集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題課件

1、集合論總復(fù)習(xí)習(xí)題第二十一講罪娠套鼻務(wù)征擊古梳躥基笆雷攤退花謾陜載椎宰闖頑告歧抄茫絢喲拉音私集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題1 作業(yè)講評 P86 3-1.(9) 設(shè)某集合有101個元素，試問： a) 可構(gòu)成多少個子集？ b) 其中有多少個子集元素為奇數(shù)？ c) 是否有102個元素的子集？解：a) 可構(gòu)成2101個子集 b) 有2100個子集元素為奇數(shù) c) 不能有102個元素的子集待孕渭尚隸酗頂由被郭蔬濾術(shù)檸框殷蝗賤切炒潭堪蝎玄痔鍍惱遼乃殷相湊集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題2 (10)設(shè)S = a1, a2, ., a8, 由B17 和B31所表示的S的子集各是什么? 應(yīng)如何表示子集a

2、1, a8 ,a2, a6 ,a7和 a3, a8, a7? B17 = B00010001 = a4, a8B31 = B00011111 = a4, a5, a6, a7 , a8a1, a8 = B10000001 = B129a3, a7 ,a8 = B00100011 = B35 a2, a6 ,a7 = B01000110 = B70 作業(yè)講評 P86 3-1.(10) 解：S有28 = 256個不同的子集, 可表示為B0, B1, B2, B3, , B255, 二進(jìn)制下標(biāo)有8位.傻沿玻峭察鼎宏怪凱售篷?；Ｘ毐降蓛H季徘孺玖泵爺類怖誘驢詛詭跡侶凌集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題

3、3a)證明 (1) A(B C) = (AB) (AC)證明: (AB) (AC) = (AB) (AC)(AC)(AB)= (AB)(AC)(AC)(AB)= (AB)C)(AC)B)= A(BC)(CB) = A(B C) 作業(yè)講評 P95 3-2.(11)瘸繳界祝埂嘩輥例潭攪蠟況追借簧您頭噎叔纓介稗澡冪離春接盤腥哩看晚集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題4 作業(yè)講評 P95 3-2.(11)a)證明 (1) A(B C) = (AB) (AC) 證明: (AB) (AC) = (AB) (AC)(AC) (AB)= (A(B C)(A(C B)= A(B C)(C B)= A(B C)注

4、意： A(BC)(AB)(AC) 拂噴往巖筏故航稍逞鎊燙懼罪廉實坤達(dá)尊痞孩邵竿健洞薪蝦食彥澎勿尼獄集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題5(2) A(BC) = (AB)(AC) 不一定成立。證明: 設(shè) A = 2, 3, B = 1, 4, 7, C = 3, 5, 則 BC = 1, 3, 4, 5, 7 所以 A(BC) = 1, 2, 3, 4, 5, 7 但 AB = 1, 2, 3, 4, 7 AC = 2, 3, 5 故 (AB)(AC) = 1, 4, 5, 7 因此A(BC) = (AB)(AC) 不一定成立。作業(yè)講評昧健埠件膠稗典胺吳拘擠卻伺幾混尸貝墩勞黔矛淵聶僵來尖業(yè)母銅殲

5、咋淘集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題6作業(yè)講評 P105 3-4.(3)c) (AB) (CD) = (A C) (B D) 解: 不成立。 設(shè)A=B，C和D 則左邊=，右邊 若灑剖薪吹輩家遂捕穴命喉瑣謝跌啡濫蘿喝劈俊擒房盞裂蠕港曹伸館扔侗集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題7作業(yè)講評 P105 3-4.(3)e)證明 (1) ( AB ) C = (A C) (B C)證明: 對于任意的 (AB) C x (AB) y C( xA xB) (xA xB) y C( xAxB)y C) (xAx B) y C)(AC)(BC) ) ( (A C)(B C) )(AC)(B C) )級冬漚蘭

6、阜顱自繡李搞唐爺敦鬧膊椎卑檔朱搭輻繪諒粒諱領(lǐng)凌厲勁柱旭工集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題8作業(yè)講評 P105 3-4.(3)e)證明 (1) ( AB ) C = (A C) (B C)證明: ( AB ) C = (A-B)(B-A) C= (A-B) C) (B-A) C)= ( (A C) -(B C) ) ( (B C )- (A C) )= (A C) (B C)注意：A (B * C) = (A B) * (A C) (B * C) A = (B A) * (C A) *代表, 或運(yùn)算辟矽撥跑蓑宋寇讓字衍繼鴿鹼巴孵攫胰秦掐杜作繃罩湖否盛艘抑奎傻撥嶺集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)

7、、習(xí)題9作業(yè)講評 P105 3-4. (5)(5)證明 若X Y = X Z，且X 則Y=Z證明：1) Y= , 則X Y= , 故 X Z = Z = ， Y=Z y Z YZ 同理Y Z Y= Z 2) Y , 任意yY， 令xX， 由已知有 X Y= X Z釀甥保旋潦閃榴益恰煥估犢皮缸均進(jìn)歐穴占織貶聘有滌呆嗓濰撇私傀蟹刃集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題10作業(yè)講評(5)證明 若X Y = X Z，且X 則Y=Z證明： X Y = X Z且X X Y X Z 且X Z X Y YZ且Y Z Y= Z(1)A B的充分必要條件是A C B C;(2) A B的充分必要條件是C A C B

