線性代數(shù)--向量空間課件

1、 n維向量空間 向量組的線性相關(guān)性 向量組的秩 齊次線性方程組 非齊次線性方程組第四章 向量空間n維向量的概念與運(yùn)算n維向量空間向量組的線性組合與線性表示第一節(jié) n維向量空間一、n 維向量的概念與運(yùn)算定義4.1例如n維行向量第1個(gè)分量第n個(gè)分量第2個(gè)分量向量解析幾何線性代數(shù)既有大小又有方向的量有次序的實(shí)數(shù)組成的數(shù)組幾何形象：可隨意平行移動(dòng)的有向線段代數(shù)形象：向量的坐標(biāo)表示式坐標(biāo)系 時(shí)， 維向量沒有直觀的幾何形象確定飛機(jī)的狀態(tài)，需要以下6個(gè)參數(shù)：飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角機(jī)身的仰角機(jī)翼的轉(zhuǎn)角所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用6維向量 維向量的實(shí)際意義定義4.2定義4.3定義4

2、.4定義4.5向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算都按照矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算注意運(yùn)算規(guī)律有了矩陣和向量的定義后，按矩陣的乘法，形如含n個(gè)未知量m個(gè)方程的線性非齊次方程組可寫成矩陣形式其中特別地實(shí)數(shù)域上的 n維向量全體，當(dāng)定義了二、n維向量空間定義4.6定義4.7上述向量的加法及數(shù)乘向量運(yùn)算之后，就稱其為為實(shí)數(shù)域上的n維向量空間。記作空間解析幾何線性代數(shù)點(diǎn)空間：點(diǎn)的集合向量空間：向量的集合坐標(biāo)系代數(shù)形象：向量空間中的平面幾何形象：空間直線、曲線、空間平面或曲面一一對(duì)應(yīng)三、向量組的線性組合與線性表示定義4.8由若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或行向量）所組成的集合叫做向量組。設(shè)是n維向量組，是一組實(shí)數(shù)，的線性組合。例如

3、向量就是這3個(gè)向量 的一個(gè)線性組合。存在一組實(shí)數(shù) 則稱向量b是向量組使得也稱向量b可由向量組線性表示。都是 n 維向量,如果對(duì)向量b的線性組合，例如 對(duì)向量有及 還有而且表示的方法不惟一向量n維向量向量空間小 結(jié) n維向量的運(yùn)算n維向量的概念、表示解析幾何與線性代數(shù)中向量的聯(lián)系與區(qū)別向量空間的概念向量在生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)研究中的廣泛應(yīng)用思考題設(shè)問 是不是 子空間？為什么？ 如果我們還需要考察其它指標(biāo)，比如平均成績(jī)、總學(xué)分等，維數(shù)還將增加答36維的若一個(gè)本科學(xué)生大學(xué)階段共修36門課程,成績(jī)描述了學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，把他的學(xué)業(yè)水平用一個(gè)向量來表示，這個(gè)向量是幾維的？請(qǐng)大家再多舉幾例,說明向量的實(shí)際應(yīng)用第二

4、節(jié) 向量組的線性相關(guān)性向量、向量組與矩陣向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組線性相關(guān)的判定定理一、向量、向量組與矩陣向量組 , , ， 稱為矩陣A的行向量組 反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣.線性方程組的向量表示方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)如果對(duì)給定向量組A： 存在不全為零的實(shí)數(shù) 定義4.9否則稱之為線性無關(guān)。二、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)使得則稱向量組線性相關(guān)；線性無關(guān)。即當(dāng)且僅當(dāng) 注 意(1) 任何含有零向量的向量組都線性相關(guān). （2） 僅含兩個(gè)向量的向量組，它線性相關(guān)的充分 必要條件是兩向量的對(duì)應(yīng)分量成比例。其幾 何意義是兩向量共線。（3）三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義

5、是三向量共面。 由于 即 例4.8 試判斷下列向量組的線性相關(guān)性 解 若存在數(shù)使 即 因?yàn)槠湎禂?shù)行列式 D=于是方程組只有零解，線性無關(guān)。所以例4.9 試 判斷下列向量組的線性相關(guān)性解 考察按分量寫出來，即為（其中a，b，c，d各不相同）該方程組的系數(shù)行列式由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零即方程組只有零解，從而線性無關(guān)。解 若存在數(shù) 即 例4.10 試判斷下列向量組的線性相關(guān)性因?yàn)槠湎禂?shù)行列式 D=于是方程組有非零解，即有不全為零數(shù)使(*)成立線性相關(guān)。所以令顯然是它的一個(gè)解，計(jì)算可知因此線性相關(guān)。由（a）代入（b）（c）整理得另 解證明 設(shè)有線性無關(guān)。例4.11 試證n維單位

