黎曼的偉大猜想：素?cái)?shù)之魂(下)

1、黎曼的偉大猜測(cè)：素?cái)?shù)之魂下在上述成果之后又隔了十八年，1914年，丹麥數(shù)學(xué)家玻爾與德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭道獲得了另一個(gè)階段性成果，那就是證明了黎曼函數(shù)的非平凡零點(diǎn)傾向于“嚴(yán)密團(tuán)結(jié)在臨界限的周?chē)?。這個(gè)結(jié)果用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是包含臨界限的無(wú)論多么窄的帶狀區(qū)域都包含了黎曼函數(shù)的幾乎所有非平凡零點(diǎn)。不過(guò)“嚴(yán)密團(tuán)結(jié)歸“嚴(yán)密團(tuán)結(jié)，這一結(jié)果卻缺乏以證明任何一個(gè)零點(diǎn)恰好就在臨界限上，因此它間隔 黎曼猜測(cè)的要求仍然相差很遠(yuǎn)。但就在那同一年，另一個(gè)階段性成果出現(xiàn)了：英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代終于將“紅旗插上了臨界限他證明了黎曼函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)非平凡零點(diǎn)位于臨界限上。粗看起來(lái)，這似乎是一個(gè)非同小可的結(jié)果，因?yàn)槔杪瘮?shù)的非平凡零點(diǎn)總共就是無(wú)

2、窮多個(gè)，而哈代已經(jīng)證明了無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)位于臨界限上，從字面上看，兩者簡(jiǎn)直一模一樣了。可惜無(wú)窮大是數(shù)學(xué)中一個(gè)很微妙的概念，同樣是無(wú)窮大，彼此卻未必是一回事，不僅未必是一回事，簡(jiǎn)直可以要差多遠(yuǎn)就差多遠(yuǎn)，甚至差無(wú)窮遠(yuǎn)!因此，為了知道哈代的結(jié)果離黎曼猜測(cè)的要求還有多遠(yuǎn)，我們需要更詳細(xì)的結(jié)果。那樣的詳細(xì)結(jié)果出如今七年后的1921年。那一年，哈代與英國(guó)數(shù)學(xué)家李特伍德合作，對(duì)自己七年前那個(gè)結(jié)果中的“無(wú)窮多做出了詳細(xì)估計(jì)。那么，按照這個(gè)詳細(xì)的估計(jì)，那位于臨界限上的“無(wú)窮多個(gè)非平凡零點(diǎn)跟全部非平凡零點(diǎn)相比，終究占多大的百分比呢?答案可能沮喪得出乎讀者們的意料：百分之零!數(shù)學(xué)家們將這個(gè)百分比推進(jìn)到一個(gè)大于零的數(shù)字是

3、在二十一年后的1942年。那一年，挪威數(shù)學(xué)家賽爾伯格證明了這個(gè)百分比大于零。賽爾伯格做出這項(xiàng)成果時(shí)正值第二次世界大戰(zhàn)的硝煙在歐洲各地彌漫，他所在的挪威奧斯陸大學(xué)幾乎成了一座孤島，連數(shù)學(xué)期刊都無(wú)法送達(dá)。但賽爾伯格不在乎，他表示“這就像處在一座監(jiān)獄里，你與世隔絕了，但你顯然有時(shí)機(jī)把注意力集中在自己的想法上，而不會(huì)因其別人的所作所為而分心，從這個(gè)意義上講我覺(jué)得那種情形對(duì)于我的研究來(lái)說(shuō)有許多有利的方面。他很好地利用了那“許多有利的方面，孤獨(dú)地進(jìn)展著“一個(gè)人的戰(zhàn)斗，并最終獲得了成果，他的成果是如此顯著，以致于玻爾在戰(zhàn)后曾戲說(shuō)戰(zhàn)時(shí)整個(gè)歐洲的數(shù)學(xué)新聞可以歸結(jié)為一個(gè)詞，那就是：賽爾伯格。不過(guò)賽爾伯格雖然證明了

