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文檔簡介
1、 前面我們實際上學習了量子力學的四個基本原理:原理1微觀體系的狀態(tài)可以用波函數(shù)完全描述原理2力學量可以用厄米算符來描述原理3體系狀態(tài)的波函數(shù)可以用算符的本征函數(shù)來展開原理4體系狀態(tài)的波函數(shù)要滿足Schrodinger方程。今天我們開始學習第五個基本原理全同性原理5.5全同粒子系統(tǒng)和波函數(shù)的交換對稱性1、全同粒子經(jīng)典粒子:有軌跡,可分辨熱統(tǒng)中有介紹概念:在量子力學中,把固有性質(zhì)如電荷、質(zhì)量、磁矩、自旋等內(nèi)稟屬性完全相同的粒子稱為全同粒子。故全同粒子在本質(zhì)上是不可分辨的。因而不能編號,交換任意兩粒子不影響體系。性質(zhì):用量子力學的的第五個基本原理描述全同性原理:全同粒子體系的狀態(tài)不因粒子的交換而改變
2、。全同粒子具有的性質(zhì):任何可觀測量,特別是Hamiltonian量,對于任何兩個粒子的交換是不變的,即交換對稱性。例1He原子中兩個電子組成的體系(我們只研究電子的運動規(guī)律)電子的Hamiltonian表達式可以寫為2m2m2e22e2e2rIrrI212兩電子動能,兩電子與核庫侖能,兩電子相互作用能)顯然當兩個電子交換時,Hamiltonian不變。設(shè)交換算符為P12則有?P2HP=H故估H=0。例2考慮N個全同粒子組成的多粒子體系,其量子態(tài)用波函數(shù)來描述。其中q.(i二1,2,N)表示第i個粒子的全部坐標(空間和自旋)。i若P-.表示第i個粒子與第j個粒子的全部坐標變換,即ijP屮(q,q
3、,,q,q,,q)ij12ijN三屮(q,q,,q,q,,q)12jiN根據(jù)全同性原理,有屮(q,q,q,q,q)TOC o 1-5 h z12jiNc屮(q,q,,q,q,,q)12ijN但P2屮(q,q,q,q,,q)ij12ijNPP屮(q,q,,q,q,,q)ijij12ijNcP屮(q,q,q,q,q)ij12ijNc2屮(q,q,q,q,,q)12ijN因而P21(想一想,為什么?),所以c21nc1。ij可見,全同粒子滿足下列關(guān)系之一:P屮+屮,(交換對稱)ijP屮-W(交換反對稱)ij結(jié)論:對全同粒子波函數(shù)的一個很強的限制,即全同粒子的波函數(shù)對兩個粒子的交換要么是對稱的,要么是
4、反對稱的。這一點務(wù)必記住全同粒子的本征態(tài)對于全同粒子,由前述可知PHP-1H,P,H0(i主j)ijijij而P是不顯含時間的,故所有P都是守恒量,且與H有共同的本征態(tài)。ijij容易證明,不是所有的P都對易,ij比如對任意全同粒子系的波函數(shù)V(rrr)ijkP(P屮(r廠廠)屮(r廠廠)ijjkijkjkiP(PV(r廠廠)屮(r廠廠)jkijijkkij屮(rrr)二屮(rrr)?jkikij即在此情況下,我們推不出PP=PP或P,P=0,ijjkjkijijjk即不是所有的P都對易,但容易看出,如果屮(rrr)滿足交換對稱或反對ijijk稱,則所有的P都是對易的ij試分析。事實上,對全同粒
5、子體系來說,所有的Pj所處的地位應(yīng)該是相同的。唯一可能的選擇ij是量子態(tài)是所有Pij的共同本征態(tài)。仔細分析表明,這種共同本征態(tài)是存在的完全對稱波函數(shù)或完全反對稱波函數(shù)。既然所有P.都是守恒量,所以其對稱性不隨時間變化即全同粒子的統(tǒng)計性質(zhì)(Bose或Fermi統(tǒng)計)是不變的。全同粒子的分類所有的基本粒子可分為兩類:玻色子和費米子1)玻色子:凡是自旋為方整數(shù)倍,波函數(shù)滿足交換對稱,遵從Bose-Einstein統(tǒng)計的粒子。如n介子(s=0)、光子(s=1)等。2)費米子:凡自旋為方/2的奇數(shù)倍(s二1/2,3/2,),波函數(shù)對粒子的交換是反對稱,遵從Fermi-Dirac統(tǒng)計的粒子。如電子、質(zhì)子、
6、中子等,s=1/23)復(fù)合粒子:由基本粒子組成,視其總自旋而定。奇數(shù)個費米子組成的粒子仍為費米子;由偶數(shù)個費米子或玻色子組成的粒子均為玻色子。一般粒子的標記:A。l:中子數(shù),n:質(zhì)子數(shù),m:質(zhì)量數(shù)(核子數(shù))ml女口:2H,4He核子數(shù)為偶數(shù),玻色子;3H,3He核子數(shù)為奇數(shù),費米子。11221221全同粒子波函數(shù)的構(gòu)造方法在忽略粒子間相互作用的情況下,完全對稱和反對稱波函數(shù)可通過單粒子態(tài)基矢乘積形式構(gòu)造出來;若有相互作用,則可按無相互作用基矢進行展開。我們下面分別以雙全同粒子體系和N全同粒子體系為例來進行說明。2、兩個全同粒子組成的體系簡介:忽略相互作用,Hamiltonian可表為HH二h(
