動(dòng)態(tài)幾何形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問題(共29頁)

1、PAGE PAGE - 34 - 數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。動(dòng)態(tài)題是近年來中考的的一個(gè)熱點(diǎn)問題，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題，就其運(yùn)動(dòng)對(duì)象而言，有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)三大類，就其運(yùn)動(dòng)形式而言，有軸對(duì)稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對(duì)稱、滾動(dòng)）等，就問題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象(t xin)問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解這類題目要“以靜制動(dòng)”，即把動(dòng)態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解，而靜態(tài)問題又是動(dòng)態(tài)問題的特殊情況。以動(dòng)態(tài)幾何問題

2、為基架而精心設(shè)計(jì)的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。 動(dòng)態(tài)幾何形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問題(wnt)是動(dòng)態(tài)幾何中的基本問題，其考點(diǎn)(ko din)包括單動(dòng)點(diǎn)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問題，雙（多）動(dòng)點(diǎn)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問題，線動(dòng)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問題，面動(dòng)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問題。在中考中，動(dòng)態(tài)幾何形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問題命題形式主要有選擇題和解答題。其考點(diǎn)類型主要有兩類，一是根據(jù)條件求出函數(shù)關(guān)系式，由函數(shù)關(guān)系式判斷函數(shù)圖象或求相應(yīng)變量的值；二是根據(jù)條件研究動(dòng)元素的變化趨勢(shì)（特殊位置）來判斷函數(shù)圖象。動(dòng)點(diǎn)變化的載體可以是三角形、特殊四邊形或圓等平面圖形，也可以是直線、雙曲線或拋物線等函數(shù)圖象。動(dòng)態(tài)幾何形

3、成的函數(shù)關(guān)系和圖象問題的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想準(zhǔn)確地進(jìn)行分類。一. 單動(dòng)點(diǎn)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問題例1（根據(jù)條件求出函數(shù)關(guān)系式，由函數(shù)關(guān)系式判斷函數(shù)圖象）真題顯示：（2013年河北省3分）如圖，梯形ABCD中，ABDC，DEAB，CFAB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DC-CB以每秒1個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，y = SEPF，則y與t的函數(shù)圖象大致是【 】A B C D思路(sl)點(diǎn)撥：從點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡分析，分三段考慮，點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，分別求出y與t的函數(shù)(hnsh)表

4、達(dá)式，繼而可得出函數(shù)圖象。 考點(diǎn)(ko din)分析：本題應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想和分類思想對(duì)動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象進(jìn)行探究，根據(jù)梯形的性質(zhì)，應(yīng)用勾股定理和銳角三角函數(shù)定義求出y與t的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)一次函數(shù)（正比例函數(shù)）的圖象作出判斷。拓展延伸：改變已知條件，可使問題得到變形或延伸，如：變形1：將題干中的等腰梯形變形為同一底上的兩底角為特殊(tsh)角的梯形，把應(yīng)用勾股定理求兩腰長變成應(yīng)用等腰直角三角形和含30度角的直角坐標(biāo)三角形的性質(zhì)求兩腰長：如圖，梯形(txng)ABCD中，ABDC，DEAB，CFAB，且AE = EF =DE =5 ， FB =，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)(chf)，沿折線AD-DC-CB

5、以每秒1個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，y = SEPF，則y與t的函數(shù)關(guān)系式為 。變形2：將題干中的y = SEPF變形為y = SAPF：如圖，梯形ABCD中，ABDC，DEAB，CFAB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DC-CB以每秒1個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，y = SAPF，則y與t的函數(shù)關(guān)系式為 。例2（根據(jù)條件研究動(dòng)點(diǎn)的變化趨勢(shì)或特殊位置來判斷函數(shù)圖象）真題顯示：（2013年北京市4分） 如圖，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2，設(shè)弦AP的長為x，APO的面積為y，則下列圖

