L14多屬性決策2

1、L14 多屬性決策2詹文杰（教授/博導(dǎo)） Tel: Email: 1學(xué)習(xí)目標(biāo)層次分析法(AHP)；加權(quán)和法；加權(quán)積法；權(quán)重的靈敏度分析。214 多屬性決策14.1 層次分析法(AHP)14.2 加權(quán)和法14.3 加權(quán)積法14.4 權(quán)重的靈敏度分析314.1 層次分析法(The Analytical Hierarchy Process, 簡稱AHP)層次分析法（The Analytical Hierarchy Process）是美國運籌學(xué)家、匹茲堡大學(xué)教授T.L.Saaty在20世紀(jì)70年代初提出來的。它是處理多目標(biāo)、多準(zhǔn)則、多要素、多層次的復(fù)雜問題，進(jìn)行決策分析、綜合評價的一種簡單、實用而有效

2、的方法，是一種定性分析與定量分析相結(jié)合的方法。4AHP的流程圖構(gòu)造判斷矩陣B求B的特征向量求B的最大特征值結(jié)束一致性檢驗建立層次分析結(jié)構(gòu)模型修改判斷矩陣沒有通過5AHP的求解步驟步驟1: 構(gòu)造判斷矩陣B步驟2:求權(quán)重步驟3:一致性檢驗步驟4:方案排序6例1:買車(AHP法確定權(quán))備選車價格 (萬元)y1油耗 (升/百公里)y2舒適度y3x1402510 x215183x325106x4351587判斷矩陣B的含義：相對于某個指標(biāo)，各個指標(biāo)重要性兩兩比較的判斷值。bij表示指標(biāo)i與指標(biāo)j重要性的比值。B（按19標(biāo)度給定）i與j重要性比較biji與j同等重要1i比j稍重要3i比j重要5i比j明顯重

3、要7i比j絕對重要9相鄰兩級間2,4,6,8判斷矩陣B具有如下性質(zhì)：(1) bii=1;(2) bij與bji互為倒數(shù);(3)完全一致性，即:bikbkj= bij, 其中，(i, j, k =1,n) b11 b1nB=(bij)nn = bn1 bnn步驟1: 構(gòu)造判斷矩陣B8步驟1: 構(gòu)造判斷矩陣B9步驟2:求權(quán)重方法一：特征根法方法二：Saaty近似算法10 根據(jù)矩陣?yán)碚摚恢滦跃仃嘇的最大特征值等于矩陣A的階數(shù)n。以n個事物為元素的向量W是矩陣B對應(yīng)于n的特征向量，它表示n個事物在總量和中的權(quán)重。也就是說，矩陣A的最大特征值n所對應(yīng)的特征向量即為被比較事物的權(quán)重。方法一：特征根法A具

4、有如下性質(zhì)： aii1 aij與aji互為倒數(shù) 完全一致性，即aikakj= aij, i, j, k =1,n11方法一：特征根法基本思想：當(dāng)判斷矩陣B為一致性矩陣時，其特征根問題 BW=W的最大特征值所對應(yīng)的特征向量歸一化后即為排序權(quán)重向量。結(jié)論：求B的重要性權(quán)重就可以歸結(jié)為求B的最大特征值所對應(yīng)的特征向量。12方法二：Saaty近似算法13步驟2:求權(quán)重 (Saaty近似算法)(1) A中每行元素連乘并開n次方: (2) wi* 規(guī)范化: 14步驟2:求權(quán)重 (Saaty近似算法) 規(guī)范化: w1*+ w2*+ w3*=4.39 w1=w1* /4.39=2.62/4.39=0.6 w2

5、=w2* /4.39=1.52/4.39=0.35 w3=w3* /4.39=0.25/4.39=0.0515步驟3:一致性檢驗B與A都表示元素重要性比值，但A是按定義構(gòu)造，而B是由主觀判斷獲得，因此兩者數(shù)學(xué)性質(zhì)并不完全一致，表現(xiàn)在A具有完全一致性，從而其判斷矩陣的最大特征根=n。而B不具備性質(zhì)，大于n，從而把A推廣到B所得的結(jié)論也有一定誤差。為使特征根法仍能適用，須對誤差進(jìn)行檢驗，若誤差在允許范圍內(nèi)，則對B所求的特征向量可近似表示權(quán)重。這一檢驗環(huán)節(jié)稱一致性檢驗（相容性檢驗）。16前述A的最大特征值為n，而判斷矩陣B的最大特征值maxn，可以認(rèn)為這是B不滿足而產(chǎn)生的結(jié)果，B越是不滿足，max-

