應(yīng)力和應(yīng)變的度量

1、第3部分應(yīng)力和應(yīng)變的度量應(yīng)力應(yīng)力:正應(yīng)力：剖面的法向剪應(yīng)力：剖面的切向某點(diǎn)P的正應(yīng)力和剪應(yīng)力值取決于：P點(diǎn)在剖面上的位置剖面的方向P點(diǎn)的應(yīng)力可以用應(yīng)力張量S描述xyzzyxyxzzxyxyzxxzzyy正應(yīng)力：xx = x yy = y zz = z剪應(yīng)力： xy = yx xz = zx yz = zy面的法向和正應(yīng)力矢量有同樣的方向同一點(diǎn)兩個(gè)正交方向上的剪應(yīng)力相等應(yīng)力應(yīng)力張量S用3個(gè)正交方向上的6個(gè)獨(dú)力應(yīng)力分量可以完全描述應(yīng)力狀態(tài) X xy xz S = xy y yz xz yz z 應(yīng)力張量是對稱的應(yīng)力例：平面應(yīng)力膜平面上的應(yīng)力行為荷載只作用在平面上與其它兩個(gè)方向相比，膜厚度方向的尺寸

2、要小的多Z向沒有應(yīng)力：xz = yz = z = 0 xxy S = xyy 應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（平面應(yīng)力）： = (x+ y) + (x- y)cos2 + xysin2 = (x+ y) - (x- y)cos2 - xysin2 = - (x- y)sin2 + xycos2 xy應(yīng)力不變量的轉(zhuǎn)換（平面應(yīng)力）：x+ y = + = 1+ 2 正應(yīng)力之和x2 + 2xy2 + y2 = 2 + 22 + 2 = 12+ 22特殊情形：靜水壓力 x= y = = 所有方向的正應(yīng)力相等 xy = = 0 剪應(yīng)力為零應(yīng)力主應(yīng)力（平面應(yīng)力）：=當(dāng)前條件下最大的正應(yīng)力： d/d = 0 and d/d =

3、 0 從而得到： - (x- y)sin2 + 2xycos2 = 0 2xy = tan 2* = tan 2(* + /2) = x- y *、(* + /2)是兩個(gè)正交的方向，稱為主方向。應(yīng)力三角變換： 1 x- y cos2* = = 1 + tan22* (x- y )2 + 4xy2 tan2* 2xy sin2* = = 1 + tan22* (x- y )2 + 4xy2 主應(yīng)力1 、 2 ： 1 2 1,2 = (x+ y) (x- y )2 + 4xy2 (*) = (* + /2) = 0 沒有剪應(yīng)力 應(yīng)力主剪應(yīng)力（平面應(yīng)力）：=當(dāng)前條件下的最大剪應(yīng)力值： d/d = 0

4、 從而得到： - (x- y)cos2 - 2xysin2 = 0 x- y = tan2* = tan2(* + /2) = - 2xy 應(yīng)力因?yàn)椋?tan2* = - 1 / tan2* 2* 和 2*是相互正交的，從而可知最大剪應(yīng)力方向* 與最大正應(yīng)力方向*成45主剪應(yīng)力max : max = (x- y )2 + 4xy2 或 max = (1- 2)將*代入和得到非零的正應(yīng)力M : M(*) = (x + y) = (1 + 2) 應(yīng)力等效應(yīng)力V :考慮任意的三維應(yīng)力情況從拉伸試驗(yàn)得到了一維的應(yīng)力試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用等效應(yīng)力，作為三維應(yīng)力行為與拉伸試驗(yàn)下一維應(yīng)力行為的比較對象發(fā)展了不同的強(qiáng)度

5、準(zhǔn)則應(yīng)力等效應(yīng)力V : 正應(yīng)力準(zhǔn)則:假設(shè)：最大正應(yīng)力表征材料荷載 V = 1 用途：脆性材料應(yīng)力等效應(yīng)力V : 剪應(yīng)力準(zhǔn)則: (1864，H.Tresca) 假定：最大剪應(yīng)力表征材料承載 平面應(yīng)力：Max = (1 - 2 ) = V = 1 - 2 V = ( x - y)2 + 4 xy2 應(yīng)力等效應(yīng)力V : von Mises應(yīng)力準(zhǔn)則:(Huber (1872-1950), v. Mises (1883-1953)以及Hencky (1885-1951) 假定：能量表征材料承載，此能量包括形狀變化，而不包括體積變化 平面應(yīng)力： V = 12 + 22 - 12 = x2 + y2 - x

6、y + 3 xy2 用途：延性材料Stress Measures空間變形：正應(yīng)變：x = u/x , y = v/y , z = w/z剪應(yīng)變：xy = u/y + v/x , xz = u/z + w/x , yz = v/z + w/y應(yīng)變張量V：對稱性 x xy xz V = xy y yz xz yz z 應(yīng)變 平面應(yīng)變：dxdyuu+(u/x)dxvv+(v/y)dyv+(v/x)dx(v/x)dxu+(u/y)dx(u/y)dyxyPPQQRRSS/2-xy假定：小變形情況正應(yīng)變：x = u/x , y = v/y 剪切變形（角度扭轉(zhuǎn)）： = u/y , = v/x xy = +

7、= u/y + v/x應(yīng)變張量 x xy V = xy y應(yīng)變坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（平面應(yīng)變）： = (x+ y) + (x- y)cos2 + xysin2 = (x+ y) - (x- y)cos2 - xysin2 = - (x- y)sin2 + xycos2 - x軸到軸的轉(zhuǎn)角xy應(yīng)變主應(yīng)變（平面應(yīng)變） =當(dāng)前條件下的最大正應(yīng)變值： d/d = 0 and d/d = 0 從而得到： - (x- y)sin2* + xycos2* = 0 xy = tan 2* = tan 2(* + /2) = x - y *和( * + /2 )是兩個(gè)正交的方向應(yīng)變主應(yīng)變（平面應(yīng)變）1和 2 1,2 = (x+ y) (x- y )2 + xy2 (*) = (* + /2) = 0 沒有剪應(yīng)變最大剪應(yīng)