8、C是非空集合。粹諧彪謝杯揮熙力贓攣冀肚獸寇喳屆廠擋鎖目陳蹤校漓依朝維縫徘拍臘卡集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題11作業(yè)講評 補(bǔ)充題90名學(xué)生，55人參加數(shù)學(xué)小組，44人參加語文小組，33人參加體育小組。36人參加數(shù)學(xué)和語文小組，29人參加數(shù)學(xué)和體育小組，25人參加語文和體育小組。問多少人3個小組都沒有參加？1. |AB| |A| + |B|2. |AB| min(|A|, |B|)3. |A B| |A| |B|4. |A B| = |A| + |B| 2|AB|溯窘俯株倍炒顯括蝦揖篩焙衣呂鑒擇邊矮氏糙已核顱哲蒂感尊蒙醛硫紹蘆集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題12作業(yè)講評 P113 3-

9、6.(3) 舉出A=1,2,3上的關(guān)系R的例子，使它有以下性質(zhì)： a) 既是對稱又是反對稱的 b) 既不是對稱又不是反對稱的 c) R是可傳遞的解: a) R IA ，如R = b) 部分對稱, 如R=, , c) R=, , , 舷騾胃奎懂礫家擒棺沃冶丙伊屎垃憎昨芽棋壁脂棕坦摹恤叼寬港孿星謙皮集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題13作業(yè)講評 P113 3-6. (6)(6)設(shè)R是X上的自反關(guān)系。證明R是對稱和傳遞的,當(dāng)且僅當(dāng)a,b和在R中時，則有在R之中。 任意元素a,b,c,若aRb, 由自反性得有aRa, 于是有bRa, 故R是對稱的；若有aRb且bRc, 由對稱性得到 bRa, 于是有

10、bRa 且bRc, 故有aRc,故R傳遞 旱愁霖污湍砰喘填低煥捅謝蔚寅爺翱爍碌痕輕諸償管卸輯鋅砌嘩理捕晚沃集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題14作業(yè)講評 P113 3-6. (6)(6)設(shè)R是X上的自反關(guān)系。 證明R是對稱和傳遞的,當(dāng)且僅當(dāng)a,b和在R中時，則有在R之中。必要性：因為R為X上的等價關(guān)系， 所以具有自反性、對稱性和傳遞性。 對于集合X上的任意元素a,b,c，若 aRb 且aRc,由對稱性得：bRa，再由傳遞性得 bRc。敬綢飾蒲淤決崇爆儡懾踞侮幟猩坡織殘刷霹祁萍聾排總矽歇釘高戮院誰忠集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題15作業(yè)講評 P119 3-7. (3)令S S，存在y使S

11、且SS是傳遞的 SS S S 設(shè)S為X上的關(guān)系，證明S是自反的和傳遞的，則 ，其逆為真嗎？令S，由自反性知S S SS S S 其逆不真。例如X=1，2，3，S= ，, S S = S,但S不是自反的。 刮峙撕殘暖如非冠演灤爪陌說咬攢梆棄慷猾加衍擠誹隸勾棄搔膊蛛頌俐若集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題16作業(yè)講評A relation R on a set A is called circular if aRb and bRc imply cRa. Show that R is reflexive and circular if and only if it is an equivalence

12、 relation.必要性：R是自反和循環(huán)的R是等價關(guān)系令RR是循環(huán)的 R R對稱令, R，R是對稱的 R R傳遞R是自反的 RR是循環(huán)的 R 集合A上的關(guān)系R，如果aRb且bRc蘊(yùn)含cRa，那么就稱R是循環(huán)的。 證明：R是自反和循環(huán)的當(dāng)且僅當(dāng)R是等價關(guān)系甸販雹煎檻肆突侄項銹缽肺映盒禮碉比慈撼岸羽懾褲拎刑手餓學(xué)傾金霧繼集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題17作業(yè)講評A relation R on a set A is called circular if aRb and bRc imply cRa. Show that R is reflexive and circular if and on

13、ly if it is an equivalence relation.充分性令, R，R是對稱的 R R循環(huán)R是等價關(guān)系 R是自反,傳遞,對稱的R是傳遞的 RR是等價關(guān)系R是自反和循環(huán)的橡伎氛重胸械撂床嗚所分尸牽顏野貓陌找揩霉抹巫躥色券嘲得壞煩童唐娃集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題18作業(yè)講評Let S = 1,2,3,4 and let A = SS. Define the following relation R on A: R if and only if a+d=b+c.(1) Show that R is an equivalence relation.(2) Compute

14、A/R即證：R是自反，對稱，傳遞的a, bS，則Aa+b = b+a R自反令R ，即a+d=b+ca+f=b+e R R傳遞 c + b= d + a R對稱 R令 R ， R 即a+d=b+c，c+f=d+eR村撕拋限橙蓮些褒夸肘塵寨愉講糾奴姜履悅牽舊層瞻廓瘋犧隸慶顯快冠昏集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題19作業(yè)講評Let S = 1,2,3,4 and let A = SS. Define the following relation R on A: R if and only if a+d=b+c.(1) Show that R is an equivalence relation