4、那個(gè)百分比大于零，卻并沒(méi)有在論文中給出詳細(xì)數(shù)值。在賽爾伯格之后，數(shù)學(xué)家們開(kāi)場(chǎng)這一比例的詳細(xì)數(shù)值進(jìn)展研究，其中以美國(guó)數(shù)學(xué)家列文森的成果最為顯著，他證明了至少有34%的零點(diǎn)位于臨界限上。列文森獲得這一成果是在1974年，那時(shí)他已年過(guò)花甲，并且行將走到生命的盡頭他第二年就去世了，卻仍然頑強(qiáng)地從事著數(shù)學(xué)研究。在列文森之后，這方面的推進(jìn)變得非常緩慢，幾位數(shù)學(xué)家費(fèi)盡九牛二虎之力也只能在百分比的第二位數(shù)字上做文章，其中包括中國(guó)數(shù)學(xué)家樓世拓與姚琦他們于1980年證明了至少有35%的零點(diǎn)位于臨界限上。直到1989年，才有人撼動(dòng)百分比的第一位數(shù)字：美國(guó)數(shù)學(xué)家康瑞B(yǎng)rian Con-rey證明了至少有40%的零點(diǎn)位

5、于臨界限上。這也是這方面并且也是整個(gè)黎曼猜測(cè)研究中目前最強(qiáng)的結(jié)果。另外值得一提的是，“黎曼猜測(cè)這一金字招牌后來(lái)被推而廣之，用來(lái)表示一些“山寨版和“豪華版的猜測(cè)。那些猜測(cè)為什么能跟黎曼猜測(cè)共享招牌呢?那是因?yàn)樗鼈兏杪聹y(cè)有極大的相似性，比方都有一個(gè)跟黎曼函數(shù)相類(lèi)似的函數(shù)，那個(gè)函數(shù)具有與黎曼函數(shù)相類(lèi)似的性質(zhì)，等等。在那些猜測(cè)中，“豪華版黎曼猜測(cè)乃是一些比黎曼猜測(cè)更強(qiáng)即把黎曼猜測(cè)包含為特例的猜測(cè)，它們跟黎曼猜測(cè)一樣，迄今尚未得到證明這是顯然的，否那么的話(huà)黎曼猜測(cè)也就被證明了。但“山寨版黎曼猜測(cè)卻已全部得到了證明。撇開(kāi)我們所取的不中聽(tīng)的綽號(hào)不管，它們的證明乃是數(shù)學(xué)上的重大成果，既催生過(guò)新數(shù)學(xué)方法的誕

6、生，也為證明者摘取過(guò)數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)菲爾茨獎(jiǎng)。而且，“山寨版黎曼猜測(cè)作為唯一掛著黎曼猜測(cè)這一金字招牌卻被證明了的猜測(cè)，曾使人們對(duì)久攻不下的黎曼猜測(cè)也一度樂(lè)觀(guān)起來(lái)?？上街?，并不總是可以攻玉的。從目前的情況來(lái)看，“山寨版黎曼猜測(cè)就能在“山寨里玩，它們的證明雖然重要，對(duì)于解決真正的黎曼猜測(cè)卻并無(wú)本質(zhì)性的啟示。也許在很多人眼里，數(shù)學(xué)是一門(mén)很枯燥的學(xué)問(wèn)，數(shù)學(xué)家們那么是一群性格乏味的怪人。但實(shí)際上，富有智慧的人往往是不會(huì)真正乏味的，數(shù)學(xué)家們也是如此，他們?cè)诼耦^演算的勤懇之外，也給我們留下了許多獨(dú)特的幽默。匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)講過(guò)一個(gè)跟黎曼猜測(cè)有關(guān)的小故事，故事的主角就是我們前面提到過(guò)的英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代

