傅里葉級(jí)數(shù)地三角形式和傅里葉級(jí)數(shù)地指數(shù)形式

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析：以沖激函數(shù)為基本信號(hào)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為輸入信號(hào)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)之卷積傅立葉分析以正弦函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)作為基本信號(hào)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)可表示為一組不同頻率的正弦函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)信號(hào)響應(yīng)的加權(quán)和或積分；周期信號(hào)：定義在區(qū)間（，），每隔一定時(shí)間T，按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)，如圖所示 。它可表示為f （t）=f （ t+nT）其中m為正整數(shù)，T稱為信號(hào)的周期，周期的倒數(shù)稱為頻率。f t10T/21T周期信號(hào)的特點(diǎn)：（1）它是一個(gè)無窮無盡變化的信號(hào)，從理論上也是無始無終的，時(shí)間范圍為（，）（2）如果將周期信號(hào)第一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)寫成 人，則周

2、期信號(hào)f （t）可以寫成f(t)f(t nT)n周期信號(hào)在任意一個(gè)周期內(nèi)的積分保持不變，即有a Tb TTf (t)dt f (t)dt f (t)dtab01.三角形式的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)f (t)，周期為T，角頻率2 fi該信號(hào)可以展開為下式三角形式的傅立葉級(jí)數(shù)。f (t)a0a1 cos( t)b1 sin( t) a2 cos(2 t)b2 sin( 2 t)兔 cos(n t)bn sin( n t)a0an cos(n t) bn sin( n t)n 1a b式中各正、余弦函數(shù)的系數(shù) n， n稱為傅立葉系數(shù)，函數(shù)通過它可以完全表示。傅立葉系數(shù)公式如下a。anbno Tf (t )

3、dt102 t o TTf (t) cos n t dtt 02t0Tf (t )sin n t dt0n1,2,n1,2,式中積分可以取任意一個(gè)周期,般情況下，取(0,T) 或(三角形式的傅立葉級(jí)數(shù)還可以寫成下面形式f (t)c0cn cos( n tn 1n)或f (t ) do dn sin( n t n)n 1兩種形式之間系數(shù)有如下關(guān)系：Coa。doCndn .ab：narctg,annarctg anbnancn cosndnSin nbncn sinndn cosn 1, 2,2.指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)利用歐拉公式：ejn 1 e jn 12t) sin(n t)cos(nf(t

4、)a0t)cos(na。an cos( n1ann 1ejn lt1(anF(n 1)令：1Tf (t) cos由歐拉公式F( nl)令：F()a。sin(n t)j*e jn ltcos(n 1) j sin( n t)jbn)ejnj bnn 1t dt12 anbn sin( n 1t)jbf1(anjbn)ejn it 1 T f (t) sinTbnf (t) cos nTf(t )ej0f(t)前面的級(jí)數(shù)可展成指數(shù)形式系數(shù)itdt j T1 dtF(n 1)To f (t ) sin n 1 dtej“FnF(n J1 Ti亍 oh 1 dtj n it注意:這里n的區(qū)間為(，),與三角形式不同。周期信號(hào)可分解成數(shù)信號(hào)ej nit的線性組合。 如給出F(n J則ft惟一確定。注意：F(n J是一個(gè)復(fù)數(shù)，有模和輻角 a2b221由于F( n 1)2(a“ jbn),其模等于輻角等于arctg bnan在傅立葉二角表示式中:Cnarctgbnan可知系數(shù)Fn的模F n即輻角等于三角表示的初(n J變化而變化的復(fù)數(shù)相角F( n 1)是一個(gè)隨著頻率 一地表示了 f (t ) 在傅立葉級(jí)數(shù)中，無論三角函數(shù)表示還是指數(shù)函數(shù)表示，都是,他唯通過三個(gè)量完整地表示一個(gè)函數(shù):(1