七年級數(shù)學競賽常見題型及解析

1、 七年級數(shù)學競賽常見題型有理數(shù)及其運算篇核心提示】有理數(shù)部分概念較多，其中核心知識點是數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、乘方.通過數(shù)軸要嘗試使用“數(shù)形結合思想”解決問題，把抽象問題簡單化.相反數(shù)看似簡單，但互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加等于0這個性質有時總忘記用.絕對值是中學數(shù)學中的難點，它貫穿于初中三年，每年都有不同的難點，我們要從七年級把絕對值學好，理解它的幾何意義.乘方的法則我們不僅要會正向用，也要會逆向用，難點往往出現(xiàn)在逆用法則方面.核心例題】例1計算：12006x2007111+1X22X33X4分析此題共有2006項，通分是太麻煩.有這么多項，我們要有一種“抵消”思想，如能111把一些項抵消了，不就變

2、得簡單了嗎？由此想到拆項，如第一項可拆成三,可利1X212問題會迎刃而解.111用通項一t=，把每一項都做如此變形,nxn+1丿nn+1原式+(200612007=11+11+11+.+丄丄2233420062007=11200720062007例2已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應點分別為A、B、c(如右圖).化簡a+ab+cb分析從數(shù)軸上可直接得到a、b、c的正負性，但本題關鍵是去絕對值，所以應判斷絕對值符號內表達式的正負性.我們知道“在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，大數(shù)減小數(shù)是正數(shù)，小數(shù)減大數(shù)是負數(shù)，可得到ab0.解由數(shù)軸知，a0，ab0所以，|a|+|ab+Cb=a(ab)+(cb

3、)=aa+b+cb=2a+c例3計算：八1-991-98丿(1y.-1-I3人分析本題看似復雜，其實是紙老虎，只要你敢計算，馬上就會發(fā)現(xiàn)其中的技巧，問題會變得很簡便.9897211解原式=XXXXX=999832100例4計算：2222324218219+220.分析本題把每一項都算出來再相加，顯然太麻煩.怎么讓它們“相互抵消”呢？我們可先從最簡單的情況考慮.222+23=2+2（21+2）=2+22=6.再考慮22223+24=222+2（31+2）=222+23=2+22（1+2）=2+22=6.這怎么又等于6了呢？是否可以把這種方法應用到原題呢？顯然是可以的.解原式=2222324218

4、+219(1+2)=2222324218+219=2222324217+218(1+2)=2222324217+218=222+23=6核心練習】1、已知|ab2|與|b1|互為相反數(shù)，試求:1*J*ab(a+1)b+1)1(a+2006)(b+2006)的值.（提示：此題可看作例1的升級版，求出a、b的值代入就成為了例1.）abab2、代數(shù)式同*b*圈的所有可能的值有）個（2、3、4、無數(shù)個）參考答案】1、200720082、3字母表示數(shù)篇【核心提示】用字母表示數(shù)部分核心知識是求代數(shù)式的值和找規(guī)律.求代數(shù)式的值時，單純代入一個數(shù)求值是很簡單的.如果條件給的是方程，我們可把要求的式子適當變形，

5、采用整體代入法或特殊值法.【典型例題】例1已知：3x6y5=0,則2x4y+6=分析對于這類問題我們通常用“整體代入法”，先把條件化成最簡，然后把要求的代數(shù)式化成能代入的形式，代入就行了.這類問題還有一個更簡便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0,可得x=|，把x、y的值代入2x-4y+6可得答案.這種方法只對填空和選擇題可用，解答題用這種方法是不合適的.解由3x-6y-5=0，得x-2y=5528所以2x4y+6=2(x2y)+6=2x|+6=-|例2已知代數(shù)式Xn+x(n-1)+1,其中n為正整數(shù)，當x=1時，代數(shù)式的值是當x=-1時，代數(shù)式的值.分析當x=1時，可直

6、接代入得到答案.但當x=-1時，n和(n-1)奇偶性怎么確定呢?因n和(n-1)是連續(xù)自然數(shù)，所以兩數(shù)必一奇一偶.解當x=1時，xn+x(n-1)+1=1n+1(n-i)+1=3當x=-1時，Xn+X(n-1)+1=(1)n+(1)(n-1)+1=1252=625=100 x2(2+1)+25例3152=225=100 x1(1+1)+25,352=1225=100 x3(3+1)+25，452=2025=100 x4(4+1)+25752=5625=，852=7225=找規(guī)律，把橫線填完整；請用字母表示規(guī)律;3)請計算20052的值.分析這類式子如橫著不好找規(guī)律，可豎著找，規(guī)律會一目了然.1