7、與丹麥數(shù)學(xué)家玻爾。這兩位在黎曼猜測(cè)研究中做出過(guò)成果的數(shù)學(xué)家當(dāng)然都對(duì)黎曼猜測(cè)懷有濃重興趣。有一段時(shí)間，哈代常常利用假期訪(fǎng)問(wèn)玻爾，一起討論黎曼猜測(cè)，直到假期將盡才匆匆趕回英國(guó)。結(jié)果有一次，當(dāng)哈代又必須匆匆趕回英國(guó)時(shí)，很不幸地發(fā)現(xiàn)碼頭上只剩下一條小船可以乘坐了。從丹麥到英國(guó)要跨越幾百公里寬的北海，在汪洋大海中乘坐小船可不是鬧著玩的事情，弄不好就得葬身魚(yú)腹。為了旅途的平安，信奉上帝的乘客們大都忙著祈求上帝的保佑。哈代卻是一個(gè)堅(jiān)決不信上帝的人，非但不信，甚至還蓄意跟上帝作對(duì)：把向群眾證明上帝不存在列入自己某一年的年度心愿之一。不過(guò)在生死攸關(guān)的旅程面前哈代也沒(méi)閑著，他給玻爾發(fā)去了一張簡(jiǎn)短的明信片，上面只寫(xiě)

8、了一句話(huà)：“我已經(jīng)證明了黎曼猜測(cè)。哈代果真證明了黎曼猜測(cè)嗎?當(dāng)然不是。他為什么要發(fā)這么一張忽悠同事的明信片呢?當(dāng)他平安抵達(dá)英國(guó)后他向玻爾解釋了原因。他說(shuō)假如那次他所乘坐的小船果真漂浮了的話(huà)，那句話(huà)就會(huì)變得死無(wú)對(duì)證，人們就只好相信他確實(shí)證明了黎曼猜測(cè)?？墒撬郎系凼墙^不會(huì)甘心讓他這樣一個(gè)堅(jiān)決不信上帝的人獲得如此宏大的榮譽(yù)的，因此它一定不會(huì)讓小船漂浮的。哈代用自己的幽默成為了故事主角，有些數(shù)學(xué)家那么是因?yàn)槠渌麛?shù)學(xué)家的幽默而被動(dòng)地成為了故事主角，我們前面提到過(guò)的法國(guó)數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪與比利時(shí)數(shù)學(xué)家普森就是如此。這兩人成為主角的原因大家恐怕是猜不到的，那是因?yàn)樗麄兊拈L(zhǎng)壽：哈達(dá)瑪享年98歲，普森活到96歲。

9、這兩個(gè)令人眼紅的歲數(shù)不知從何時(shí)開(kāi)場(chǎng)引發(fā)了一個(gè)傳說(shuō)，那就是誰(shuí)要是能證明黎曼猜測(cè)，他就能不朽不是抽象意義上的不朽那是毫無(wú)疑問(wèn)的，而是實(shí)際意義上的不朽即長(zhǎng)生不老!不過(guò)這個(gè)傳說(shuō)看來(lái)是沒(méi)有關(guān)心到玻爾和蘭道，他們的研究成果可比哈達(dá)瑪和普森的強(qiáng)多了，照說(shuō)起碼也該混個(gè)百歲老人當(dāng)當(dāng)吧。結(jié)果呢?蘭道只活了61歲，玻爾稍勝一籌，也只有63歲?？赡苁且庾R(shí)到這個(gè)傳說(shuō)破綻太大，數(shù)學(xué)家們又把幽默指向了另一個(gè)方向：出生于波蘭的數(shù)學(xué)家歐德里茲科提出了一個(gè)完全相反的說(shuō)法，那就是：誰(shuí)要是否證了黎曼猜測(cè)，他就會(huì)立即死去!歐德里茲科甚至開(kāi)玩笑說(shuō)其實(shí)黎曼猜測(cè)已經(jīng)被否證了，只不過(guò)那個(gè)否證了黎曼猜測(cè)的倒霉蛋沒(méi)來(lái)得及發(fā)表文章就死去了。當(dāng)然，這