6、象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是【 】A. B. C. D. 思路(sl)點(diǎn)撥：由所給的四個(gè)選項(xiàng)分析，應(yīng)用特殊元素(yun s)法，根據(jù)當(dāng)AP=x=1時(shí)，APO的面積y的值來對(duì)選項(xiàng)作出選擇。滿分(mn fn)答題：如圖，當(dāng)AP=x=1時(shí)，APO為等邊三角形，它的面積y，此時(shí)，點(diǎn)（1，）應(yīng)在y=的一半與之間，只有A選項(xiàng)符合。故選A?？键c(diǎn)分析：本題應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想和特殊元素法對(duì)動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象進(jìn)行探究，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，應(yīng)用點(diǎn)的坐標(biāo)所在位置作出判斷。拓展延伸：不改變已知條件，改變問題的所求可使問題得到延伸，如：變形1：不改變已知條件，求使y最大時(shí)，x的取值：如圖，點(diǎn)P是以O(shè)為

7、圓心，AB為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2，設(shè)弦AP的長為x，APO的面積為y，則使y最大時(shí)，x的取值是【 】A. B. C. 1 D. 變形2：不改變已知條件，求使y等于一個(gè)值時(shí)，x的取值：如圖，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2，設(shè)弦AP的長為x，APO的面積為y，則當(dāng)y=時(shí)，x的取值是【 】A. 1 B. C. 1或 D. 例3（以直線、雙曲線或拋物線等函數(shù)圖象為載體(zit)，根據(jù)條件求函數(shù)關(guān)系式）真題顯示(xinsh)：（ 2013年廣西貴港11分）如圖，在平面(pngmin)直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線交y軸于點(diǎn)C（0，4），對(duì)稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)D，頂點(diǎn)為M，且D

8、M=OC+OD（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PCD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若經(jīng)過點(diǎn)P的直線PE與y軸交于點(diǎn)E，是否存在以O(shè)、P、E為頂點(diǎn)的三角形與OPD全等？若存在，請(qǐng)求出直線PE的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由思路點(diǎn)撥：（1）略。（2）當(dāng)點(diǎn)P在MP之間時(shí)，如答圖所示，作輔助線構(gòu)造梯形，利用求出S關(guān)于x的表達(dá)式；同理可得當(dāng)點(diǎn)P在CM之間時(shí)，利用求出S關(guān)于x的表達(dá)式。求出拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到自變量的取值范圍。（3）略。考點(diǎn)(ko din)分析：應(yīng)用(yngyng)分類(f

9、n li)思想，作輔助線，構(gòu)造梯形，應(yīng)用轉(zhuǎn)換思想將所求面積轉(zhuǎn)換為梯形面積與兩個(gè)直角三角形面積的關(guān)系來建立函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，構(gòu)造并解一元二次方程，求出自變量的取值范圍。拓展延伸：改變載體的范圍，可使問題得到拓展和延伸，如：變形1：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D， 設(shè)點(diǎn)P（x，y）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合），PCD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。變形2：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是該拋物線在x軸上方(shn fn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求S關(guān)于x

10、的函數(shù)關(guān)系式并求S的最大值：如圖，在平面(pngmin)直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D， 設(shè)點(diǎn)P（x，y）是該拋物線在x軸上方的一個(gè)(y )動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合），PCD的面積為S，（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）問x為何值時(shí)，S取得的最大值，并求出最大值。二. 雙（多）動(dòng)點(diǎn)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問題例4（已知函數(shù)圖象，根據(jù)圖象探討動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的性質(zhì)）真題顯示：（2013年四川南充3分） 如圖（1），點(diǎn)E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BEEDDC 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都

11、是1cm/s，設(shè)P，Q出發(fā)t秒時(shí)，BPQ的面積為ycm2，已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖形如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：AD=BE=5cm；當(dāng)0t5時(shí)，；直線NH的解析式為；若ABE與QBP相似，則t=秒。其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為【 】A. 4 B. 3 C. 2 D. 1思路(sl)點(diǎn)撥：從圖（2）可知，在點(diǎn)M時(shí)BPQ的面積開始達(dá)到最大，此時(shí)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了5秒鐘，對(duì)應(yīng)圖（1），點(diǎn)P、Q分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E、C處，結(jié)合(jih)速度都是1cm/秒，得到(d do)BC=BE=5cm，而根據(jù)矩形對(duì)邊相等的性質(zhì)即可得出正確的結(jié)論。 當(dāng)0t5時(shí)，就是點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，從而根據(jù)銳角三角函數(shù)定義把B

