我對抽象代數(shù)的認(rèn)識

1、漫談抽象代數(shù)你若是沒有認(rèn)真看過代數(shù)，你就不能準(zhǔn)確地估計數(shù)學(xué)到底有多么深刻；你若是沒有認(rèn)真 看過代數(shù)，你也不能明白為什么抽象的理論也能為人類思維所把握一一代數(shù)中最不可理解的 就是，代數(shù)竟然是可以理解的。代數(shù)的深刻來自數(shù)學(xué)思想，而不是運(yùn)算一一論運(yùn)算，微分和 積分都比它復(fù)雜得多，這就是物理大師Feynman選擇矩陣而不是偏微分方程來給低年級本 科生講述量子力學(xué)的原因（參閱Feynman物理學(xué)講義卷III，趙凱華的新概念量子物理也用 的是這種講法：因為矩陣和代數(shù)運(yùn)算更接近高中數(shù)學(xué)，幾乎每個讀過物理奧賽書的同學(xué)都會 用行列式求解電路的基爾霍夫方程組一一奧賽總是盡量回避微積分，必要的時候就用“小量 分析”

2、代替，并且取名為“微元法”、“近似法”，但就是不說這是微積分）。其實(shí)，運(yùn)算 的艱深算不得深刻，至多只能算繁瑣（譬如電力系統(tǒng)和集成電路，分析和運(yùn)算極其復(fù)雜，但 用到的不過是普通物理和固體物理之類的低級知識，根本用不上相對論、量子力學(xué)、量子場 論這類思想深刻的東西）。它沒有幾何那么直觀（因此許多人不喜歡它，嫌它太抽象），確 實(shí)（對于物理學(xué)家來說），但換個角度來看，這反倒是它的優(yōu)點(diǎn)：一方面，在它的世界里， 你不必?fù)?dān)心自己的空間想象能力（和你的同行相比，你的邏輯推理能力恰好可以彌補(bǔ)空間想 象能力的不足）；另一方面，就數(shù)學(xué)本身而言，人類總是不可避免要面對一些高維（甚至無 限維）的客體，這時，不僅你想象不

3、出來，其他人也想象不出來，這正是代數(shù)大顯身手的地 方。有人說，抽象有什么好，我想象不出來。其實(shí)你那是先給自己灌輸了一個錯誤觀念，即 一個事物只有當(dāng)它可以想象出來才是真實(shí)的，才能接受。為什么非要想象出來呢？只要依循 著邏輯一步步嚴(yán)密地推理就足夠了，因而這種擔(dān)心完全是不必要的。所以，你可以把數(shù)學(xué)看 得很神圣，但不要把它看得很神秘一一望而生畏會阻礙你的進(jìn)步。代數(shù)的魅力就在于，深刻 又易于思考，哪怕你對研究對象一無所知，也能依循著邏輯去思考一一它那么簡單，簡單到 只需要邏輯（除此之外再也不需要別的了）就能把握真理（你必須相信，純理論可以主宰世 界）；但它的思想又那么深刻，深刻到所有幾何都能統(tǒng)一用變換群

4、來描述。現(xiàn)在覺得，幾何 與代數(shù)的特點(diǎn)很像普通物理與理論物理：前者注重說明現(xiàn)象，后者注重說明本質(zhì)。譬如折射： 前者注重折射現(xiàn)象（筷子放入水中后變彎了），后者注重折射定律（不管你變成什么形狀了， 反正都是nsin0 =sin0 ）。曾經(jīng)我很迷戀幾何（各種奇妙曲線和曲面），就像當(dāng)初迷 戀普通物理（各種奇妙現(xiàn)象）；現(xiàn)在我轉(zhuǎn)向理論物理，更愿意從純理性的角度去思考一些本 質(zhì)（透過現(xiàn)象看本質(zhì)），對數(shù)學(xué)也因而更偏重代數(shù)。代數(shù)和理論物理的美是內(nèi)斂的，就像那 種內(nèi)斂的人，長得很抽象，你不去接近她而只是從外部看看，就不會發(fā)現(xiàn)她的魅力所在。抽象有什么好？抽象可以使理論更加普適。什么歐式幾何、仿射幾何、射影幾何、微分