10、些都只能作為飯后茶余的談資而不宜較真。不過(guò)，一個(gè)極度艱深的東西對(duì)投入得過(guò)深的人產(chǎn)生安康方面的影響，倒是不無(wú)可能的。數(shù)學(xué)界也確實(shí)有人猜測(cè)，黎曼猜測(cè)的極度艱深有可能對(duì)個(gè)別數(shù)學(xué)家的安康產(chǎn)生過(guò)影響。比方流行傳記?美麗心靈?的主角、美國(guó)數(shù)學(xué)家納什曾在二十世紀(jì)五十年代后期研究過(guò)黎曼猜測(cè)，在那之后不久就患上了精神分裂癥。納什患病的原因一般認(rèn)為是參與軍方工作所引致的心理壓力，但也有人認(rèn)為他貿(mào)然去啃黎曼猜測(cè)那樣的堅(jiān)果，對(duì)他的病癥開(kāi)展有可能起到過(guò)推波助瀾的作用。要練說(shuō)，得練聽(tīng)。聽(tīng)是說(shuō)的前提，聽(tīng)得準(zhǔn)確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級(jí)程度的語(yǔ)言。我在教學(xué)中，注意聽(tīng)說(shuō)結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽(tīng)的才能，課堂上，我特別重視老

11、師的語(yǔ)言，我對(duì)幼兒說(shuō)話(huà)，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚(yáng)有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專(zhuān)心聽(tīng)別人發(fā)言時(shí)，就隨時(shí)表?yè)P(yáng)那些靜聽(tīng)的幼兒，或是讓他重復(fù)別人說(shuō)過(guò)的內(nèi)容，抓住教育時(shí)機(jī)，要求他們專(zhuān)心聽(tīng)，用心記。平時(shí)我還通過(guò)各種興趣活動(dòng)，培養(yǎng)幼兒邊聽(tīng)邊記，邊聽(tīng)邊想，邊聽(tīng)邊說(shuō)的才能，如聽(tīng)詞對(duì)詞，聽(tīng)詞句說(shuō)意思，聽(tīng)句子辯正誤，聽(tīng)故事講述故事，聽(tīng)謎語(yǔ)猜謎底，聽(tīng)智力故事，動(dòng)腦筋，出主意，聽(tīng)兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學(xué)得生動(dòng)活潑，輕松愉快，既訓(xùn)練了聽(tīng)的才能，強(qiáng)化了記憶，又開(kāi)展了思維，為說(shuō)打下了根底。黎曼猜測(cè)可以說(shuō)是當(dāng)今數(shù)學(xué)界最重要、并且是數(shù)學(xué)家們最期待解決的數(shù)學(xué)猜測(cè)。美國(guó)數(shù)學(xué)家蒙哥馬利曾經(jīng)表

12、示，假如有魔鬼容許讓數(shù)學(xué)家們用自己的靈魂來(lái)?yè)Q取一個(gè)數(shù)學(xué)命題的證明，多數(shù)數(shù)學(xué)家想要換取的將會(huì)是黎曼猜測(cè)的證明。要練說(shuō)，先練膽。說(shuō)話(huà)膽小是幼兒語(yǔ)言開(kāi)展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說(shuō)話(huà)時(shí)顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽(tīng)；有的低頭不語(yǔ)，扯衣服，扭身子?？傊?，說(shuō)話(huà)時(shí)外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個(gè)關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語(yǔ)言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒講話(huà)時(shí)，我總是笑臉相迎，聲音親切，動(dòng)作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動(dòng)的、無(wú)拘無(wú)束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當(dāng)眾說(shuō)話(huà)的習(xí)慣?；蛟谡n堂教學(xué)中，改變過(guò)去老師講學(xué)生聽(tīng)的傳統(tǒng)的教學(xué)形式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采取自由討論和