12、PQ的高PF用t來表示，即可根據(jù)三角形面積公式求出BPQ的面積為y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，從而得出正確的結(jié)論。 求出圖（2）中點(diǎn)N、C的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法求出直線NH的解析式，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。 當(dāng)ABE與QBP相似時(shí)，點(diǎn)P在DC上，根據(jù)相似比列式即可求得t的值，從而得出正確的結(jié)論。滿分答題：根據(jù)圖（2）可得，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C， 點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒，BC=BE=5cm。AD=BE=5，故結(jié)論正確。如圖1，過點(diǎn)P作PFBC于點(diǎn)F，根據(jù)面積不變時(shí)BPQ的面積為10，可得AB=4。ADBC，AEB=PBF。PF=PBsinPBF=t。當(dāng)0t5時(shí)，。故結(jié)論(jiln)正確。

13、根據(jù)(gnj)57秒面積不變，可得ED=2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，面積(min j)變?yōu)?，此時(shí)點(diǎn)P走過的路程為BE+ED+DC=11，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（11，0）。設(shè)直線NH的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)H（11，0），點(diǎn)N（7，10）代入可得：，解得：。直線NH的解析式為：。故結(jié)論錯(cuò)誤。如圖2，當(dāng)ABE與QBP相似時(shí)，點(diǎn)P在DC上，tanPBQ=tanABE=，即。解得：t=。故結(jié)論正確。綜上所述，正確，共3個(gè)。故選B?？键c(diǎn)分析：對(duì)雙動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象的分析，準(zhǔn)確使用分類思想，根據(jù)矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、相似三角形的性質(zhì)和曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，應(yīng)用待定系數(shù)法和上述幾何性質(zhì)求函數(shù)關(guān)系式，

14、對(duì)各選項(xiàng)作出判斷。拓展延伸：改變條件和結(jié)論，或改變研究的載體，可使問題得到變形和延伸，如：變形1：改變條件和結(jié)論，求y與t的函數(shù)關(guān)系式并探究相似三角形的存在性：如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，AB=4cm，AD=BE=5cm，ED=2 cm，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BEEDDC 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s，設(shè)P，Q出發(fā)t秒時(shí)，BPQ的面積為ycm2，求y與t的函數(shù)關(guān)系式。變形2：改變研究(ynji)的載體，根據(jù)圖形進(jìn)行探究：如圖（1），點(diǎn)E為等腰梯形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)(chf)，點(diǎn)P沿BEEDDC 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C

15、停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s，設(shè)P，Q出發(fā)(chf)t秒時(shí)，BPQ的面積為ycm2，已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖形如圖（2）（曲線OM、NH均為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：AD=3cm；當(dāng)0t5時(shí)，；點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離為。其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為【 】A. 4 B. 3 C. 2 D. 1例5（已知函數(shù)圖象，根據(jù)已知探討雙動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中形成的性質(zhì)，并求函數(shù)關(guān)系式）真題顯示：（2013年江蘇連云港12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，6）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O、動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以1個(gè)單位長度/秒的速度

16、勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0t5）以P為圓心，PA長為半徑的P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D，連結(jié)CD、QC（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？（2）設(shè)QCD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值？（3）若P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接(zhji)寫出t的取值范圍。思路(sl)點(diǎn)撥：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)(zubio)求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根據(jù)點(diǎn)Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得ADC=90，再利用BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可。（2）利用BAO的正弦表示出CD的長，然后分點(diǎn)Q、D重合前與重合后兩

