離散數(shù)學(xué)第五章-代數(shù)系統(tǒng)簡介課件

1、 初等代數(shù)研究的對象是數(shù),運算是數(shù)的加法、減法、乘法等.由于數(shù)學(xué)和科學(xué)的發(fā)展，我們需要對許多不是數(shù)的對象進(jìn)行研究，并按照類似于以上運算的規(guī)則進(jìn)行計算.因此，我們將這些東西抽象出來統(tǒng)一研究，就產(chǎn)生了抽象代數(shù). 由集合和集合上的運算所構(gòu)成的系統(tǒng)稱為代數(shù)系統(tǒng).本章將給出代數(shù)系統(tǒng)的一般定義與實例，并討論一些典型的代數(shù)系統(tǒng).第五章 代數(shù)系統(tǒng)簡介內(nèi)容：二元運算，交換律，結(jié)合律，分配 律，吸收律，冪等律，消去律等。重點：（1）掌握二元運算的概念； （2）掌握二元運算的重要性質(zhì)； （3）掌握零元，幺元，逆元的定義。5.1 二元運算及性質(zhì)定義5.1 設(shè)A為非空集合，n為正整數(shù)，則函數(shù)稱為集合A上的n元運算.當(dāng)n

2、=1時，函數(shù)稱為集合A上的一個一元運算； 當(dāng)n=2時，函數(shù)稱為集合A上的一個二元運算； 二元運算是最常見的代數(shù)運算.例如: 集合N上的一個二元運算.但普通的減法運算不是N上的二元運算，因為兩個自然數(shù)相減可能為負(fù)數(shù)，而負(fù)數(shù)不屬于自然數(shù).這時也稱集合N對減法不封閉.,就是自然數(shù)注意：驗證一個運算為集合上A的二元運算，要滿足以下兩個條件： A中的任何元素都可以進(jìn)行這種運算，且運算 的結(jié)果是唯一的. A中的任何元素的運算結(jié)果都屬于A ，即運算在A上是封閉的.法，除法不是。 (1) 自然數(shù)集合上的加法，乘法都是二元運算，但減(3)A為任意集合，則并、交、差、補為集合A上的冪集() 上的二元運算.(4)

3、表示所有 階實矩陣的集合 則矩陣的加法、減法、乘法和除法都是二元運算。 ，例1 判斷下列幾個命題哪些是正確的，哪些是不正確的.但除法不(2)上的加法，乘法，減法都是二元運算，上求相反數(shù)的運算是一元運算。 是。解：在上述個命題中，、和是正確的，是錯誤的.我們通常用等符號表示二元運算，稱為算符.是上的二元運算，對任意的設(shè)可記作和二元運算一樣，也可以使用算符來表示元運算.若 ，則可記為例如， 一元運算，二元運算， 三元運算.這些相當(dāng)于前綴表示法，但對二元運算用得較多的還是 .我們在本書中所涉及的代數(shù)運算僅限于一元.和二元運算如果集合是有窮集，上的一元和二元運算也可以用運算表給出.表51和表52是一元

4、和二元運算表的一般形式.表51 表51例2、(2) 設(shè)，定義 二元運算如下： 上的兩個求運算和的運算表。解： 分別是 ，的和與積除以5的余數(shù)，運算表如下： 二、有關(guān)運算律。 設(shè)是A上的二元運算，如果對A內(nèi)的任意元素2、若，則稱運算“*”的.或稱“*”滿足結(jié)合律.在A上是可結(jié)合,b,c1、若者說運算“”滿足交換律.，則稱運算“”在A上是可換的 ，或例如：在實數(shù)集R上，通常的加法和乘法都滿足交換律，但減法和除法不滿足交換律.因為2和4都是實數(shù).因為2-44-2.在冪集P(S)上都滿足交換律，但相對補不滿足交換律.例如：實數(shù)R上的全體n階方陣構(gòu)成的集合上的方陣的乘法滿足結(jié)合律，而減法不滿足結(jié)合律.

5、在冪集P(S)上也是可結(jié)合的.注意：一個代數(shù)運算如果滿足結(jié)合律，則進(jìn)行運算時常省略括號，如： 如果每一次參與運算的都是同一個元素，還可以用該元素的冪來表示，如，當(dāng)運算滿足結(jié)合律時，用數(shù)學(xué)歸納法很容易證明 ，m,n為正整數(shù).3、若，則稱運算“”對運”滿足左分配律；算“，算“算“，則稱運算“”對運”滿足左分配律；”滿足右分配律.若左右分配律則則運算“”對運算“”對運算“”對運算“稱運算“”對運算“”對運算“”對運算“均滿足，”滿足分配律.左吸收律；若，則稱運算“”對運算”對運”對運算“，則4、若稱運算“”對運算“”對運算“”對運算“”滿足”對運算“”滿足右吸收律.若左右吸收律均滿足，則稱運算“”滿

6、足吸收律.若若5.2 代數(shù)系統(tǒng)及其子代數(shù)和積代數(shù)內(nèi)容：子代數(shù)，積代數(shù)。重點：掌握子代數(shù)的定義。了解：積代數(shù)的定義。5.3 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)和同構(gòu)內(nèi)容：同態(tài)，滿同態(tài)，同構(gòu)。重點： （1）掌握同態(tài)，滿同態(tài)的定義； （2）掌握判斷兩個代數(shù)系統(tǒng)同態(tài)的方法； （3）掌握判斷兩個代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)的方法； 5.4 群的基礎(chǔ)知識 內(nèi)容：半群，群，群同態(tài)，群同構(gòu)，子群，循環(huán)群。重點：（1）掌握半群，群，群同態(tài)，群同構(gòu)，子 群，循環(huán)群的定義；（2）掌握判斷一個代數(shù)系統(tǒng)為群，子群的方法；（3）掌握群的階，有限群，無限群的定義。第五章 小結(jié)和例題一 、 二元運算及其性質(zhì)1、基本概念。n元運算,二元運算，算符，交換律，結(jié)合律，分配律，吸收律，冪等律，消去律零元，幺元，逆元。2、應(yīng)用。（1）判斷一個運算是否為二元運算；（2）識別二元運算的常見性質(zhì)； （3）判斷一個二元運算是否有零元，幺元，逆元，如果有，找出它們。二、代數(shù)的基本知識1、基本概念。 代數(shù)系統(tǒng)的子代數(shù)和積代數(shù)，代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)和同構(gòu)，滿同態(tài)，同態(tài)映射，同構(gòu)映射。2、應(yīng)用 （1）求一個代數(shù)系統(tǒng)的子代數(shù)，積代數(shù)； （2）證明兩個代數(shù)系統(tǒng)是同態(tài)或者同構(gòu)的。三、群