13、談話(huà)的形式，給每個(gè)幼兒較多的當(dāng)眾說(shuō)話(huà)的時(shí)機(jī)，培養(yǎng)幼兒愛(ài)說(shuō)話(huà)敢說(shuō)話(huà)的興趣，對(duì)一些說(shuō)話(huà)有困難的幼兒，我總是認(rèn)真地耐心地聽(tīng)，熱情地幫助和鼓勵(lì)他把話(huà)說(shuō)完、說(shuō)好，增強(qiáng)其說(shuō)話(huà)的勇氣和把話(huà)說(shuō)好的信心。三是要提明確的說(shuō)話(huà)要求，在說(shuō)話(huà)訓(xùn)練中不斷進(jìn)步，我要求每個(gè)幼兒在說(shuō)話(huà)時(shí)要儀態(tài)大方，口齒清楚，聲音響亮，學(xué)會(huì)用眼神。對(duì)說(shuō)得好的幼兒，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表?yè)P(yáng)，并要其他幼兒模擬。長(zhǎng)期堅(jiān)持，不斷訓(xùn)練，幼兒說(shuō)話(huà)膽量也在不斷進(jìn)步。在探究黎曼猜測(cè)的過(guò)程中，很多數(shù)學(xué)家曾經(jīng)滿(mǎn)懷信心，漸漸地卻被它的艱深所震動(dòng)，態(tài)度轉(zhuǎn)為了悲觀(guān)。我們前面提到過(guò)的李特伍德就是一個(gè)例子，當(dāng)他還是學(xué)生的時(shí)候，他的導(dǎo)師就隨手把黎曼函數(shù)寫(xiě)給了他，

14、讓他利用暑假時(shí)間研究它的零點(diǎn)位置。初出茅廬的李特伍德也不當(dāng)回事地領(lǐng)命而去。后來(lái)他與哈代倒也果真在這方面做出了成果。但漸漸地，他的態(tài)度發(fā)生了變化，甚至表示：“假設(shè)我們可以堅(jiān)決地相信這個(gè)猜測(cè)是錯(cuò)誤的，日子會(huì)過(guò)得更舒適些。要練說(shuō)，得練聽(tīng)。聽(tīng)是說(shuō)的前提，聽(tīng)得準(zhǔn)確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級(jí)程度的語(yǔ)言。我在教學(xué)中，注意聽(tīng)說(shuō)結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽(tīng)的才能，課堂上，我特別重視老師的語(yǔ)言，我對(duì)幼兒說(shuō)話(huà)，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚(yáng)有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專(zhuān)心聽(tīng)別人發(fā)言時(shí)，就隨時(shí)表?yè)P(yáng)那些靜聽(tīng)的幼兒，或是讓他重復(fù)別人說(shuō)過(guò)的內(nèi)容，抓住教育時(shí)機(jī)，要求他們專(zhuān)心聽(tīng)，用心記。平時(shí)我還通過(guò)各種興趣活動(dòng)，培養(yǎng)幼兒邊聽(tīng)邊記，邊聽(tīng)邊想，邊聽(tīng)邊說(shuō)的才能，如聽(tīng)詞對(duì)詞，聽(tīng)詞句說(shuō)意思，聽(tīng)句子辯正誤，聽(tīng)故事講述故事，聽(tīng)謎語(yǔ)猜謎底，聽(tīng)智力故事，動(dòng)腦筋，出主意，聽(tīng)兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學(xué)得生動(dòng)活潑，輕松愉快，既訓(xùn)練了聽(tīng)的才能，強(qiáng)化了記憶，又開(kāi)展了思維，為說(shuō)打下了根底。曾經(jīng)在“山寨版黎曼猜測(cè)研究上做出過(guò)成果的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋伊也有過(guò)類(lèi)似的態(tài)度轉(zhuǎn)變。當(dāng)他在“山寨版黎曼猜測(cè)研究上做出成果時(shí)，曾像一些其別人一樣對(duì)解決黎曼猜測(cè)燃起了信心，表示假如自己證明了黎曼猜測(cè)，會(huì)成心推延到猜測(cè)提出100周年即195