17、種情況表示出QD，再利用三角形的面積公式列式整理，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答。（3）分點(diǎn)Q、D重合前和點(diǎn)Q、D重合后兩種情況討論。當(dāng)點(diǎn)Q、D重合前，CQ與P相切前，P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)，求出CQ與P相切時(shí)t的取值即可求得這一時(shí)間內(nèi)P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)的范圍；點(diǎn)Q、D重合后，P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)。綜合二者即得結(jié)論。滿分答題：（1）A（8，0），B（0，6），OA=8，OB=6。點(diǎn)Q的速度是1個(gè)單位長度/秒，OQ=t。AQ=OAOQ=8t。P的直徑為AC，ADC=90。，即，解得。當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，AD=AQ，解得。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合。（2），即，解得。點(diǎn)Q、D重合(chngh

18、)前，即時(shí)，QCD的面積(min j)為。，當(dāng)t=時(shí)，S有最大值為。點(diǎn)Q、D重合(chngh)后，即時(shí)，QCD的面積為。，當(dāng)時(shí)，S隨t的增大而增大。當(dāng)t=5時(shí)，S有最大值為：。綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為。15，S的最大值為15。（3）點(diǎn)Q、D重合前，即時(shí)，CQ與P相切時(shí)t的值最大，此時(shí)，CQAB，AQ=8t，BAO=QAC，AOB=ACQ=90，ACQAOB。，即，解得t=。P與線段QC只有(zhyu)一個(gè)交點(diǎn)，t的取值范圍為。點(diǎn)Q、D重合(chngh)后，即時(shí)，P與線段QC只有(zhyu)一個(gè)交點(diǎn)?？键c(diǎn)分析：根據(jù)勾股定理、圓周角定理和銳角三角函數(shù)定義列出方程求解即可解決問題（1）；應(yīng)用分

19、類思想分兩種情況列二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值而解決問題（2）；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系和相似三角形的判定與性質(zhì)解決問題（3）。拓展延伸：不改變已知條件，改變問題的所求可使問題得到變換，如：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，6）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O、動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以1個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0t5）以P為圓心，PA長為半徑的P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D，連結(jié)CD、QC（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，DQ=2AD？（3）求線段QC所在直線與P相切時(shí)t的

20、值。三. 線動(dòng)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問題例6：（直線平移形成的函數(shù)關(guān)系問題）真題顯示(xinsh)：（2013年甘肅天水12分）如圖1，已知拋物線y=ax2+bx（a0）經(jīng)過(jnggu)A（3，0）、B（4，4）兩點(diǎn)。（1）求拋物線的解析(ji x)式；（2）將直線OB向下平移m個(gè)單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線上，且NBO=ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足PODNOB的點(diǎn)P坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對(duì)應(yīng)）。思路點(diǎn)撥：（1）略。（2）根據(jù)已知條件可求出OB的解析式為y=x，則向下平移m個(gè)單位長度后的解析式為：由

21、于拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點(diǎn)坐標(biāo)。（3）綜合利用幾何變換和相似關(guān)系求解：進(jìn)行翻折變換，將NOB沿x軸翻折，注意求出P點(diǎn)坐標(biāo)之后，該點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)也滿足題意，即滿足題意的P點(diǎn)有兩個(gè)。還可以進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，將NOB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90求解。滿分答題：（1）拋物線的解析式是(過程略)。（2）設(shè)直線OB的解析式為y=k1x，由點(diǎn)B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1。直線OB的解析式為y=x。直線OB向下平移m個(gè)單位長度后的解析式為：。點(diǎn)D在拋物線上，可設(shè)D（x，）。又點(diǎn)D在直線(zhxin)上，即。拋物線

22、與直線(zhxin)只有一個(gè)公共點(diǎn)，解得：m=4。此時(shí)(c sh)x1=x2=2，。D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）。（3）直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，3）。根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得出ABO=ABO，設(shè)直線AB的解析式為，過點(diǎn)（4，4），4k2+3=4，解得：k2=。直線AB的解析式是。NBO=ABO，ABO=ABO，BA和BN重合，即點(diǎn)N在直線AB上。設(shè)點(diǎn)N（n，）。又點(diǎn)N在拋物線上，解得：n1=，n2=4（不合題意，舍去）。N點(diǎn)的坐標(biāo)為（）。如圖，將NOB沿x軸翻折，得到N1OB1，則N1（），B1（4，4）。O、D、B1都在直線y=x上。