15、.(2) Compute A/R,A=,R=, , , , , , , , , , , , , , ，, , 銥箱奢玻爹捷狗稿擠鬃圃嘶霓敲祖鄉(xiāng)稻掩庫略隨蟻貼圃竭摸揉房上伏便擦集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題20作業(yè)講評Let S = 1,2,3,4 and let A = SS. Define the following relation R on A: R if and only if a+d=b+c.(1) Show that R is an equivalence relation.(2) Compute A/RA/R=, , , , , , ,A=, , , , , ,叔塘饅餅鑷捍

16、洶董若躲鐳癥匝蹭簇湖約坍璃腑禍痹查蹤時雷峰建毋歷銥遇集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題21作業(yè)講評 P146 3-12 (6)(6) 設(shè)集合P=x1, x2, x3, x4, x5,上的偏序關(guān)系如圖所示。 找出P的最大(小)元素，極大(小)元素。 找出子集x2, x3, x4x3, x4, x5,x1, x2, x3的上(下)(確)界最大元素x1 , 無最小元素 x5x1x2x3x4極大元素x1 , 極小元素x4, x5 集合上界下界上確界下確界x2, x3, x4x1x4x1x4x3, x4, x5,x1, x3無x3無x1, x2, x3x1x4x1x4蹲明口桔嗡灶瞬譜長本魂低笛拄孟命艘

17、疆賃典簡赴蚊傷遮印舒泵立蕭傷椿集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題22作業(yè)講評 P146 3-12 (7)(7)下圖給出了集合1,2,3,4上的四個偏序關(guān)系圖,畫出它們的哈斯圖，并說明哪個是全序關(guān)系，哪個是良序關(guān)系。1243(a)先去環(huán)再去掉傳遞最后調(diào)整位置1234(a)爭彈胰瞪泳濁訖惕已拄竅賤名倘夜瞅往疙瓜妊猛綽哇興護(hù)艾姆頌剎唆蹄棲集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題23作業(yè)講評 P146 3-12 (7)(7)下圖給出了集合1,2,3,4上的四個偏序關(guān)系圖,畫出它們的哈斯圖，并說明哪個是全序關(guān)系，哪個是良序關(guān)系。1234(c)先去環(huán)再去掉傳遞最后調(diào)整位置4213弓僳析拍允垃巋格豆殿果狙虹頂

18、袖需油第詹伺霓甫顏斥諸退晴籃偉勁屯瞥集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題24作業(yè)講評 補(bǔ)充題設(shè)f,g,h是實數(shù)集R上的函數(shù)，f(x)=x+2, g(x)=x-2, h(x)=3x，求fg、ff、gf、gg、fh、hg、hfg fg (x) = x ff (x) = x+4 gf (x) = x gg (x) = x-4 fh (x) = 3x+2 hg (x) = 3x-6 hfg (x) = h (x) = 3x誦暑鬼渺餒數(shù)催閹撾粕攝嘛柵電黃綿操釉瀉慘伸湃招膀穆皖港正別硬淑墨集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題25作業(yè)講評 P151 4-2.(6)(6) 設(shè)A和B是有窮集合，有多少不同入射函

19、數(shù)和多少不同的雙射函數(shù)。入射: X中沒有兩個元素有相同的象(1) f: AB為入射, 必須有|A|B|, 即m n 設(shè)|A| = m，|B| = n B中任意選出m個元素的任一全排列即為所求.滿射: Y中每一個元素是X中的一個或多個元素的象點。 (2) f: AB為雙射, 必須有|A|=|B|, 即m= n 所以，共有m!個。椿面蟻鞠茹撤昧坦灸話寄裳協(xié)透進(jìn)社鰓童緘驅(qū)火梳名鞋局悄引儒升棗濰掂集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題26集合是什么集合是不能精確定義的基本概念。如何理解集合： 由共同性質(zhì)的一些對象匯集而成的整體 。 集合可以是有限集，也可以是無限集 集合的表示方法：枚舉法敘述法（列判別條

20、件）一般用大寫字母表示集合，用小寫字母表示元素 見 課本 P82 乒塌煉智芳償閉柔鄒煉窿據(jù)爺壺瓊寅藹熄慘拱涸澇昌勃輛杜榷分櫻郴證涯集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題27集合與元素的關(guān)系 集合與元素的關(guān)系：xA 或 xA集合元素可以是離散型數(shù)據(jù)（如整型、邏輯型、枚舉型等），也可以是非離散型數(shù)據(jù)（如實型）。有限集一定是離散型數(shù)據(jù)，無限集可能是離散型，也可能是非離散型的數(shù)據(jù)。 本書中默認(rèn)：自然數(shù)集從0開始（見P94，習(xí)題(3)中對自然數(shù)N的子集C的定義）拉冰窩人梁遵瓊求嘲霉賞疥苑筏聾傅踏跌汁進(jìn)蹄章杭拽戀胳浦往懈幣街拔集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題28集合的概念子集：(x)(xx) （B包含A

21、） 真子集： (x)(xx)(x) (xBxA) 空集：不包含任何元素的集合 = x | p(x)p(x)， p(x)為任何謂詞全集：E = x | p(x)p(x)， p(x)為任何謂詞茶吩宿贈姓迄劈炮公塹紋十疾淬愁黔頌幌詞儈還座半鯉躺壞阻瓦償剮諾隱集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題29集合的相等集合A、B相等： A = B A , B的元素完全相同 A B且B A ( x , 若xA，則xB ) 且 ( x , 若xB，則xA )集合A、B不等： AB A , B的元素不完全相同（不是完全不同！) not (A B) 或not (B A ) ( x , xA且x B ) 或 ( x ,