7、00是不變的，加25是不變的，括號里的加1是不變的，只有括號內的加數(shù)和括號外的因數(shù)隨著平方數(shù)的十位數(shù)在變.解(1)752=100 x7(7+1)+25,852=100 x8(8+1)+25(10n+5)2=100 xn(n+1)+2520052=100 x200(200+1)+25=4020025例4如圖是一個三角形，分別連接這個三角形三邊的中點得到圖，再分別連接圖中間小三角形三邊的中點，得到圖.S表示三角形的個數(shù).當n=4時，S=，請按此規(guī)律寫出用n表示S的公式.分析當n=4時，我們可以繼續(xù)畫圖得到三角形的個數(shù).怎么找規(guī)律呢？單純從結果有時我們很難看出規(guī)律，要學會從變化過程找規(guī)律.如本題，可

8、用列表法來找，規(guī)律會馬上顯現(xiàn)出來的.解(1)S=13(2)可列表找規(guī)律：n123nS1594(n1)+1S的變化過程11+4=51+4+4=9l+4+4+.+4=4(n1)+1所以S=4(n-1)+1.(當然也可寫成4n3.)核心練習】1、觀察下面一列數(shù)，探究其中的規(guī)律：填空：第11，12，13三個數(shù)分別是.第2008個數(shù)是什么？如果這列數(shù)無限排列下去，與哪個數(shù)越來越近？2、觀察下列各式:1+1x3=22,1+2x4=32,1+3x5=42,請將你找出的規(guī)律用公式表示出來:參考答案】112113112008；0.2、1+nx(n+2)=(n+1)2平面圖形及其位置關系篇【核心提示】平面圖形是簡

9、單的幾何問題幾何問題學起來很簡單，但有時不好表述，也就是寫不好過程所以這部分的核心知識是寫求線段、線段交點或求角的過程.每個人寫的可能都不一樣，但只要表述清楚了就可以了，不過在寫清楚的情況下要盡量簡便.【典型例題】例1平面內兩兩相交的6條直線，其交點個數(shù)最少為個，最多為個.分析6條直線兩兩相交交點個數(shù)最少是1個，最多怎么求呢？我們可讓直線由少到多一步步找規(guī)律.列出表格會更清楚.解找交點最多的規(guī)律：直線條數(shù)234n交點個數(shù)136n(n-1)2交點個數(shù)變化過程11+2=31+2+3=6l+2+3+.+(n1)圖形圖1圖2圖3例2兩條平行直線m、n上各有4個點和5個點，任選9點中的兩個連一條直線，則

10、一共可以連（）條直線.A20B36C34D22分析與解讓直線m上的4個點和直線n上的5個點分別連可確定20條直線，再加上直線m上的4個點和直線n上的5個點各確定的一條直線，共22條直線.故選D.例3如圖，OM是ZAOB的平分線.射線OC在ZBOM內，ON是ZBOC的平分線，已知ZAOC=80，那么ZMON的大小等于.分析求ZMON有兩種思路.可以利用和來求，即ZMON=ZMOC+ZCON.也可利用差來求,方法就多了，ZMON=ZMOB-ZBON=ZAON-ZAOM=ZAOB-ZAOM-ZBON.根據(jù)兩條角平分線，想辦法和已知的ZAOC靠攏解這類問題要敢于嘗試，不動筆是很難解出來的.解因為OM是

11、ZAOB的平分線，ON是ZBOC的平分線,11所以ZMOB=-ZAOB，ZNOB=-ZCOB(ZAOB-ZCOB)111所以ZMON=ZMOB-ZNOB=-ZAOB-ZCOB=-厶厶厶11=ZAOC=x80=40。22例4如圖，已知ZAOB=60，OC是ZAOB的平分線，OD、OE分別平分ZBOC和ZAOC.（1）求ZDOE的大?。唬?）當OC在ZAOB內繞O點旋轉時，OD、OE仍是ZBOC和ZAOC的平分線，問此時ZDOE的大小是否和（1）中的答案相同，通過此過程你能總結出怎樣的結論.分析此題看起來較復雜，OC還要在ZAOB內繞O點旋轉，是一個動態(tài)問題.當你求出第（1）小題時，會發(fā)現(xiàn)ZDOE