23、由勾股定理，得OD=，OB1=，P1ODNOB，NOBN1OB1，P1ODN1OB1。點(diǎn)P1的坐標(biāo)(zubio)為（）。將OP1D沿直線(zhxin)y=x翻折，可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P2（）。綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)(zubio)是（）或（）?？键c(diǎn)分析：根據(jù)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，應(yīng)用待定系數(shù)法和平移的性質(zhì)求一次函數(shù)的解析式，根據(jù)拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)的代數(shù)意義，應(yīng)用一元二次方程根的判別式求出m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；應(yīng)用分類思想，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。拓展延伸：改變運(yùn)動(dòng)的主體，可使問題得到變形，如：如圖，已知拋物線y=ax2+bx（a0）經(jīng)過A（3，0）、B

24、（4，4）兩點(diǎn)。（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線向上平移m個(gè)單位長度后，得到的拋物線與直線OB只有一個(gè)公共點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)。例7：（曲線平移形成的函數(shù)關(guān)系問題）真題顯示：（2013年遼寧大連3分）如圖，拋物線與y軸相交于點(diǎn)A，與過點(diǎn)A平行于x軸的直線相交于點(diǎn)B（點(diǎn)B在第一象限）拋物線的頂點(diǎn)C在直線OB上，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D平移拋物線，使其經(jīng)過點(diǎn)A、D，則平移后的拋物線的解析式為 思路(sl)點(diǎn)撥：求出點(diǎn)A、D的坐標(biāo)(zubio)，根據(jù)拋物線平移(pn y)不改變形狀的性質(zhì)，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出平移后的拋物線解析式。滿分答題：在中，令x=0，則y=，點(diǎn)A（0，），根據(jù)題意，

25、點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，OAB的中位線在對(duì)稱軸上。頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為。根據(jù)頂點(diǎn)公式，得，解得b1=3，b2=3。由圖可知，b0。b=3。對(duì)稱軸為直線x=。點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）。設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=x2+mx+n，則，解得。平移后的拋物線的解析式為?？键c(diǎn)分析：根據(jù)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)三角形中位線定理和二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)平移變換的性質(zhì)，應(yīng)用待定系數(shù)法求出平移后的拋物線解析式。拓展延伸：改變已知，可使問題得到變形，如：如圖，拋物線與y軸相交于點(diǎn)A，與過點(diǎn)A平行于x軸的直線相交于點(diǎn)B（點(diǎn)B在第一象限）拋物線的頂點(diǎn)C在直線OB上，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D

26、。平移拋物線，使其經(jīng)過點(diǎn)B、D，則平移后的拋物線的解析式為 。例8：（直線旋轉(zhuǎn)(xunzhun)形成的函數(shù)(hnsh)關(guān)系問題(wnt)）真題顯示：（2013年重慶市B4分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上一點(diǎn)P（1，1），C為y軸上一點(diǎn)，連接PC，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900至線段PD，過點(diǎn)D作直線ABx軸。垂足為B，直線AB與直線交于點(diǎn)A，且BD=2AD，連接CD，直線CD與直線交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 。思路點(diǎn)撥：由圖形可知，要求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即求直線CD、OA的交點(diǎn)，由于直線OA已知，故只要求直線CD即可；要求直線CD，只要求得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)即可。從而可作輔助線：過點(diǎn)P 作EFx軸，

27、交y軸與點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，從而求得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)?？键c(diǎn)(ko din)分析：通過(tnggu)作輔助線，根據(jù)(gnj)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)得出EP=DF，從而根據(jù)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系得出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，從而解方程組求得。拓展延伸：替換已知的等價(jià)條件，可使問題不變，如：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上一點(diǎn)P（1，1），C為y軸上一點(diǎn)，連接PC，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900至線段PD，過點(diǎn)D作直線ABx軸。垂足為B，直線AB與直線交于點(diǎn)A，且OB=2，連接CD，直線CD與直線交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 。四. 面動(dòng)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象