7、q)+h(q)12qoqnH不變,故P,H二0。1212設(shè)h(q)的單粒子本征態(tài)為9(q),本征能為,則有kkh(q)9(q)=9(q)kk其中k為力學量(包含H)的一組完備量子數(shù)。設(shè)一個粒子處于9態(tài),另一個粒子處于9態(tài),則它們組成的雙粒子態(tài)9(q)9(q)、9(q)9(q)k11k22k12k21對應(yīng)的能量都是+能量交換簡并k1k2按照全同粒子波函數(shù)的特點滿足交換對稱但任意兩粒子態(tài)的乘積不一定滿足這種交換對稱,比如若khk,則129(qi)9k(q2)與9(q2)9k(qi)不滿足交換對稱。1212T如何構(gòu)造對稱波函數(shù)?針對不同體系!波函數(shù)的構(gòu)造1)對玻色子,交換對稱,分兩種情況a.khk(
8、量子態(tài)不同)12歸一化波函數(shù)可表成屮汕1q2)=12譽吃(qi)9k(q2)k(q2)9k(qi)(1+P12)9k1(q1)9k2(q2)12其中為歸一化因子,P12是交換算符。b.k=k(量子態(tài)相同)12歸一化波函數(shù)可表成屮S(q,q)=9(q)9(q)kk12k1k2這是自然的結(jié)果。以上兩種情況所構(gòu)造的波函數(shù)都是交換對稱的。2)對費米子,交換反對稱,歸一化波函數(shù)可表成)=+叩丘(%)卩(q2)一卩(q2)P(q1)1申(q)kiv2芯(qj=丄(1一P加(q加(q)y212ki1k22屮汕1q2i2k11k21k22申(q)ki2申(q)k22k12k21同樣2為歸一化因子,P2是交換算
9、符。由上式可知,若k=k,則屮A=0(不存在)12kkT泡利不相容原理泡利不相容原理:在全同費米子體系中,不可能有兩個或兩個以上的粒子處于同一個單粒子態(tài)中(包括坐標、自旋量子數(shù)完全相同)T統(tǒng)計排斥性全同性原理對散射體系的影響設(shè)有兩個全同的自由粒子都處在動量本征態(tài),本征值為札叫,討論它們在空間距離的幾率分布(1)無交換對稱性(或不考慮交換對稱性)兩粒子的波函數(shù)可表示為屮(r,r)=1ei(爲+kpr2)Jkp12(2兀)3作變換r=r-r,R=三(r+r),以及k=(k-k),K=k+k,122122aBa卩上式中,rT相對坐標,RT質(zhì)心坐標,hkT相對動量,方KT質(zhì)心總動量。r-占r-K-K-
10、貝Ir=R+,r=R一一,k=+k,k=-k。1222a2P2此時波函數(shù)可表為1屮(rei(K-R+k-r)匚kp12(2兀)3二屮(R)(r)Kk屮K(R)質(zhì)心運動(不考慮),。k相對運動(研究目標)即k(r)=初加eik-r。這樣,對于一個粒子在半徑(r,r+dr)的球殼內(nèi)找到另一個粒子的幾率為r2drJI甲(r)|2dQ=14兀廠2drk(2兀)3令其等于二4兀r2P(r)dr。的幾率。這里p=(常數(shù)),即均勻分布。因為球殼體積為4兀r2dr,則P(r)為幾率密度一一單位體積2)考慮交換反對稱波函數(shù)費米子rrK根據(jù)前述R+2,與=R2,ka=2+k現(xiàn)在讓1分2nR不變,K不變,但r變號。
11、但由于ka,k0為量子態(tài)標記與粒子占據(jù)無關(guān),k不變。這樣由前面的知識可知屮嚴)=當1-P12)R7如2ieik-re-ik-r2i(2兀)3/2=2sin(k-r)(2兀)3/2因此對于一個粒子,在半徑(r,r+dr)的球殼內(nèi)找到另一個粒子的幾率為(幾率密度仍4兀r2Pa(r)dr=r2kdrjl申a(r)Ik2dQJd申Jsin2(krcos0)sin9d0(2兀)3004兀r2dr(2兀)34兀r2dr(2兀)3即Pa(r)=1(2兀)3此時屮S(r)=k1krJsin2(krcos0)d(krcos0)0sin(2kr)12krsin(2kr)2kr這就是兩全同粒子波函數(shù)交換反對稱時在空