5、幾何林林總總，眼花繚亂。它們之間就沒有聯(lián)系嗎？有！不識幾何真面目，只緣身在幾何 中必須從幾何中跳出來，才能旁觀者清。這個旁觀者就是代數(shù)。1872年，德國數(shù)學(xué)家K lein在Erlangen大學(xué)的報告中指出，一種幾何學(xué)可以用公理化方法來構(gòu)建，也可以把變換 群和幾何學(xué)聯(lián)系起來，給幾何學(xué)以新的定義：給出集合S和它的一個變換群G，對于S中的 兩個集合A和B，如果在G中存在一個變換f使f（A）=B，則稱A和B等價?？梢愿鶕?jù)等價關(guān) 系給集合分類，凡是等價的子集屬于同一類，不等價的子集屬于不同的類。將這一代數(shù)理論 翻譯到幾何中，相應(yīng)的版本便是：集合S叫做空間，S的元素叫做點(diǎn)，S的子集A和B叫做 圖形，凡是等

6、價的圖形都屬于同一類（圖形等價類）。于是同一類里的一切圖形所具有的幾 何性質(zhì)必是變換群G下的不變量，因而可用變換群來研究幾何學(xué)這就是著名的Erlange n綱領(lǐng)，它支配了自它以來半個世紀(jì)的所有幾何學(xué)的研究。例如，在正交變換群下保持幾何 性質(zhì)不變的便是歐式幾何，在仿射變換群下保持不變的便是仿射幾何，在射影變換群下保持 不變的便是射影幾何，在微分同胚群下保持不變的便是微分幾何。上面說的是圖形等價關(guān)系。代數(shù)的普遍性在于，它將各種各樣的相關(guān)的、不相關(guān)的事物 放在一起比較，然后從這些個性的事物中提煉出共性的東西來，比如等價關(guān)系。除了上面提 到的圖形等價關(guān)系，還有各種各樣的等價關(guān)系（如同“群公理：只要滿足

7、能封閉、可結(jié)合、 有恒元和逆元的集合就是群”一樣，只要滿足反身、對偶、傳遞這三條的關(guān)系就是等價關(guān)系 這樣簡單的條件當(dāng)然很容易滿足，曲不高則和不寡，所以類似的例子不勝枚舉）， 例如，同余等價關(guān)系。我們可以按余數(shù)給整數(shù)分類，余數(shù)相同的歸為一類，即同余類。代數(shù) 對于普遍性的追求在于，發(fā)現(xiàn)同余類后并不就此止步，而是精益求精，進(jìn)一步去提煉更具普 遍性的概念。既然等價的圖形和等價的余數(shù)都可以歸為等價類，何不將等價類做成一個集合 呢？由此，又發(fā)現(xiàn)了商集（即在一個集合中給定了一個等價關(guān)系之后相對于這個等價關(guān)系而 言的等價類所構(gòu)成的集合，通俗地說就是將每一個等價類中所有點(diǎn)“粘合”為一個點(diǎn)而得到 的集合，如Mob

8、ius帶和Klein瓶）、商空間（以同余類為元素構(gòu)成的集合）、商群（以陪 集為元素構(gòu)成的集合）等概念。剛才說了等價關(guān)系。類似的例子還有很多，再比如說基矢。 只要同類的一組元素互不相關(guān)，就能充當(dāng)空間的一組基（將一個量展開為其他量的線性組合， 此即泛函分析中的譜定理），哪怕它不是向量（因而生成的不是幾何空間）也無所謂，比如 它可以是一組函數(shù)（由此生成無限維空間，如量子力學(xué)中的Hilbert空間）。甚至，它可以 是一個不確定（如無窮小量，要多小有多小但又不是零，到底多大只有上帝清楚）的微分元 （比如dx、dy、dz，微分幾何中用到的外微分形式就是用這些微分元為基矢張成的空間一 一微分幾何運(yùn)算很復(fù)雜，