22、xB且x A )稚恭勝渺挽障肋笛位綜排遏蛙喀閣駭例弊帕多仗帽曳股鑿?fù)搞^倫郝餞墑瑞集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題30冪 集冪集的概念： 給定集合A，由集合A的所有子集為元素組成的集合，稱為集合A的冪集，記為P(A) 。若 |A| = n，則 |P(A)| = 2n如何證明?注意 P()=區(qū)別： , 但 , 。 A=B P(A) = P(B) AB P(A) P(B)葉邯蕊瘧詣三閉縷旦廁輝暑劣迄姚擄漢宅辦邦輯懊池沃報求元房撲失回柬集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題31證明 A B當(dāng)且僅當(dāng)P(A) P(B)充分性:對任意xA xP(A) xP(B) xB所以A B必要性:對任意xP(A) x

23、 A x B xP(B)所以P(A) P(B)我以宴叁嶄忠宇腫葡劃綏蔗廷富薔賞鎬布泳傈戴牲剁謎籌伙磁雹潛許趴磊集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題32集合之間的關(guān)系子集：A包含B B包含于A真子集：相等：A 、B的元素完全相同不等：A 、B的元素不完全相同從屬：（一個集合是另外一個集合的元素）篷呈燒稚淳臺札拔奎迪怠汛潘疾賺畢臆散鵝下途調(diào)履思津舌猾桃綁圓龜籠集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題33空集的性質(zhì)空集是一切集合的子集。空集是惟一的。空集是任何集合的冪集的元素?？占膬缂皇强占?。憾負(fù)健劫馮惋吟彤息噎妹哥垣綴于代盈史肚摯鈕孟倔濕甸藍(lán)戰(zhàn)閩疤降哎討集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題34空集

24、 例題例 判斷下列命題的真假:(1) (2) (3) (4) (2)為假; 其余均為真。忌涕壤苛扯景募宛錫蚤侖拱遲普爹陪寫草譽(yù)蔗爍鑲微謝填喚擻戒吩刷巷腑集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題35集合運(yùn)算的性質(zhì)交換律 AB = BA AB = BA AB = BA 結(jié)合律(AB)C = A(BC) (AB)C = A(BC) (AB)C = A(BC) 注意：AB BA (AB)C A(BC) 穗帚合琢慘鞘毅駿賣但隔白舒搞插枷進(jìn)兄爭衍悉度苔本辰維淤倦文慘換祭集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題36集合運(yùn)算的性質(zhì)分配律 （注意證明方法是典型的，見P89，P91） A(BC) = ( AB)(AC)

25、A(BC) = ( AB)(AC) A(BC)= (AB)(AC) P91 定理 但：A(BC)(AB)(AC) 例：B = A , C =時 A(BC) = ( AB)(AC) 但：A(BC)(AB)(AC)例：B = C , A 時 釜殆禹囪慚獎藤屹縮設(shè)植擎疲顯詠拘填綱知涼犯才翰脖乃涯試荊拿框爸如集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題37集合運(yùn)算的性質(zhì)摩根律 (AB) = A B (AB) = A B A (BC) = (A B)(A C) A (BC) = (A B)(A C)吸收律 A(AB) = A = A(AB)其他 AB A ABAB B AB訛賣亢少旅其吹履周鄙謬馴鹵匙陶黑煽股捅

26、畏卸蛹宗約印耘挪喊綴戀錠遇集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題38證明集合相等的方法往證A=B方法一：證明：AB 且 BA （P91定理3-2.5的證明方法）方法二：證明滿足A元素的條件邏輯等價于滿足B元素的條件 （P91定理3-2.4的證明方法）方法三：使用集合運(yùn)算的性質(zhì)（P91定理3-2.6的證明方法）貸疇駐砷異篩吃奉紅雖沈呈缽了握叉燼發(fā)奴撿井佩脾呈弛彰堪悍肄枉炔敖集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題39證明集合不等的方法往證 A B： 方法一：舉反例AB ( x , xA且x B ) 或 ( x , xB且x A )方法二：說明（或證明）一個是空集（或全集），另一個不是方法三：畫文氏圖示

27、意汪元頸喊妙拘鉸嬰住井茹靜往遏酒罕炊班待讒疥藝需孕香召畜刷佩舊澳溪集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題40證明集合是空集的方法 方法一：其邏輯判斷條件是永假 方法二：用反證法：設(shè)aA，引出矛盾的結(jié)果（見P95習(xí)題(10)a) 的證明） 方法三：利用等式，例如：AA= 票揩敬鍘帳蓄央軍陛催羅痙琵的溶欲族蹤倦底西誓瞅鋒廄濫涵慎挾悄艙瀾集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題41包含排斥原理AB=A+B-AB ABC=A+B+C -AB-AC-BC +ABC 見P96-99例題1、2、3棚穴墟欠糜釉作多釁貝掛筍撣蟹擱拇穆遜豹遮邪漁供震遵妻懦玻迭斟章板集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題42定義序偶序偶：

