1.3.2楊輝三角 (2)

1、楊輝三角九章算術(shù)楊輝楊輝三角詳解九章算法中記載的表1“楊輝三角”的來歷及規(guī)律 楊輝三角展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)時(shí)，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 楊輝三角二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)一些組合數(shù)的性質(zhì)1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 （1）對稱性 （3）增減性與最大值 發(fā)現(xiàn)規(guī)律（2）相鄰兩行中，除1以外每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩數(shù)之和（4）各二項(xiàng)式系數(shù)的和 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1）對稱性 與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等

2、這一性質(zhì)可直接由公式 得到圖象的對稱軸： 從函數(shù)角度看， 可看成是以r為自變量的函數(shù) ,其定義域是： （2）相鄰兩行中，除1以外每數(shù)都等于它“肩上”兩數(shù)之和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 這一性質(zhì)可直接由公式得到二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（3）增減性與最大值 由于：所以 相對于 的增減情況由 決定 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（3）增減性與最大值 由： 二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。 可知，當(dāng) 時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（3）增減性與最大值 因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 取得最大值； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 、相等，且同時(shí)取得最大值。（4）各二項(xiàng)式系數(shù)的和 二

3、項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式定理中，令 ，則： 這就是說， 的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：同時(shí)由于 ，上式還可以寫成： 一般地， 展開式的二項(xiàng)式系數(shù) 有如下性質(zhì)： （1） （2） （4） （3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 最大 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， = 且最大 （對稱性）變式 在 的展開式中，1）系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？2）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；3）求系數(shù)最大的項(xiàng)；4）求系數(shù)最小的項(xiàng)。練習(xí)： 例2 證明在 的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和進(jìn)階證明恒等式求證： 變式構(gòu)造例5證明： 證明不等式變式證明： 證明不等式變式設(shè)a,b,c 是互不相等的正數(shù)，且a,b,c成等差數(shù)列 求證鞏固練習(xí)

4、一選擇題1(04福建)已知 展開式的常數(shù)項(xiàng)是1120, 其中實(shí)數(shù) 是常數(shù),則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和 是( )C2 若 展開式中含 項(xiàng)的系數(shù)與含 項(xiàng)的 系數(shù)之比為-5,則n等于( )A 4 B 6 C 8 D 10B 3 被4除所得的系數(shù)為（ ） A0 B1 C2 D3A展開式中 的系數(shù)是_2 被22除所得的余數(shù)為 。 1353 已知 展開式中的 系數(shù)是56，則實(shí)數(shù) 的值是_ 或二填空題4.設(shè) 二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為P； 二項(xiàng)式系數(shù)的和為S，且P+S=272，則展開式 的常數(shù)項(xiàng)為_108 1 求 展開式中含 一次冪的項(xiàng)。45x3 在 的展開式中，求： （1） 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； （2）系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)； （3）系數(shù)最大的項(xiàng)三計(jì)算題 二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時(shí)要注意“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項(xiàng)