9、但構(gòu)成它的理論基礎(chǔ)之一 Grassmann代數(shù)并不是特別復(fù)雜）?？梢?， 代數(shù)的理論是相當(dāng)普適的。代數(shù)為什么能普適？因為它總是通過不斷的抽象來提煉更加基本的概念。用哲學(xué)的話 說，便是從具體到抽象，從特殊到一般（例如兩個群，不論它們的元素多么地不同，只要運(yùn) 算性質(zhì)相同，彼此就是同構(gòu)的，并且可以因此認(rèn)為是相同的代數(shù)對象而不加區(qū)別；不論膨脹、 收縮、轉(zhuǎn)動、反演都可以統(tǒng)一起來，那就是指數(shù)函數(shù)；不論弦振動、聲音、流體、電磁波 都可以統(tǒng)一起來，它們在數(shù)學(xué)中都是雙曲型方程）。每一次抽象都是一次“揚(yáng)棄”（留其精 髓，去其平庸）的過程。比如將“距離”概念抽象化而提煉出“單比”概念，進(jìn)一步將“單 比”抽象化而提煉出

10、“交比”概念，于是，從歐式幾何中舍棄“距離不變”而保留更普遍的 “單比不變”，得到仿射幾何；從仿射幾何中舍棄“單比不變”而保留更普遍的“交比”， 得到一般的射影幾何。從歐式空間（長度，夾角）到內(nèi)積空間（模，不嚴(yán)格的夾角）再到賦 范空間（范，完全拋棄夾角）也是如此，不斷的改良（抽象、提煉），一改再改，但最終改 到不能再改時，就完成了一個革命一一甚至連范數(shù)（最熟悉因而最不愿拋棄的度量或度規(guī)） 也拋棄了，從不嚴(yán)格的距離發(fā)展到不確定的距離（鄰域3,就像前面提到的無窮小量一樣不 確定），得到了里程碑式的“拓?fù)淇臻g”的概念一一有史以來最廣泛最深刻的革命！經(jīng)由歐式空間的連續(xù)函數(shù)抽象出度量空間的連續(xù)映射，一直

11、到抽象出拓?fù)淇臻g中的同胚 映射，在數(shù)學(xué)史上經(jīng)歷了很長時間才完成。無獨(dú)有偶，物理學(xué)史也是如此。且不說從經(jīng)典力 學(xué)到相對論、量子力學(xué)（這個過程想必大家都聽膩了），單說相對論本身也是如此。Einst ein說：“為什么從狹義相對論發(fā)表到廣義相對論建立又經(jīng)歷了 7年那么長時間？主要原因 是，要擺脫坐標(biāo)必須有直接度量意義這個舊概念是不容易的”?？磥?，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家都 遇到了擺脫“度量”概念的困難，在擺脫舊概念走向新理論這一點(diǎn)上物理學(xué)界和數(shù)學(xué)界是相 通的（數(shù)學(xué)界走向了拓?fù)鋵W(xué)，物理學(xué)界走向了廣義相對論）。由于每一次“揚(yáng)棄”都拋棄了一些非本質(zhì)特征而提煉出更普適的精髓特征，因而每一次 抽象都是在透過現(xiàn)象看本質(zhì)

12、，每一次提煉都是一次質(zhì)的飛躍和升華，從而使由此得到的新理 論更具普遍性與包容性。例如量子力學(xué)不僅能解釋經(jīng)典力學(xué)的各種現(xiàn)象，還能解釋微觀世界 里特有的（不能被經(jīng)典力學(xué)或經(jīng)典電動力學(xué)解釋的）現(xiàn)象，如AB效應(yīng)。當(dāng)然，盡管新理論更有包容性，但也不能完全取代舊理論。比如拓?fù)鋵W(xué)就不能取代測度 論。呵呵，數(shù)學(xué)界都從“everythere”退到“almost everywhere”，物理學(xué)界也不能幻想 “theory of everything”吧。記得家樹兄的susy物理學(xué)筆記中有這么一句經(jīng)典臺詞：物 理理論是一個無法用模型覆蓋的理論流形。果然。另外，就理論本身而言，彼此也是相通的。例如，拓?fù)淇臻g中的一些核