12、是ZAOB的一半，也就是說要求的ZDOE，和OC在ZAOB內的位置無關.解(1)因為OC是ZAOB的平分線，OD、OE分別平分ZBOC和ZAOC.11所以ZDOC=-ZBOC，ZCOE=-ZCOA1111所以ZDOE=ZDOC+ZCOE=-ZBOC+-ZCOA=-(ZBOC+ZCOA)=-ZAOB厶厶厶厶因為ZAOB=6011所以ZDOE=-ZAOB=-x60=30厶厶1(2)由(1)知ZDOE=-ZAOB,和OC在ZAOB內的位置無關.故此時ZDOE的大厶小和（1）中的答案相同.核心練習】1、A、B、C、D、E、F是圓周上的六個點，連接其中任意兩點可得到一條線段，這樣的線段共可連出條.2、在

13、1小時與2小時之間，時鐘的時針與分針成直角的時刻是1時分.【參考答案】961、15條2、21右分或54石分.一元一次方程篇【核心提示】一元一次方程的核心問題是解方程和列方程解應用題。解含分母的方程時要找出分母的最小公倍數(shù)，去掉分母，一定要添上括號，這樣不容易出錯.解含參數(shù)方程或絕對值方程時，要學會代入和分類討論。列方程解應用題，主要是列方程，要注意列出的方程必須能解易解，也就是列方程時要選取合適的等量關系?！镜湫屠}】例1已知方程2x+3=2a與2x+a=2的解相同，求a的值.分析因為兩方程的解相同，可以先解出其中一個，把這個方程的解代入另一個方程，即可求解認真觀察可知，本題不需求出x,可把2

14、x整體代入.解由2x+3=2a，得2x=2a3.把2x=2a3代入2x+a=2得2a3+a=2，3a=5,5所以a=jx1x+1例2解方程x=2-分析這是一個非常好的題目，包括了去分母容易錯的地方，去括號忘變號的情況.解兩邊同時乘以6，得6x3（x1）=122（x+1）去分母，得6x3x+3=122x26x3x+2x=12235x=7V=5例3某商場經(jīng)銷一種商品，由于進貨時價格比原進價降低了6.4%，使得利潤增加了8個百分點，求經(jīng)銷這種商品原來的利潤率.分析這類問題我們應首先搞清楚利潤率、銷售價、進價之間的關系，因銷售價=進價x（1+利潤率），故還需設出進價，利用銷售價不變，輔助設元建立方程.

15、解：設原進價為X元，銷售價為y元，那么按原進價銷售的利潤率為yxy936%X93.6%xX100%,原進價降低后在銷售時的利潤率為X100%,由題意得:xyxy93.6%xx100%+8%=X100%x93.6%x解得y=1.17X1.17xx故這種商品原來的利潤率為X100%=17%.x例4解方程|xl|+|x5|=4分析對于含一個絕對值的方程我們可分兩種情況討論，而對于含兩個絕對值的方程，道理是一樣的我們可先找出兩個絕對值的“零點”，再把“零點”放中數(shù)軸上對x進行討論.解：由題意可知，當|x1|=0時，x=1；當|x5|=0時，x=5.1和5兩個“零點”把X軸分成三部分，可分別討論：當xv

16、l時，原方程可化為-(X1)(x5)=4，解得x=l.因xvl,所以x=1應舍去.當10 x5時，原方程可化為(x1)(x5)=4,解得4=4，所以x在10 x5范圍內可任意取值.當x5時，原方程可化為(x1)+(x5)=4，解得x=5.因x5，故應舍去.所以，10 x05是比不過的?！竞诵木毩暋?1有相同的解，那么這個解,a3x+a1、已知關于x的方程3x2(x)=4x和12是.(提示：本題可看作例1的升級版)2、某人以4千米/小時的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小時的速度從乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是千米/小時.【參考答案】1、27282、4.8生活中的數(shù)據(jù)篇【核心提

17、示】生活中的數(shù)據(jù)問題，我們要分清三種統(tǒng)計圖的特點，條形圖表示數(shù)量多少，折線圖表示變化趨勢，扁形圖表示所占百分比學會觀察，學會思考，這類問題相對是比較簡單的.【典型例題】例1下面是兩支籃球隊在上一屆省運動會上的4場對抗賽的比賽結果：(單位：分)第一場第二場第二場第四場球隊甲7072S790球隊乙95S08880研究一下可以用哪些統(tǒng)計圖來分析比較這兩支球隊，并回答下列問題：你是怎樣設計統(tǒng)計圖的？你是怎樣評價這兩支球隊的？和同學們交流一下自己的想法分析選擇什么樣的統(tǒng)計圖應根據(jù)數(shù)據(jù)的特點和要達到的目的來決定本題可以用復式條形統(tǒng)計圖，達到直觀、有效地目的.解用復式條形統(tǒng)計圖：(如下圖)t得分()0舛80