6、坐標(biāo)向量組即解之得所以線性無關(guān)。定理4.1 n維向量組線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示。證明 必要性 若即存在不全為零的數(shù)使得三、向量組線性相關(guān)的判定定理線性相關(guān)，不妨設(shè)于是即可由其余的向量線性表示充分性 若有一個(gè)向量可由其余的向量線性表示即那么由系數(shù)不全為零，知向量組線性相關(guān)。定理4.2 n維向量線性相關(guān)的充要條件是齊次線性方程組AX=0 有非零解 其中證明 按線性相關(guān)的定義，向量組等價(jià)于方程的線性相關(guān)有非零解。若令 則上式寫成因?yàn)?1)與(2)同解，也就是說，向量組的線性相關(guān)等價(jià)于其次方程組AX=0有非零解。條件是推論 n個(gè)n維向量線性相關(guān)的充要定理4.3中任意n

7、+1個(gè)向量必定線性相關(guān)證明 若線性相關(guān)，則線性相關(guān)，線性無關(guān)，則由于方程組的系數(shù)行列式不為零，所以方程組有唯一解，即可由線性表示，從而知線性相關(guān)推論 m個(gè)n維向量（mn）必線性相關(guān)。定理4.4 設(shè)n維向量組線性無關(guān)，而線性相關(guān)，則可由線性表出，且表示法唯一。證明 由零的數(shù)線性相關(guān)知，存在不全為使得 若 則不全為零，而有這與線性無關(guān)相矛盾，從而 于是 即可由線性表示 。 假若可有兩種不同的表示方法，設(shè)兩式相減，得 唯一性線性無關(guān)相矛盾，不全為零，則與如果系數(shù)從而必全為零線性表示的方法是唯一的。定理4.5 設(shè)有兩向量組則有（1） 若向量組線性無關(guān)。也線性無關(guān)則向量組也線性相關(guān)。（2） 若向量組線性

8、相關(guān)，則向量組證明 （1）反證 假設(shè)則存在不全為零的數(shù) 使得 即 線性相關(guān)，由其前 r 個(gè)等式得： 即這表明 r 維向量組所以r+1維向量組線性無關(guān)。線性相關(guān)，矛盾，(2) 反證 假設(shè) r 維向量組由（1）推得 r+1 維向量組 線性無關(guān)；線性無關(guān)，與題設(shè)矛盾。所以向量組線性相關(guān)。證畢此結(jié)論對(duì) m 個(gè) r 維向量組添加 m-r 維分量的情形也成立。定理4.6 若 n 維向量組A：線性相關(guān)，則向量組B：線性相關(guān)。反言之若向量組B線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān)證明 由向量組A：線性相關(guān)，知存在不全為零的實(shí)數(shù)使得于是而不全為零故向量組B線性相關(guān)。反之，假若向量組 A 線性相關(guān)，則由上述證明知向量組

9、B 線性相關(guān)，這與已知矛盾。于是向量組 A 線性無關(guān)。本定理說明（1）若向量組有一個(gè)部分組線性相關(guān) ， 則該向量組也線性相關(guān)。（2）線性無關(guān)向量組的任一個(gè)部分組都線性無關(guān)。例4.12 設(shè)向量組線性無關(guān)，而線性相關(guān)，試證（1）可由不可由線性表示，線性表示，（2）證明（1）因?yàn)榫€性無關(guān)，由定理 4.6知，其部分組也線性無關(guān)，又因?yàn)榫€性相關(guān)，所以由定理4.4知：也即因此可由線性表示。可由線性表示，即證（2）用反證法 假設(shè)可由線性表示，即而由（1）的證明知將之代入上式得：此式說明：可由線性表示，從而可推出線性相關(guān)，與題設(shè)矛盾。不可由線性表示。故. 向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方程組的向量表示；線

10、性組合與線性表示的概念；. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用；（重點(diǎn)）. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義，兩個(gè)定理（難點(diǎn)）小 結(jié) 若存在一組數(shù)使得則向量組A 線性相關(guān) B 線性無關(guān) C 部分線性相關(guān) D 可能 線性相關(guān)也可能線性無關(guān)思考題1. 向量組線性無關(guān)的充要條件是A都是零向量B中任意兩個(gè)向量的分量不成比例C中有一部分組線性無關(guān)D中任意向量均不可由其余向量線性表示練習(xí)2. 設(shè)有向量組則下列哪種說法正確?A 該向量組線性相關(guān)，則 必可由線性表示。B 該向量組線性無關(guān)，則其中任何 m-1 個(gè)向量必 線性無關(guān)。C 若該向量組中任何兩個(gè)向量都線性無關(guān)，則該向量組必線性無