12、間相對距離的幾率分布,見下圖。3)考慮交換對稱波函數(shù)玻色子13(2兀)3/2(1+P)eik-r12(2兀)3/2eik-r+eik-r=cos(k-r)(2兀)3/2同理可得PS(r)=1(2兀)31+sin(2kr)2kr可以看出,在空間波函數(shù)對稱情況下,兩個粒子靠近的幾率最大,而在交換反對稱的情況下兩個粒子靠近的幾率最小。無交換對稱時,P(r)r0、1這說明,玻色子統(tǒng)計吸引,費米子統(tǒng)計排斥當rTa時,P(r)T1說明交換對稱性只在兩單粒子波函數(shù)交疊處起作用,即此時才明顯地體現(xiàn)出交換對稱性。注意:全同粒子相對距離的幾率分布與波函數(shù)的交換對稱性密切相關(guān)。這是可觀測效應(yīng),尤其在電子-電子散射及
13、介子-介子散射中,這種全同性效應(yīng)可觀測到3、N個全同費米子體系波函數(shù)的特點:反對稱(1)先考慮三個全同費米子體系,無相互作用,即波函數(shù)可以用單粒子態(tài)波函數(shù)來進行展開。設(shè)三個粒子處于不同的單粒子態(tài)9,9,P,其中kkk表示量子數(shù)集,TOC o 1-5 h zk1k2k3123即不僅僅表示動量,還可能同時表示其它量子數(shù),如自旋量子數(shù)等。則反對稱波函數(shù)為 HYPERLINK l bookmark28 9(q)9(q)9(q)1k123屮A(q,q,q)9(q)9(q)9(q)ki,k2,k3123v3!k2,k2、k3、9(q)9(q)9(q)k31k32k33=9(q)9(q)9(q)+9(q)9
14、(q)9(q)k11k22k33k12k23k31+9(q)9(q)9(q)一9(q)9(q)9(q)k13k21k32k11k23k32-9(q)9(q)9(q)一9(q)9(q)9(q)k12k21k33k12k21k33=A9(q)9(q)9(q)k11k22k33其中A=丄1+PP+PP-P-P-P。J3!23132312231213稱為反對稱算子。(2)考慮N個全同費米子體系設(shè)N個全同費米子體系處于不同的單粒子態(tài)9,9,9,k1k2kN同樣k,k2,kN表示量子數(shù)集,則9(q)k19q)k2.1(qN)TOC o 1-5 h z9(q)9k1219(q)9(q)9k(q1)N9k(q
15、2)9k(qN)NNk22k2N=A9k(q1)9k(q2)9k(qN)12N其中A=芻乞8pP稱為反對稱算子。上述行列式稱為Slater行列式。丄為歸一化因子。8p=?N!p對N個粒子,單粒子態(tài)有N個。排列數(shù)?N!個P表示允許的置:換奇置換,偶置換比如原序123則:231123偶置換(2次);321123奇置換(3次)很明顯,所有置換奇偶各半。此時81,分別對應(yīng)奇置換和偶置換。114、N個全同玻色子體系波函數(shù)的特點:對稱由于不受Pauli原理的限制,可以有任意數(shù)目的粒子處于同一狀態(tài)。設(shè)有n個Bose子處在k態(tài)上(i二1,2,N),工n二N。在這些n態(tài)中有的為0,iiiii有的1,所以N個粒子
16、波函數(shù)可寫成工PP(q)甲(q)P(q)甲(q)k11k1nik2ni+1k2ni+n2Pn1個粒子n2個粒子P指那些只對處于不同單粒子態(tài)上的粒子進行對換而構(gòu)成的置換。比如也可以有:n個粒子處于k態(tài),n個粒子處于k態(tài),2112這種置換共有N!/(n!n!n!)二N!/口n!12Nii因此歸一化對稱波函數(shù)為k1k2k叫,qN)二nn!:iiZN!pPg(q)甲(q)k11kNN特例:(1)N=2粒子體系,單粒子態(tài)有2Zkk2粒子的填充情況有兩種對稱波函數(shù)有兩個(見前面的討論)屮Skk12叫q2)=(1+P12吧(心匕)12wkk(q1,q2)卄W(q2)k1k2N=3粒子體系單粒子態(tài)有3Z叮111則對稱波函數(shù)可以寫為TOC o 1-5 h z屮S(q,q,q)=申(q)申(q)申(q)+申(q)申(q)申(q)111123,.3!112233122331+申(q)申(q)申(q)+申(q)申(q)申(q)132132132231+申(q)申(q)申(q)+申(q)申(q)申(q)122133112332=丄(1+PP+PP)+(P+P+P)(p(q網(wǎng)(q)申(q).J3!23132312131223112233這種對稱態(tài)有1個LJ!L2II210則對稱波函數(shù)可以寫為屮210(q1,q2,q3)=吉咔嚴1(q2)P2(q3)+1(q1)1(q3)2(q2)+1(q2)9
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