18、706oao4o3oJ2ol()o從復式條形圖可知乙球隊勝了3場輸了1場.例2根據(jù)下面三幅統(tǒng)計圖(如下圖)，回答問題:嗆6000加站100l-n111m歐洲畔洲北美洲辺腿JE洲匚二I亞洲洲恣I耿洲黎拉丁夷洲”翊航夾祈I三幅統(tǒng)計圖分別表示了什么內容？從哪幅統(tǒng)計圖你能看出世界人口的變化情況？2050年非洲人口大約將達到多少億？你是從哪幅統(tǒng)計圖中得到這個數(shù)據(jù)的？2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，你從哪幅統(tǒng)計圖中可以明顯地得到這個結論？分析這類問題可根據(jù)三種統(tǒng)計圖的特點來解答.解(1)折線統(tǒng)計圖表示世界人口的變化趨勢，條形統(tǒng)計圖表示各洲人口的多少，扇形統(tǒng)計圖表示各洲占世界人口的百分比.折線

19、統(tǒng)計圖80億，折線統(tǒng)計圖.扇形統(tǒng)計圖【核心練習】1、如下圖為第27屆奧運會金牌扇形統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題:（1）哪國金牌數(shù)最多?（2）中國可排第幾位?（3）如果你是中國隊的總教練，將會以誰為下一次奧運會的追趕目標?W1類國I必舊嵌擰處國澳大利亞逓德風匚二I其它中國【參考答案】1、（1）美國（2）第3位（3）俄羅斯.平行線與相交線篇【核心提示】平行線與相交線核心知識是平行線的性質與判定單獨使用性質或判定的題目較簡單，當交替使用時就不太好把握了，有時不易分清何時用性質，何時用判定我們只要記住因為是條件，所以得到的是結論，再對照性質定理和判定定理就容易分清了.這部分另一核心知識是寫證

20、明過程有時我們認為會做了，但如何寫出來呢？往往不知道先寫什么，后寫什么寫過程是為了說清楚一件事，是為了讓別人能看懂，我們帶著這種目的去寫就能把過程寫好了.【典型例題】例1平面上有5個點，其中僅有3點在同一直線上，過每2點作一條直線，一共可以作直線（）條.A.7B.6C.9D.8分析與解這樣的5個點我們可以畫出來，直接查就可得到直線的條數(shù).也可以設只有A、B、C三點在一條直線上，D、E兩點分別和A、B、C各確定3條直線共6條，A、B、C三點確定一條直線，D、E兩點確定一條直線，這樣5個點共確定8條直線.故選D.例2已知ZBED=60,ZB=40,ZD=20,求證：AB#CD.分析要證明兩條直線平

21、行，可考慮使用哪種判定方法得到平行？已知三個角的度數(shù)，但這三個角并不是同位角或內錯角.因此可以考慮作輔助線讓他們建立聯(lián)系.延長BE可用內錯角證明平行.過點E作AB的平行線，可證明FG與CD也平行，由此得到ABCD.連接BD,利用同旁內角互補也可證明.解延長BE交CD于O,.ZBED=60。，ZD=20,AZBOD=ZBED-ZD=60-20=40,VZB=40,ZBOD=ZB,ABCD.其他方法,可自己試試！例3如圖，在ABC中，CE丄AB于E,DF丄AB于F,ACED,CE是ZACB的平分線，求證：ZEDF=ZBDF.分析由CE、DF同垂直于AB可得CEDF，又知ACED,利用內錯角和同位角

22、相等可得到結論.解VCE丄AB,DF丄AB,.CEDFAZEDF=ZDEC,ZBDF=ZDCE,VAC#ED,ZDEC=ZACE,?.ZEDF=ZACE.VCE是ZACB的平分線，.ZDCE=ZACE,ZEDF=ZBDF.例4如圖，在ABC中，ZC=90,ZCAB與ZCBA的平分線相交于O點，求ZAOB的度數(shù).分析已知ZC=90,由此可知ZCAB與ZCBA的和為90。,由角平分線性質可得ZOAB與ZOBA和為45。，所以可得ZAOB的度數(shù).解VOA是ZCAB的平分線，OB是ZCBA的平分線,11.ZOAB=ZCAB,ZOBA=ZCBA,221111.ZOAB+ZOBA=ZCAB+ZCBA=(Z