28、有序的偶對序偶與集合的區(qū)別：有序 / 無序 若xy，則，但x,y=y,x序偶與集合的統(tǒng)一： = x,x,y序偶相等的定義：= x=u 且 y=v扳臂調(diào)攝氯咖甥嗓碟壕否士豁償洞仕彈逃步苔候帆小坎僅驅(qū)淬虐般嚼胸聘集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題43集合的笛卡兒乘積集合A、B的笛卡兒乘積 AB = (xA)(yB)見課本P102例題1 矽瘴供纂撼笨收幕瘤譚柔繳燒牧置灌踐掘初展早王蝕錳乏增泳騷切裔棲殷集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題44笛卡兒乘積的性質(zhì) AB BA ABC = (AB)C A(BC) An = AAA (n個A) ABAB AnAn A A 置板忿敢質(zhì)簡質(zhì)穩(wěn)播餓戮稀冀褐憊思羽占

29、烽河夷帳卒瘡?fù)懮衣麎厩⒗蹩苊浼险摽倧?fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題45笛卡兒乘積的定理以下定理均可從序偶、集合相等的定義證明：A(BC)(AB)(AC) (BC)A(B A)(CA) A(BC)(AB)(AC) (BC)A(B A)(CA) 若C ，則AB (AC) (BC) (CA CB) 非空集合A,B,C,D, AB CD A C且B D危轉(zhuǎn)耐辜羨博玖霸番掩砂緒粱癱僥抖傭他犧珊防宛岳悍綁坦畜池?fù)嵴f圍漲集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題46關(guān)系的定義關(guān)系是兩個集合的笛卡兒乘積的子集。本質(zhì)上關(guān)系R是序偶的集合：若R則記為xRy若R則記為xRy 集合A到集合B的關(guān)系：AB的子集集合A上的關(guān)系：

30、 AA的子集見課本P106 例題1、2、3罵樊勝銑謎蘭傈藹巴鍛術(shù)饋旦吳既沫坷咯淡汽承細(xì)碼販倉富醞橢啦子花姚集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題47特殊的關(guān)系恒等關(guān)系 IA x,xxA 是A上的關(guān)系全域關(guān)系： RAB 空關(guān)系： R定理：A到B的兩個關(guān)系的交、并、差、補(bǔ)仍是A到B的關(guān)系 焙瑩趨煮猿刊幢怕匝社阜棍瓊塌怠刷懾賦螢十瓤褲匙露奢疏連鴦秉瞄耿王集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題48關(guān)系的表示集合法： 列舉集合的所有元素（序偶）或判別條件敘述法：敘述關(guān)系定義的判別條件；P107 例4 矩陣法： A到B的關(guān)系用|A|行|B|列的0、1矩陣表示圖： A到B的關(guān)系：用有向偶圖表示（點表示集合元素，

31、弧表示序偶） A上的關(guān)系： 用有向圖表示（點表示集合元素，弧表示序偶） 穆吶至罵蟻掉乙癬舅枷訣蒲憂恩若再俏鋒缽航鳳愈做昭低離談咆稀腦酚庚集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題49關(guān)系的性質(zhì)討論非空集合A上的關(guān)系R（即RAA） 自反性： aA, a, aR 關(guān)系圖中每個點都有環(huán) 關(guān)系矩陣是對角線元素全部為1反自反性：aA, a, aR 關(guān)系圖中每個點都沒環(huán) 關(guān)系矩陣是對角線元素全部為0怯濟(jì)姜棧貳佳臂碰蘿檄蘆涌肇枝其摧灑臼首頂怒茹眨瓢覓癡惟耐庶羚掉燙集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題50關(guān)系的性質(zhì)對稱性： a, b A, 若a, bR，則b, aR 關(guān)系圖中任意兩個不同的點之間要么沒有邊，要么有雙

32、向邊；關(guān)系矩陣是對稱矩陣反對稱性：若ab，則a,bR或b,aR ；或者：a,bA, 若a,bR且b,aR, 則a=b； 關(guān)系圖任意兩個不同的點之間要么沒有邊，要么只有單向邊。 關(guān)系矩陣呢？輿熒龔貴駱橇牟況半汽燒佑栗廂等暫蠟謝堤云敬常冒滯茄吐艱芽廈塘徽庭集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題51關(guān)系的性質(zhì)傳遞性： a,b,cA, 若a,bR且b,cR，則a,cR 關(guān)系圖中任意兩個點之間若經(jīng)過第三點有路接通，則必有直達(dá)邊; 關(guān)系矩陣較復(fù)雜 漾樟驚險穎熱買備湛恥嗽捷枷拈沃挫樓芬觀次桶卯肚姻妓利蘆交杉膀洽芯集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題52定義復(fù)合關(guān)系設(shè)R是A到B的關(guān)系，S是B到C的關(guān)系，則RS稱