6、n越大，因此，將這一誤差值作為衡量A滿足完全一致性的程度。一致性指標(biāo)(Consistency Index)其中 步驟3:一致性檢驗17考慮到n越大，判斷矩陣B越難滿足一致性，所以應(yīng)對不同階數(shù)的矩陣給予不同的誤差限，為此引入隨機一致性指標(biāo)R.I.（1000個樣本得到的平均C.I.值）： n12345678910R.I. 000.580.961.121.241.321.411.451.49max/3.1164.275.456.627.798.9910.1611.34(1) 一致性比率(Consistency Ratio): C.R.=C.I./R.I.若C.R.0.1，判斷矩陣B具有滿意一致性;若

7、C.R.0.1，判斷矩陣B不具有滿意一致性，需要重新構(gòu)造，直到滿意為止。步驟3:一致性檢驗(2) 最大特征根檢驗：max max18 A B1 B2 B3B B1 1 1/3 2 B2 3 1 5 B3 1/2 1/5 1 1 1/3 2BW= 3 1 5 1/2 1/5 10.2300.6480.122 0.69= 1.948 0.367例2：對下面判斷矩陣B進(jìn)行一致性檢驗。故此判斷矩陣具有滿意一致性。19步驟3:一致性檢驗 (Saaty近似算法) (1) A中每列元素求和 :(2)計算max 的值(3) 與臨界值 max 比較:n12345678910R.I. 000.580.961.12

8、1.241.321.411.451.49max/3.1164.275.456.627.798.9910.1611.3420步驟3:一致性檢驗(Saaty近似算法) S1=1+1/2+1/9 =1.61S2=2+1+1/7 =3.14S3=9+7+1 =17W1=0.6W2=0.35W3=0.05max =(Wi x Si) =0.61.61+0.35 3.14+0.05 17= 2.9150 x3 x4 x123例3(9.3): 設(shè)某高校擬從三個候選人中選一人擔(dān)任中層領(lǐng)導(dǎo)，候選人的優(yōu)劣用六個屬性去衡量，這六個屬性是：健康狀況；業(yè)務(wù)知識；書面表達(dá)能力；口才；道德水平；和工作作風(fēng)。關(guān)于這六個屬性的

9、重要性，有關(guān)部門設(shè)定的屬性重要性矩陣B為：24權(quán)重的本征向量 25屬性值的AHP法 三個候選人分別記作X、Y、Z；設(shè)在各屬性下比較的結(jié)果（稱為比較矩陣）如下。 26屬性的最大本征值27屬性值的調(diào)整調(diào)整前調(diào)整后28結(jié)果29 例4：某省輕工部門有一筆資金欲投資生產(chǎn)輕工產(chǎn)品?，F(xiàn)擬定三個投資方案: (1)生產(chǎn)某種家用電器；(2)生產(chǎn)某種緊俏產(chǎn)品；(3)生產(chǎn)傳統(tǒng)產(chǎn)品。評價和選擇投資方案的準(zhǔn)則是：風(fēng)險程度、資金利潤率和轉(zhuǎn)產(chǎn)難易程度。經(jīng)初步分析認(rèn)為：若投資用來生產(chǎn)家用電器，其優(yōu)點是資金利潤率高，但因競爭廠家多，故所冒風(fēng)險也大，且今后若要轉(zhuǎn)產(chǎn)其他產(chǎn)品也較困難。若資金用來生產(chǎn)傳統(tǒng)產(chǎn)品，情況正好相反，即其優(yōu)點是所

10、冒風(fēng)險小，今后若要轉(zhuǎn)產(chǎn)也較方便，但資金利潤卻很低。生產(chǎn)緊俏產(chǎn)品的投資方案，其優(yōu)缺點則介于上述兩種方案之間。因此，對上述三種投資方案不能立即作出評價與決策。301. 建立層次分析結(jié)構(gòu)模型 A B1 B2 B3 Wi0 C.R.=C.I./R.I. B1 1 1/3 2 0.230 B2 3 1 5 0.648 0.004/0.58=0.0070.10 B3 1/2 1/5 1 0.122選擇合理投資方向A 風(fēng)險小B1 家用電器C1利潤高B2 易轉(zhuǎn)產(chǎn)B3 緊俏產(chǎn)品C2傳統(tǒng)產(chǎn)品C32. 構(gòu)造判斷矩陣，進(jìn)行層次單排序及一致性檢驗。31 B1 C1 C2 C3 Wi0 C.R. C1 1 1/3 1/5