11、關(guān)。D 若全為零，使則該向量組必線性無關(guān)。向量組之間的關(guān)系向量組的極大無關(guān)組向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩第三節(jié) 向量組的秩設(shè)有兩個(gè)n 維向量組 A: B: 如果A組中每個(gè)向量都可由向量組B則稱向量組A可由向量組B線性表示。線性表示，一、 向 量組之間的關(guān)系定義4.10 如果 A、B 這兩個(gè)向量組可以互相線性表示， 則稱向量組 A 和向量組 B 是等價(jià)的，記為AB。關(guān)于向量組的等價(jià)，顯然有下面三條性質(zhì)： 1. 自反性 A A 2. 對(duì)稱性 若AB，則BA 3. 傳遞性 若AB，BC則AC定理4.6 在中，如果向量組A：可由向量組B：而且線性無關(guān)，則線性表示，證明 假設(shè)因?yàn)槎伎捎删€性表示，故可設(shè)

12、以上各式的系數(shù)構(gòu)成 k 個(gè) s 維的向量因?yàn)樗赃@ k 個(gè) s 維向量線性相關(guān)，即存在一組不全為零的實(shí)數(shù)使考察由于不全為零，所以線性相關(guān)與已知矛盾，從而推論 等價(jià)的線性無關(guān)向量組所含向量的個(gè)數(shù)相等。二、向量組的極大無關(guān)組 （1） 線性無關(guān)（2） A 組中任何一個(gè)向量 ，都 能由 B 組向量 線性表示定義4.11若向量組 A 的一個(gè)部分組 B 滿足則稱部分組 B 為向量組 A 的一個(gè)極大線性無關(guān)組（簡(jiǎn)稱極大無關(guān)組）.定理4.7 向量組與它的任一個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)證明 因?yàn)闃O大無關(guān)組可由向量組線性表出， 由極大無關(guān)組的定義，所給向量組可由極大 無關(guān)組線性表出，所以向量組與它的任意一 個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)

13、推論 向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)。 向量組組中所含向量的個(gè)數(shù) r 稱為這個(gè)向量組的秩，記作只含零向量的向量組的秩規(guī)定為0的極大線性無關(guān)三、向 量 組 的 秩 定義4.12由定理 4.6 的推論及定義 4.12 易知：兩個(gè)等價(jià)向量組的秩必相同。由矩陣各列向量，各行向量四、向量組的秩與矩陣的秩 組成的矩陣A的列向量組為組成的矩陣A的行向量組為定理4.8 矩陣 A 的列向量組的秩等于矩陣A 的秩。證明 設(shè)矩陣 A 的秩為r，不失一般性，可設(shè)A的 某一不等于零的 r階子式 D 位于A 的左上角，否則，可以經(jīng)過調(diào)換列達(dá)到這一結(jié)果。此時(shí)由假設(shè)含D的任一r+1階子式必等于零。首先，A 的前 r 列向量必

14、線性無關(guān)，否則其中某個(gè)列向量可由其余r-1個(gè)列向量線性表示，便導(dǎo)出D=0，這與假設(shè)矛盾。為此，作r+1階輔助行列式 由前r個(gè)列向量線性表示。個(gè)列向量可其次，我們來證明A的第從中可以看出，當(dāng)時(shí)中有兩行相同，因而總之對(duì)任一皆有將按最后一行展開，有 ：其中是中相對(duì)于的代數(shù)余子式，它們皆與k無關(guān)，因?yàn)楣实檬茿的含有D的r+1階子式，kr當(dāng)時(shí)由假設(shè)知的秩為r。前r個(gè)列向量線性表示，也就證明了矩陣A的列向量這就表明A的第個(gè)列向量可由解 對(duì)A施行初等行變換化為行階梯形矩陣故R(A)=3，從而A的列向量組的極大無關(guān)組含3個(gè)向量，而三個(gè)非零行的非零首元在1、2、4三列，所以例4.13 求向量組的極大無關(guān)組。解

15、由這些向量為行向量夠構(gòu)成一個(gè)矩陣，然后對(duì)此矩陣實(shí)施行初等變換化其為階梯形是向量組的極大無關(guān)組。極大線性無關(guān)組的概念：最大性、線性無關(guān)性 矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系： 矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩 關(guān)于向量組秩的一些結(jié)論：定理、推論求向量組的秩以及極大無關(guān)組的方法： 將向量組中的向量作為列(行)向量構(gòu)成一個(gè)矩陣， 然后進(jìn)行初等行(列)變換小 結(jié)思考題向量組的秩與矩陣的秩有何關(guān)系？向量組的極大無關(guān)組是唯一的嗎？第四節(jié) 齊次線性方程組齊次線性方程組的概念齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系齊次線性方程組的解空間一、齊次線性方程組齊次線性方程組若令則 （1）可寫成矩陣形式:則 (1) 也可寫成向量形式