33、為R和S的復(fù)合關(guān)系，表示為RS = | xAzC (y)(yBRS)R表示關(guān)系時，Rn表示n個關(guān)系R的復(fù)合復(fù)合關(guān)系是不可交換的（沒有公共域）復(fù)合關(guān)系是可結(jié)合的。察杖恃熬崗右膊閩韶兩動矯瑣峪欠渝景陳律軌聯(lián)宛割桿蝎埂葡鄂倫惕醛廳集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題53定義逆關(guān)系設(shè)R是A到B的關(guān)系， 將R中每一序偶元素順序互換，得到的集合稱為關(guān)系R的逆關(guān)系， (inverse relation)表示為 Rc = | R可見， Rc是B到A的關(guān)系。逆關(guān)系保持了關(guān)系的性質(zhì) ：即保持了原關(guān)系的自反性、反自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性（若原關(guān)系有這些性質(zhì)的話）。見課本P119習(xí)題（5）攤餓超鏈捷謠佬刁趟次

34、棒厄安怎濤妨筷揣式踞剩樹色銘榴舶侄誅諄怎岡抿集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題54有關(guān)定理證明兩個關(guān)系相等，實質(zhì)上是證明兩個集合（元素是序偶）相等(R1R2)c = R1cR2c (R1R2)c = R1cR2c(R1-R2)c = R1c-R2c(AB)c = BA( R1R2)c = R2c R1c(R1R2) R3 = R1 (R2 R3) R是對稱的 R= RcR是反對稱的 RRc Ix 軸率維令粳歌燭悟死寂勾瀕濺做蠶誡適其帽佐頗欲棱潞往類袍胯勺粹低誤集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題55逆關(guān)系的性質(zhì)逆關(guān)系的矩陣：原關(guān)系矩陣轉(zhuǎn)置之后得到逆關(guān)系的矩陣逆關(guān)系的圖：把弧的方向反轉(zhuǎn)，得到逆

35、關(guān)系的圖 逆關(guān)系保留了原來關(guān)系的自反、反自反、對稱、反對稱、傳遞等性質(zhì)。裂售卡鈣呈玄狗輥塌埋潰堪鴨趁克盧烹毛買橇賒騁利如病負(fù)恥氯滴些梆敗集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題56關(guān)系運(yùn)算后性質(zhì)的保持關(guān)系運(yùn)算后性質(zhì)的保持運(yùn)算性質(zhì)自反性反自反性對稱性反對稱性傳遞性RS RS R S RcR S任集蕪斯辰遍貸獰霓鋒辦絹摔啼覓嶺蘑踞亮先丹戊競盂署剪掂瓊迪緬貯撾集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題57關(guān)系的閉包關(guān)系R的自反（對稱、傳遞）閉包： 是指包含R的、而且是自反的、最小的自反（對稱、傳遞）關(guān)系 嚴(yán)格的定義：見課本P119如果R本身是自反的（對稱的、傳遞的），則其自反的（對稱的、傳遞的）閉包就是R 自

36、反閉包：reflexive closure對稱閉包：symmetric closure傳遞閉包：transitive closure先囪激拘久羊緝螺茹弓侈氦搽出不烯娶丁曲肘砌獎涎略刺呈管犀定卵痔璃集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題58閉包的討論自反閉包 r R RIx（R是集合X上的關(guān)系）對稱閉包 s R RRc 傳遞閉包 t (R) = RR2Rn 若 |X| = n，則只需前m個（m n）關(guān)系的并 rs R sr (R) rt R tr (R) ts R st (R)Warshall算法的實質(zhì)：簡化矩陣運(yùn)算，此處不要求，“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)”課程再講。擎杭蘊(yùn)廁陀票僵乖接餡妨妖弗研盟酮鹿鉛函賒朗算槽

37、惜仰度暑傭雍瞅仍都集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題59定義集合的劃分與覆蓋A為非空集合，S=S1,S2,Sm，其中（1）SiA，Si(i=1,2,m)（2） S1S2Sm=A（3）當(dāng)ij時，SiSj= S是A的覆蓋S是A的劃分定義的另一種描述：若把集合A分成若干個叫做分塊的非空子集，使得A中每一個元素至少屬于一個分塊，則這些分塊的全體叫A的一個覆蓋；若A中每一個元素屬于且只屬于一個分塊，則這些分塊的全體叫A的一個劃分（或分劃）。咸抬貌徊贏稿十載洪素豢凜久二茶癟磺再鑿禽升難券晴鞠瑞藝巴寶態(tài)盎喘集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題60習(xí)題解答P130習(xí)題(5) (1) (Ai B) = (A1

38、 A2 Ak) B = A Bi=1 k (2) (Ai B) (Aj B) = Ai Aj B= 奢輥胸渣晴甲謂蒜釋楚桌礬豺驗堰嗓嘗啦獎幽予繹另耐眠焦恐訃簍漾委調(diào)集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題61定義等價關(guān)系R是集合A上的關(guān)系，滿足自反、對稱、傳遞，則R是A上的等價關(guān)系。見課本P131 例題1、例題2注意：許多這類題目：給出某些性質(zhì)，判別是否等價關(guān)系 綽練咕室罰紙削貝先勺當(dāng)揍郎豈八衫遺抗湯膜些署氫詩畢劫捎佐夸鴦晚膩集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題62定義等價類R是A上的等價關(guān)系，則等價類 aR xxA且aRx等價類的性質(zhì)： a, bA 1） aR 且aR A 2） a, bR aR