11、 0.105 C2 3 1 1/3 0.258 0.022/0.58=0.0380.10 C3 5 3 1 0.637 B2 C1 C2 C3 Wi0 C.R. C1 1 2 7 0.592 C2 1/2 1 5 0.333 0.008/0.58=0.014 0.10 C3 1/7 1/5 1 0.075 B3 C1 C2 C3 Wi0 C.R. C1 1 1/3 1/7 0.081 C2 3 1 1/5 0.188 0.035 /0.58=0.060.10 C3 7 5 1 0.731屬性值的層次分析法：320.2300.105+0.6480.592+0.1220.0810.2300.022

12、+0.6480.008+0.1220.035層次B要素 B層總排序值單排序值層次C要素B1B2B3綜合重要度0.2300.6480.122C1C2C30.1050.2580.6370.5920.333 0.0750.0810.1880.7310.4180.2980.284C.I.0.0220.0080.0350.015R.I.0.580.580.580.583. 層次總排序及一致性檢驗。C.R.=C.I/R.I.=0.015/0.58=0.0250.133改進(jìn)的19 標(biāo)度 - Ax標(biāo)度Ax標(biāo)度賦值因素i與j相比較的重要程度等級 901同等重要91/81.3161稍微重要92/81.7321重要

13、94/83明顯重要96/85.1962強烈重要98/89極端重要3414.2 加權(quán)和法采用加權(quán)和法的關(guān)鍵在于確定指標(biāo)體系并設(shè)定各最低層指標(biāo)的權(quán)系數(shù)：有了指標(biāo)體系就可以設(shè)法利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)或?qū)＜掖蚍纸o出屬性值表；有了權(quán)系數(shù)，具體的計算和排序就十分簡單了。正因為此，以往的各種實際評估過程中總要把相當(dāng)大的精力和時間用在確定指標(biāo)體系和設(shè)定權(quán)上。 3514.2 加權(quán)和法一般加權(quán)和法求解步驟:（1）屬性值規(guī)范化：得 Zij (i=1,m; j=1,n);（2）確定各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)： Wj (j=1,n); （3）求各方案的綜合值： 根據(jù)方案綜合值的大小對方案排序。36例2: 用加權(quán)和法求解研究生院排序問題。

14、指標(biāo)方案人均專著 C1（本/人）生師比 C2科研經(jīng)費 C3（萬元/年）逾期畢業(yè)率 C4（%）A10.1550004.7A20.2740002.2A30.61012603.0A40.3430003.9A52.822841.237例2: 用加權(quán)和法求解研究生院排序問題。（1）進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理；（2）設(shè)決策人設(shè)定的各屬性權(quán)重分別為: 0.2,0.3,0.4,0.1；（3）計算各方案的綜合值，見下表：方案集X中各方案的排序為：解： 指標(biāo)方案人均專著 z1生師比 z2科研經(jīng)費 z3逾期畢業(yè)率 z4方案綜合值 Cix10.03571.01.00.00.7074x20.07140.83330.80.53190

15、.6375x30.21430.33330.25200.36170.2871x40.10710.66660.60.17020.4784x51.00.00.05680.74470.297238例3: 用統(tǒng)計處理對屬性1作處理，用加權(quán)和法求解例2。（1）進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理；（2）設(shè)決策人設(shè)定的各屬性權(quán)重分別為: 0.2,0.3,0.4,0.1；（3）計算各方案的綜合值，見下表：方案集X中各方案的排序為：解： 指標(biāo)方案人均專著 M=0.7生師比 z2科研經(jīng)費 z3逾期畢業(yè)率 z4方案綜合值 Cix10.59501.01.00.00.8190 x20.61000.83330.80.53190.7452x30

16、.67000.33330.25200.36170.3782x40.62500.66660.60.17020.5820 x51.00.00.05680.74470.297239例：某航空公司在國際市場買飛機，按6個決策指標(biāo)對不同型號的飛機進(jìn)行綜合評價。這6個指標(biāo)是，最大速度（C1）、最大范圍（C2）、最大負(fù)載（C3）、價格（C4）、可靠性（C5）、靈敏度（C6）。現(xiàn)有4種型號的飛機可供選擇，具體指標(biāo)值如表。使用加權(quán)和法就購買飛機問題進(jìn)行決策。 指標(biāo)機型最大速度馬赫最大范圍公里最大負(fù)載千克費用106美元可靠性靈敏度A12.01500200005.5一般很高A22.52700180006.5低一般A

