(yōu)于模擬系統(tǒng)的特點之一。因而數(shù)字系統(tǒng)可以比模擬系統(tǒng)更能獲得接近理想的特性。 521. 定義：穩(wěn)定系統(tǒng)是指有界輸入產(chǎn)生有界輸出（BIBO）的系統(tǒng)。也就是說穩(wěn)定系統(tǒng)滿足：若|x(n)|M，則|y(n)|P 。六、穩(wěn)定系統(tǒng)（） 注意：要證明

21、一個系統(tǒng)不穩(wěn)定，只需找一個特別的有界輸入，如果此時能得到一個無界的輸出，那么就一定能判定一個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 但是要證明一個系統(tǒng)是穩(wěn)定的，就不能只用某一個特定的輸入作用來證明，而要利用在所有有界輸入下都產(chǎn)生有界輸出的辦法來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 53系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 補充：判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性1）當(dāng)時，有系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 解：2）當(dāng)時，輸出y(n)在 時有542. 線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是單位沖激響應(yīng)絕對可和， 即 (1-28)證明：充分性：由穩(wěn)定系統(tǒng)的定義證明； 必要性：反證法證明。 55如果輸入信號x(n)有界,即對于所有n皆有|x(n)|M,則 即輸出信號y(n)有界，故充分性得

22、證。 證明：充分性：即已知 成立，要證線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若必要性：利用反證法。已知系統(tǒng)穩(wěn)定，假設(shè) 56可以找到一個有界的輸入 式中h*(-n)是h(n)的復(fù)共軛。也即y(0)是無界的，這不符合穩(wěn)定的條件，因而假設(shè)不成立。所以 是穩(wěn)定的必要條件。 輸出y(n)在n=0 點上的值為 573. 一個結(jié)論：因果穩(wěn)定的線性移不變系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)既是因果的又是絕對可和的，即：58例1-16 設(shè)某線性移不變系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為討論系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。解：由題意知：1)討論因果性：n0時, h(n)=0,故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。2）討論穩(wěn)定性：所以 時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。59 離散時間線性時不變系統(tǒng)的輸入

23、輸出關(guān)系除了用卷積和表達式表示外,還常用以下形式的常系數(shù)線性差分方程表示, 即 (1-30)說明：1）常系數(shù)：是指決定系統(tǒng)特征的所有ak，bm都是常數(shù)。若系數(shù)中含有n，則稱為“變系數(shù)”線性差分方程。 2）階數(shù)：差分方程的階數(shù)等于輸出序列（指y(n)）變量序號的最高值與最低值之差。例如式(1-30)即為N階差分方程.1.3 常系數(shù)線性差分方程 603）線性：是指各y(n-k)以及各x(n-m)項都只有一次冪且不存在它們的相乘項;否則就是非線性的。 4）離散系統(tǒng)的差分方程表示法有兩個主要的用途：一是便于求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)；二是從差分方程表達式比較容易直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。一常系數(shù)差分方程的求解方法(

24、即系統(tǒng)輸出響應(yīng)的求法)1. 離散時域求解法2.變換域求解法：Z變換法經(jīng)典法迭代法卷積和計算法 61 差分方程在給定的輸入和給定的初始條件下，可用遞推迭代的辦法求系統(tǒng)的響應(yīng)。具體有兩種實現(xiàn)方式：1）當(dāng)輸入x(n)的形式簡單時，如x(n) =(n), u(n), RN(n)等，可直接利用差分方程迭代求解；2）當(dāng)輸入x(n)的形式比較復(fù)雜時，可先用迭代法求出輸入為(n)時系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)，再利用卷積和求得任意輸入下的系統(tǒng)輸出。62例1-18（教材P31）常系數(shù)線性差分方程分別在如下初始條件下：（1）y(-1)=0； （2）y(0)=0；求其單位沖激響應(yīng)。 (1-31)解：1、已知x(n)=

25、(n) ，且y(-1)=h(-1)=0。式(1-31)等價于： h(n)= ah(n-1)+(n)1）向n 2h） （c）已采樣信號頻譜（ s 2h）設(shè)xa(t)是限帶(頻帶有限)信號,且最高頻譜分量h，則1）s2h，則各周期延拓量的譜彼此不重疊，采用一個截止頻率為s/2的理想低通濾波器就可得到不失真的原信號頻譜。2）s2h ,則各周期延拓分量產(chǎn)生頻譜的交疊，稱為頻譜混疊現(xiàn)象。不可能無失真的恢復(fù)出原信號的頻譜。 h-h77采樣頻率之半（s/2）稱為折疊頻率，即當(dāng)信號最高頻譜分量超過折疊頻率時，就會造成頻譜的混疊。 2）采樣定理（）奈奎斯特采樣定理：若xa(t)是限帶信號，要想采樣后x(n)=xa(nT)能夠不失真地還原出原信號xa(t) ，則采樣頻率必須大于或等于兩倍信號譜的最高頻率，即78二