23、CAB+ZCBA)=(180ZC)=45。,2222AZAOB=180(ZOAB+ZOBA)=135.1(注：其實ZAOB=180(ZOAB+ZOBA)=180-(180ZC)1=90+ZC.2所以ZAOB的度數(shù)只和ZC的度數(shù)有關，可以作為結論記住.)核心練習】1、如圖，ABED,a=ZA+ZE=ZB+ZC+ZD,求證：卩=2a.（提示：本題可看作例2的升級版）2、如圖，E是DF上一點，B是AC上一點，Z1=Z2,ZC=ZD，求證：ZA=ZF.【參考答案】1、可延長BC或DC,也可連接BD,也可過C做平行線.2、先證BDCE，再證DFAC.三角形篇【核心提示】三角形全等的核心問題是證全等.根據(jù)

24、全等的5種判定方法，找出對應的邊和角，注意一定要對應，不然會很容易出錯如用SAS證全等，必須找出兩邊和其夾角對應相等.有時為了證全等，條件中不具備兩個全等的三角形，我們就需要適當作輔助構造全等.【典型例題】例1如圖，在ABC中，AB=AC,D、E分別在BC、AC邊上,且Z1=ZB,AD=DE.求證：ADB9ADEC.分析要證ADB和厶DEC全等，已具備AD=DE一對邊，由AB=AC可知ZB=ZC,還需要一對邊或一對角.由條件Z1=ZB知,找角比較容易.通過外角可得到ZBDA=ZCED.證明VAB=AC,.ZB=ZC，VZ1=ZB,.Z1=ZC,.ZBDA=ZDAC+ZC,ZCED=ZDAC+Z

25、1ZBDA=ZCED.在厶ADB和厶DEC中AB=ZCZBDA=ZCED,AD=DE.ADB9ADEC(AAS).例2如圖，ACBD,EA、EB分別平分ZCAB、ZDBA,CD過點E,求證：AB=AC+BD.分析要證AB=AC+BD有兩種思路，可以把AB分成兩段分別和AC、BD相等，也可以把AC、BD平移連接成一條線段，證明其與AB相等下面給出第一種思路的過程.證明在AB上截取AF=AC,連接EF,TEA別平分ZCAB,?.ZCAE=ZFAE,在厶ACE和AAFE中AC=AFZCAE=ZFAE,AE=AE.ACE9AAFE(SAS),?.ZC=ZAFE.ACBD,AZC+ZD=180,VZAF

26、E+ZBFE=180,AZBFE=ZD.TEB平分ZDBA,AZFBE=ZDBE在BFE和BDE中ZFBE=DBE2ZBFE=ZDBE=BE.BFE9ABDE(AAS),BF=BD.AB=AF+BF,AB=AC+BD.例3如圖，BD、CE分別是ABC的邊AC和AB上的高，點P在BD的延長線上，BP=AC，點Q在CE上,CQ=AB.求證：(1)AP=AQ；(2)APIAQ.分析觀察AP和AQ所在的三角形，明顯要證ABP和厶QCA全等.證出全等AP=AQ可直接得到，通過角之間的等量代換可得ZADP=90.證明(1)TBD、CE分別是ABC的邊AC和AB上的高,?.ZAEC=ZADB=90，AZAB

27、P+ZBAC=ZQCA+ZCAB=90，?.ZABP=ZQCA在厶ABP和厶QCA中BP=CAZABP=ZQCACQ=BA.ABP9AQCA(SAS),.AP=AQ.(2)由(1)ABPAQCA,AZP=ZQAC，?ZP+ZPAD=90，?.ZQAC+ZPAD=90，.AP丄AQ.【核心練習】1、如圖，在ABC中，AB=BC=CA，CE=BD，貝AFE=度.2、如圖，在ABC中，ZBAC=90AB=AC.D為AC中點，AE丄BD,垂足為E.延長AE交BC于F.求證：ZADB=ZCDF【參考答案】1、602、提示：作ZBAC的平分線交BD于P,可先證ABP9ACAF，再證APD9ACFD.生活中的軸對稱篇【核心提示】軸對稱核心問題是軸對稱性質和等腰三角形.軸對稱問題我們要會畫對稱點和對稱圖形，會通過對稱點找最短線路等腰三角形的兩腰相等及三線合一，好記但更要想著用，有時往往忽略性質的應用.【典型例題】例1判斷下面每組圖形是否關于某條直線成軸對稱.分析與解根據(jù)軸對稱的定義和性質，仔細觀察，可知Q）是錯誤的，（2）是成軸對稱的.例2下列圖形中對稱軸條數(shù)最多的是（）A.正方形B.長方形C.等腰三角形D.