17、31.82000210004.5高高A42.21800200005.0一般一般40 指標(biāo)機型最大速度(馬赫)最大范圍(公里)最大負(fù)載(千克)費用(106美元)可靠性靈敏度A12.01500200005.5一般很高A22.52700180006.5低一般A31.82000210004.5高高A42.21800200005.0一般一般 指標(biāo)機型最大速度(馬赫)最大范圍(公里)最大負(fù)載(千克)費用(106美元)可靠性靈敏度A12.01500200005.559A22.52700180006.535A31.82000210004.577A42.21800200005.05541 指標(biāo)機型Ai最大速度馬

18、赫最大范圍公里最大負(fù)載千克費用106美元可靠性靈敏度A12.01500200005.559A22.52700180006.535A31.82000210004.577A42.21800200005.055解：用適當(dāng)方法確定決策指標(biāo)的權(quán)重，得到wT = ( 0.2, 0.1, 0.1, 0.1, 0.2, 0.3 )用線性比例變換法得到標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣42求得四個方案的加權(quán)指標(biāo)值分別為u1=0.835, u2=0.709, u3=0.853, u4=0.738利用公式 計算各方案的加權(quán)指標(biāo)值。由此可得最滿意方案為a3, 且各方案的優(yōu)劣排序結(jié)果為43一般加權(quán)和法的適用條件加權(quán)和法常常被人們不適當(dāng)?shù)厥?/p>

19、用，這是因為許多人并不清楚：使用加權(quán)和法意味著承認(rèn)如下假設(shè)： 指標(biāo)體系為樹狀結(jié)構(gòu)，即每個下級指標(biāo)只與一個上級指標(biāo)相關(guān)聯(lián)； 每個屬性的邊際價值是線性的(優(yōu)劣與屬性值大小成比例)，每兩個屬性都是相互價值獨立的； 屬性間的完全可補償性：一個方案的某屬性無論多差都可用其他屬性來補償。44字典序法字典序法是在 w1w2 wn (符號表示遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于）時的加權(quán)和法，即某個目標(biāo)特別重要,它與重要性處于第二位的目標(biāo)相比重要得多；重要性處于第二位的目標(biāo) 又比重要性處于第三位的目標(biāo)重要得多，。實質(zhì)上，字典序法是單目標(biāo)決策, 首先只根據(jù)最重要目標(biāo)的屬性值的優(yōu)劣來判斷方案集X中各方案的優(yōu)劣；只有當(dāng)兩個或多個方案的最重要目

20、標(biāo)的屬性值相同時，再比較它們的第二重要的目標(biāo)的屬性值；如此繼續(xù)，直到排定所有方案的優(yōu)劣次序為止。 4514.3 加權(quán)積法在用一般加權(quán)和法及層次分析法求解多屬性決策問題時，都隱含了各目標(biāo)的屬性值之間的可補償性，而且這種補償是線性的。例如：高考錄取只看總分，表示各科成績直接可以線性補償。而事實上，許多決策問題中的屬性值之間是不可補償?shù)?，即使在一定范圍?nèi)可以補償，這種補償也是非線性的。例如：研究生錄取不光只看總分，還看單科成績，如果單科成績低于分?jǐn)?shù)線，即使總分夠線也不可以錄取，表示各科成績直接不可以補償。 46例5:可持續(xù)發(fā)展評價指標(biāo)體系47加權(quán)積法1: 可持續(xù)發(fā)展評價48加權(quán)積法2: 可持續(xù)發(fā)展評價49加權(quán)積與加權(quán)和法的對比 50加權(quán)積與加權(quán)和法的對比從表9.12可知，加權(quán)積法與加權(quán)和法最顯著的差別在于，只要有一個屬性值為零，加權(quán)積法的綜合評價指數(shù)也為零，屬性之間的不可補償性得到了充分體現(xiàn)。 51加權(quán)積法的特點:加權(quán)積法與加權(quán)和法最顯著的差別在于，只要有一個屬性值為零，加權(quán)積法的綜合評價指數(shù)也為零，屬性之間的不可補償性得到了充分體現(xiàn)。加權(quán)和法的實質(zhì)是用加權(quán)屬性的算術(shù)平均值的