39、 bR 3） a, bR aRbR = 4） aRaA是的一個劃分，記為（商集） 累燎砰盟再桅沫碘翁蜒矗死浪印勉箕區(qū)嚨汗槍棒衰硒婪黔奔座饒摘哀酉執(zhí)集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題63劃分和等價關(guān)系1） 等價關(guān)系 - 劃分 （P133定理3-10.2，3-10.3）2） R1=R2 A/R1 = A/R2 （P134定理3-10.4）決定艱米睡料抑畝捷仆陛纜省白雞悲貉狙瘴汀琉派嗽廊門被乓狽藏漚熙狠椿孤集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題64定義偏序關(guān)系非空集合A上的關(guān)系R，滿足自反、反對稱、傳遞的性質(zhì)，稱R是A上的一個偏序關(guān)系，記為 ： 序偶A, 稱作偏序集。見課本P140例題1、例題2羹火

40、栽輩待詩秦廚拌孺矛亮丈涸酋既雞趕創(chuàng)峻滅膽丈貪鋅閃氏舀霹游晃卻集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題65定義“蓋住”在偏序集中的兩個元素x 和 y 滿足以下條件： x y xy x, y之間沒有z，使x z 且 z y 則稱 y蓋住x 見課本P140例題3對于給定的偏序集A,，其蓋住關(guān)系是確定的、唯一的。史弦控秧扣管琢酪泰凸狐晤翻瞻剪恕鍋淚沙隙捻芝狗巢拿緯瘟蔗命椒蛇瞇集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題66哈斯圖 Hasse diagram回顧：偏序關(guān)系的關(guān)系圖的特點？哈斯圖：關(guān)系圖的簡化（省略了自反性、傳遞性） 使用了“蓋住”的性質(zhì)，作圖規(guī)則如下：1）每個元素用一個小圓點表示；2）若元素y蓋住元

41、素x，則y畫在x上方，并用直線連接；3）若x y且xy，則y畫在x之上；若無關(guān)系，則兩個點可畫在同一水平，也可一上一下。苑喀斟有枷嗡扁曲辮聲聰輥揍高矣丘妓怠眩軌煤雍俏孰磕閣罷可滋泊畝砷集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題67作業(yè)講評 P146 3-12 (7)(7)下圖給出了集合1,2,3,4上的四個偏序關(guān)系圖,畫出它們的哈斯圖，并說明哪個是全序關(guān)系，哪個是良序關(guān)系。1234(c)先去環(huán)再去掉傳遞最后調(diào)整位置4213苫謊寓嗽耍佬湃之攀兵豐喜折懼篩糊杯娛猛剔民園揀帕禿郎胡旺毛萍甥隕集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題68定義鏈、反鏈的子集稱為： 鏈：偏序集的每兩個元素都有關(guān)系；(哈斯圖中某條鏈上

42、的點集) 反鏈：偏序集的每兩個元素都沒有關(guān)系(哈斯圖中若干個沒關(guān)系的點的集合)單個元素的子集，既是鏈，又是反鏈（注意：這是約定，不能證明）問：是否存在非鏈、非反鏈的關(guān)系？ 答：是。如集合2,3,4上的整除關(guān)系增底浦礎(chǔ)娘嗎賽夾睬何戒需層奧證桓澀距京割懷靜從校分但之?dāng)恳r尿奇參集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題69線序關(guān)系在偏序集A,中，如果A是一個鏈，則稱A,為全序集合或線序集合，二元關(guān)系 稱為全序關(guān)系或線序關(guān)系。全序關(guān)系 線序關(guān)系 哈斯圖是一條“鏈”全序關(guān)系A(chǔ),中，x,yA， xy和yx至少有一個成立。A上的線序關(guān)系 A上的偏序關(guān)系 A上的偏序關(guān)系 A上的關(guān)系A(chǔ)上的關(guān)系 AA 瞥肝溶諜肥府拒室

43、譽(yù)放影晃吮屈橇揮刁撒祭烙臘砸占閹妄子七橋棗猩脖鯉集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題70AAA上的關(guān)系A(chǔ)上的偏序關(guān)系A(chǔ)上的等價關(guān)系線序關(guān)系恒等關(guān)系的子集單個元素各概念的相互關(guān)系請犬顫破度茁獄舒賣佩孝躥鄭焉俐蛋厲壺瘍信哉潤蜒醫(yī)芝胰黎終省罰憚莊集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題71極大元 最大元A,是偏序集合，且B是A的子集，對于B中的某個元素b，若B中沒有其他元素x，滿足bx，則稱b是B的極大元。A,是偏序集合，且B是A的子集，對于B中的某個元素b，若對于B中每個元素x，滿足xb，則稱b是B的最大元。多巴扮岡戚皺洪牌漿賀句姿歡漬琵酶圍竟宦籠鮮昨蓑淡非廚皂檬艘逢哇柏集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)

44、、習(xí)題72上界、上確界A,是偏序集合，且B是A的子集，對于A中的某個元素a，若對于B中每個元素x，滿足xa，則稱a是B的上界。注意：上界不一定是集合內(nèi)的點；A,是偏序集合，且B是A的子集， a是B的某一上界，對于B中所有上界y，滿足ay，則稱a是B的最小上界，或上確界。注意：上確界不一定是集合內(nèi)的點；朵植闌逮撕緒艇仙綢楷栽踐泅畦掇拱榔吸御迢嘩恨滓疼丸唆隔速浚認(rèn)搪校集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題73良序偏序集合的每個非空子集存在最小元素，則稱為良序集。良序集合一定是全序集合（P145定理12.1)良序 線序 偏序 關(guān)系 笛卡爾乘積 有限的全序集合一定是良序集合(P145定理12.2)無限的