28、(t xin)問題例9（平面幾何中，面動(dòng)平移(pn y)形成的函數(shù)(hnsh)關(guān)系問題）真題顯示：（2013年青海西寧3分）如圖，矩形的長和寬分別是4和3，等腰三角形的底和高分別是3和4，如果此三角形的底和矩形的寬重合，并且沿矩形兩條寬的中點(diǎn)所在的直線自右向左勻速運(yùn)動(dòng)至等腰三角形的底與另一寬重合。設(shè)矩形與等腰三角形重疊部分（陰影部分）的面積為y，重疊部分圖形的高為x，那么y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致應(yīng)為【 】A B C D思路點(diǎn)撥：把動(dòng)態(tài)作靜態(tài)來對(duì)待，矩形與等腰三角形重疊部分（陰影部分）除開始和結(jié)束外是等腰梯形，要求它的的面積y與重疊部分圖形的高為x的函數(shù)圖象，由于下底一定，高為x，故只要把上底用x

29、來表示即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式從而判斷出函數(shù)的圖象。從而，如圖，連接IE，由EGHECD可求得上底GH關(guān)于x的表達(dá)式，問題得到解決。滿分答題：如圖，連接IE， 根據(jù)題意，CD=3，EF=4，F(xiàn)I=x，EI=4x，易得，EGHECD，即。y關(guān)于x的函數(shù)(hnsh)圖象是拋物線在的一段，且當(dāng)x=4時(shí)，y=6。故選B?？键c(diǎn)(ko din)分析：通過(tnggu)作輔助線，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)表示出上底的長，即可根據(jù)梯形面積公式求出關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)作出判斷。拓展延伸：改變條件和結(jié)論，可使問題得到變形和延伸，如：變形1：改變自變量x的定義，求y與x的函數(shù)關(guān)系式：如圖

30、，矩形的長和寬分別是4和3，等腰三角形的底和高分別是3和4，如果此三角形的底和矩形的寬重合，并且沿矩形兩條寬的中點(diǎn)所在的直線自左向右勻速運(yùn)動(dòng)至等腰三角形的底與另一寬重合。設(shè)矩形與等腰三角形重疊部分（陰影部分）的面積為y，等腰三角形自左向右運(yùn)動(dòng)的距離為x，那么y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 。變形2：改變動(dòng)態(tài)的主體，使問題得到變形：如圖，矩形的長和寬分別是3和2，等邊三角形的邊長是2，如果此三角形的一邊和矩形的寬重合，并且沿矩形兩條寬的中點(diǎn)所在的直線自右向左勻速運(yùn)動(dòng)至與另一寬重合。設(shè)矩形與等邊三角形重疊部分（陰影部分）的面積為y，重疊部分圖形的高為x，那么y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致應(yīng)為【 】A B C D例

31、10（直角坐標(biāo)系中，面動(dòng)平移(pn y)形成的函數(shù)(hnsh)關(guān)系問題(wnt)）真題顯示：（2013年湖北宜昌12分）如圖1，平面之間坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，經(jīng)過O，C兩點(diǎn)做拋物線（a為常數(shù)，a0），該拋物線與斜邊AB交于點(diǎn)E，直線OA：y2=kx（k為常數(shù)，k0）（1）填空：用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值：A ，k= ；（2）隨著三角板的滑動(dòng)，當(dāng)a=時(shí)：請(qǐng)你驗(yàn)證：拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上；當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；（3）直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)txt+4，的值隨x的增大而減小，當(dāng)x

32、t+4時(shí)，的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍思路點(diǎn)撥：（1）根據(jù)題意易得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與點(diǎn)C的相同，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)即是線段AC的長度；把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線OA的解析式來求k的值。（2）求得拋物線y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)(zubio)，然后把該坐標(biāo)代入函數(shù)，若該點(diǎn)滿足函數(shù)(hnsh)解析式，即表示該頂點(diǎn)(dngdin)在函數(shù)圖象上；反之，該頂點(diǎn)不在函數(shù)圖象上。如圖1，過點(diǎn)E作EKx軸于點(diǎn)K則EK是ACB的中位線，所以根據(jù)三角形中位線定理易求點(diǎn)E的坐標(biāo)，把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線即可求得t=2。（3）如圖2，根據(jù)拋物線與直線相交可以求得點(diǎn)D橫坐標(biāo)是，則，由此可以求得a與t的關(guān)系式。由求得取得最大值