16、:那么齊次線性方程組在什么條件下有非零解？當(dāng)方程組有非零解時(shí)，如何求出其所有的解？是齊次線性方程組的解，稱為零解.顯然 由(3)式可知:如果方程組(2)只有零解,即等式有非零解R（A） n齊次線性方程組只有零解R（A）= n齊次線性方程組 線性無關(guān),那么R(A)=n。如果方程組(2)有非零解,則向量組線性相關(guān),那么R(A)n定理4.9證明 只有系數(shù)全為零時(shí)成立從而反之亦然。齊次線性方程組的解有兩個(gè)重要的性質(zhì)如下：（1） 若都是齊次線性方程組的解，那么也是的解，這是因?yàn)槎?、齊次線性方程組的解空間的解齊次線性方程組（2） 若則對(duì)任意實(shí)數(shù)也是的解。（原因是 若用S表示方程組(1)的全體解向量所組成的

17、集合則上述兩個(gè)性質(zhì)即為：這說明集合 S 對(duì)向量的線性運(yùn)算封閉，所以S 構(gòu)成 的一個(gè)子空間，稱其為齊次線性方程組(1)的解空間。是齊次線性方程組的一組解向量，若它滿足下列條件：（1）線性無關(guān)；三、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系定義4.13（2）方程組的任一解向量都可由線性表出則稱向量組是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。如果是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系那么，對(duì)任意常數(shù)也是的解，稱這種形式的解為的通解，解齊次線性方程組的關(guān)鍵即求其基礎(chǔ)解系，進(jìn)而求出通解。 注意則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有n-r個(gè)向量。得行最簡(jiǎn)形矩陣 對(duì)方程組的系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換，證明 定理4.10以B為系數(shù)矩陣的方程組稱為方程組（

18、*）的自由變量， 由于A與B的行向量組等價(jià)，故 與（*）同解 任意給定一組數(shù)值，代入到（*）中都可以求出（*）的一個(gè)解，從而得的一個(gè)解?，F(xiàn)在， 令分別取以下n-r 組數(shù)值代入（*）可求出的n-r 個(gè)解，設(shè)為因?yàn)橄蛄拷M（*）線性無關(guān)，按定理4.5，加長的向量組（*）也是線性無關(guān)的，這樣就得線性方程組(1) 的 n-r個(gè)線性無關(guān)的解。下面，我們?cè)僮C明的任一解都可由線性表出。令則 仍是的解，并且它應(yīng)滿足（*）的每一個(gè)方程，代入（*）解得=0 也就是 即 是齊次線性方程組 由定義4.18，的基礎(chǔ)解系，即證明了當(dāng) R（A）= r n 時(shí)齊次線性方程組中有n- r個(gè)自由變量，使基礎(chǔ)解系由n- r個(gè)解向量組

19、成。說明方程組的基礎(chǔ)解系不是唯一的方程組的基礎(chǔ)解系又稱為解空間的基若 是 的基礎(chǔ)解系， 則其通解為 解 對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，化成階梯形矩陣?yán)?.14 求解齊次線性方程組由 知方程組有非零解且與下面方程組同解選 為自由變量，得 令 解得 令 解得從而得到一個(gè)基礎(chǔ)解系方程組的通解為為任意常數(shù)其中例4.15 求解齊次線性方程組解 對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，化成階梯形矩陣得同解方程組選為自由變量，分別取解得 故得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：方程組的通解為即為任意常數(shù)其中第五節(jié) 非齊次線性方程組非齊次線性方程組的概念非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組有解的條件稱為非齊次線性方程組是系數(shù)矩陣其中一、非齊次線性方程組對(duì)方程組的系數(shù)矩陣A按列分塊，記作A=問題是：非齊次線性方程組何時(shí)是有解的？如果有 解時(shí)怎樣求出其所有解？根據(jù)齊次線性方程組的不同表示方法，以及矩陣與其行向量組、列向量組的關(guān)系，不難得知如下等價(jià)命題：二、非齊次線性方程組有解的條件與方程組 有解等價(jià)的命題 （1）線性方程組 有解通常用 (4) 來判斷 (1)性質(zhì)1 設(shè)是的任意兩個(gè)解，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組證明 性質(zhì)2三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組解的性質(zhì)：的任一解為證明 的解,用表示之，有X -從而 X=若 r（