13、心概念，像開集、 閉集、內(nèi)部、邊界、聚點(diǎn)、覆蓋等，在度量空間（測度論）中也要考慮。呵呵，在地愿為 連理枝，畢竟，我們“根，緊握在地下”一一我們都是在集合論這片土地上生長起來的。所 以，我們應(yīng)該剛?cè)峄?jì)一一你有你的可測函數(shù)，像積、像角、也像距；我有我連通的空間， 像有界的閉集（緊致），又像連續(xù)的一一（同胚映射）。在你面前我常常讓著你，有時將自 己各部分分開一段距離P放你進(jìn)去，這樣，你就得到了精神支柱（有限可加的條件）而獲得 生命力（定義外測度）。當(dāng)然，我的分離不完全為了你，還為了我外孫女一一規(guī)范場（既然能量動量都是我姐姐 時空平移對稱群生成的，那么把數(shù)學(xué)當(dāng)成物理的母函數(shù)不過分吧）。我先把自己分開

14、一 個超級大口子，以至于每一個點(diǎn)的開鄰域都沒有交集（即得到Hausdorff空間），然后分娩 出遍歷物理學(xué)各個角落的流形（局部同胚于n維歐式空間）。等她長大后，就變成了纖維叢， 從而生成規(guī)范場（所以我是規(guī)范場的外祖母）。你遇到困難（如自旋、AB效應(yīng)等）常常求助于我，我總是樂于把我的致命武器“連 通性”借給你。我是這么珍愛自己這件寶貝，以至于不愿意“遺傳”給自己的兒子（子集）。 不過有時也拒絕你，比如你想去類空間隔，我怕你去了之后變成虛數(shù)，就用另一件武器 “緊致性”把超光速的希望變成地平線，就算看得見也永遠(yuǎn)走不到。盡管我能七十二變（同倫、同調(diào)），但有時也求助你。比如鉆進(jìn)無底洞一一 Cantor

15、三分集。這時你就用p進(jìn)位表數(shù)法將（0,1）中的點(diǎn)表成二進(jìn)位小數(shù)，就像“將（0,1）區(qū)間 的點(diǎn)與（0，+8）區(qū)間的點(diǎn)1-1對應(yīng)起來”一樣，將Cantor集合中的點(diǎn)和（0,1）區(qū)間也1 -1對應(yīng)起來。有時，我不小心鉆進(jìn)謝爾賓斯基海綿，這時你也無能為力，我就去找我弟一一分形幾何。我期望“弟子不必不如師”的喜劇在我身上重演。目前我最發(fā)愁的就是我的徒子徒孫們 （四種基本相互作用）總是吵架，希望有一天它們能統(tǒng)一。當(dāng)然，前面已經(jīng)說過，數(shù)學(xué)是物 理的母函數(shù)，那么沒學(xué)過我的武功的“民科”們就不要瞎摻合了。必須牢記牛魔王的遺訓(xùn)： 如果說我看得更遠(yuǎn)，那是因為站在巨人的肩膀上。期待物理學(xué)家們能像Klein用變換群統(tǒng)一幾何學(xué)一樣，也提出一個物理學(xué)的Erlangen 綱領(lǐng)?？赡苓@個綱領(lǐng)也是變換群，比如SU（3）XSU（2）XU（1）（當(dāng)然也未必用直積，雖然直 積能夠構(gòu)造更大的對稱，如SU（5）等）；或者跟變換群無關(guān)，而是扭結(jié)之類的。參考文獻(xiàn)：1熊金城，點(diǎn)集拓?fù)渲v義，高等教育出版社2 江澤堅，實(shí)變函數(shù)論，高等教育出版社葛顯良，應(yīng)用泛函分析，浙江大學(xué)出版社A.W.約什，物理學(xué)中的群論基礎(chǔ)，科學(xué)出版社5 侯伯宇、侯伯元，物理學(xué)家用微分幾何，科學(xué)出版社6 梅向明，高等幾何，高等教育出版社張賢科、許甫華