33、時(shí)的x值，同時(shí)由時(shí)，取得最小值0，得出當(dāng)時(shí)，的值隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，的值隨x的增大而增大。從而由題意，得，結(jié)合，求出t的取值范圍。滿分答題：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（t，4）。直線OA：y2=kx（k為常數(shù)，k0），4=kt，則（k0）。（2）當(dāng)a=時(shí)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為。對(duì)于，當(dāng)x=時(shí)，。點(diǎn)在拋物線上。當(dāng)a=時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上。如圖1，過點(diǎn)E作EKx軸于點(diǎn)K，ACx軸，ACEK。點(diǎn)E是線段(xindun)AB的中點(diǎn)，K為BC的中點(diǎn)。EK是ACB的中位線。EK=AC=2，CK=BC=2。E（t+2，2）。點(diǎn)E在拋物線上，解得t=2。當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為

34、AB的中點(diǎn)(zhn din)時(shí)，t=2。（3）如圖2，由得， 解得，或x=0（不合(bh)題意，舍去）。點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是。當(dāng)時(shí)，=0，由題意得，即。又，當(dāng)時(shí)，取得最大值。又當(dāng)時(shí)，取得最小值0，當(dāng)時(shí)，的值隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，的值隨x的增大而增大。由題意，得，將代入得，解得。綜上所述，a與t的關(guān)系式為，t的取值范圍為?？键c(diǎn)(ko din)分析：根據(jù)(gnj)數(shù)形結(jié)合(jih)思想求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而應(yīng)用直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系求出k的值；由二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系驗(yàn)證拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上；根據(jù)平行的判定和三角形中位線的性質(zhì)即可求t的值；同樣根

35、據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系可列式求解方程組得到a與t的關(guān)系式和t的取值范圍。拓展延伸：改變條件，可使問題得到變形，如：如圖，平面之間坐標(biāo)系中，RtABC的ACB=90，CAB=30，直角邊BC在x軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=，經(jīng)過O，C兩點(diǎn)做拋物線（a為常數(shù)，a0），該拋物線與斜邊AB交于點(diǎn)E，直線OA：y2=kx（k為常數(shù)，k0）（1）填空：用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值：A ，k= ；（2）隨著三角板的滑動(dòng)，當(dāng)a=1時(shí)：請(qǐng)你驗(yàn)證：拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上；當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值。例11（平面幾何中，面動(dòng)旋轉(zhuǎn)形成的函數(shù)關(guān)系問

36、題）真題顯示：（2011年廣東省9分）如圖（1），ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90，固定ABC，將DEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止?，F(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線) 于G，H點(diǎn)，如圖(2)（1）問：始終(shzhng)與AGC相似的三角形有 及 ；（2）設(shè)CG=x，BH=y，求y關(guān)于(guny)x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)圖（2）的情形說明理由）（3）問：當(dāng)x為何(wih)值時(shí)，AGH是等腰三角形。思路點(diǎn)撥：（1）要求始終與AGC相似的三角形，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)

37、相等的判定，由等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形外角定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AGC和HAB、HGA各有兩組對(duì)應(yīng)角相等，從而得出結(jié)論。 （2）利用AGCHAB得對(duì)應(yīng)邊的比即可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。 （3）考慮GAH是等腰三角形底角和頂角兩種情況分別求解即可。滿分答題：（1）在AGC和HAB中， AGC=B+BAG=B+900GAC=1350GAC， BAH=BAC+EAFEAC=900+450GAC，AGC=BAH。又ACG=HBA=450，AGCHAB。在AGC和HGA中，CAG=EAFCAF=450CAF，H=1800ACHCAH=18001350CAF=450CAF，CAG=H。又AGC=HGA，AGCHGA。綜上所述，始終與AGC相似的三角形有HAB 和HGA。 （2）AGCHAB，即。 又BC