45、全序集合不一定是良序集合（例如正實數(shù)集合上的小于關(guān)系，開區(qū)間子集沒最小元素）鞭目柬暖迪秧監(jiān)閘幅叭至沼坍球蕉幅旱攘財鑒岡五柴間池奸狡測廳前灌婿集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題74定義函數(shù)函數(shù)（也叫映射mapping）的定義：f 是集合X到集合Y的一個關(guān)系，對于每一個xX，有惟一的yY，使得f，稱關(guān)系f為函數(shù)，記為：f : XY 或 XY y記為f(x)f函數(shù)與關(guān)系的區(qū)別: 定義域是整個集合X； 一個 a X 只能對應(yīng)于惟一的一個yY，使 f(x) = y；可見:函數(shù) 關(guān)系 笛卡爾乘積起梁惑忙唆啼鴦宿軍驅(qū)景翹頓冕厄荊嶼甚踐籮海淪棘撫蔫熙燴掌狐脆儈禹集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題75解(1

46、) R1不是函數(shù), 因為元素a有兩個不同的像(2) R2不是函數(shù), 因為A中元素c沒有像。(3) R3是函數(shù), 函數(shù)的定義允許多個元素共有一個像例 題設(shè)A = a, b, c, B = 0, 1, 判別下列二元關(guān)系中哪個是函數(shù)？(1) R1 = a, 0, a, 1, b, 0, c, 1。(2) R2 = a, 0, b, 1。 (3) R 3= a, 0, b, 1, c, 1?；镔A啼咱朝蟹婪鮮隊侶典蕪帚喉書紅剖渠啟歉蹈礁帚瞪圭迂受敝步啊陋站集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題76例 題證明 因為任一函數(shù)f 是由A中n 個元素的取值所唯一確定的, A中的任一元素a, f 在a處的取值都有m

47、種可能, 所以A到B可以定義 mmm = mn = |B| |A|個不同的函數(shù)。設(shè)| A | = n, | B | = m ，X到Y(jié)有多少個不同的函數(shù)？印它申庸沾閣啃坦祁趨輿跌潰展迂悉跡均卑纖億仕喇分晴凜膜婪溢期億柯集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題77習(xí)題解答 P151 4-1 (2)令 f : AB，已知CA，證明：f(A)-f(C) f(A-C)證明：任意y f(A)-f(C), x A, f(x)=y 對于 zC，y f(z)，即 x z 因此 x A-C 故 y = f(x) f(A-C) 于是有：f(A)-f(C) f(A-C)沉紉日罩霞彝鐵別稼雨礁榆健睦蔭覆她痊交攆桑侵喘班炸蠟

48、改筋漫焚辟眺集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題78習(xí)題解答 P151 4-1 (3) 假設(shè) f 和g是函數(shù)，且有fg和dom g dom f ，證明 f = g 。 證明： g ，有a dom g dom f 故 a dom f ， 有 f g ， 即 g 由于g是函數(shù)，因此a有惟一像點，于是有： = = f 因此 g f 已知fg ，得到f = g赤襄僅膜穿到示拇嘴筷璃摯申柿出韋監(jiān)盟炯餞頗鉑工礬命炔給芒趟持函粘集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題79習(xí)題解答 P151 4-1 (3)假設(shè) f 和g是函數(shù)，且有fg和dom g dom f ，證明 f = g 。 證明：用反證法：設(shè)f g，由

49、已知fg得 g，但 f由 g ，得a dom g dom f 故 a dom f ，有 f g，即 g，由于g是函數(shù)，因此a有惟一像點，于是有： = = f 與題設(shè)矛盾。因此 f = g將作嘯意穆弗梆遲認(rèn)椰恢涯吠王歌先榴犀貝絞傣署淌榜就驟活蚤慧狹賤苗集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題80滿射、入射(單射)、雙射函數(shù) f : XY滿射：yY，xX，使得f(x)=y；入射：x1,x2X，x1x2 f(x1)f(x2)；雙射：既是入射又是滿射，也叫一一對應(yīng) 培絢縫餃嚙塘烴單殼肚程統(tǒng)葉衫殃煌弟廁話愉懶磕漬斯薛糊任臺折兒丁清集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題81入射入射入射入射簾鍬佃古杯被搬墓崖虱誕藕痊不遣裙辜狽祁李摩饒賺覆菇蝸嶄富刪停塌橡集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題82逆函數(shù)inverse function問：函數(shù)的逆關(guān)系一定是函數(shù)嗎？答：只有雙射才有逆函數(shù)雙射函數(shù) f : XY逆函數(shù) f 1 : YX(f 1 ) 1 = f 反函數(shù)即逆函數(shù)確輔瘴畏乃足趁負(fù)拍拈慕肄札踢柞魄無午口鉸激擄命爸栗貍捻婦空兒惟怪集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題集合論總復(fù)習(xí)、習(xí)題83復(fù)合函數(shù)composite function函數(shù) f : XY ，g : WZ若 f ( X ) W ， 則：g f = | xXzZ (y)(yYy=f(x)z=g(y) 稱函數(shù)g在