典籍里的數(shù)學(xué)

1、典籍里的數(shù)學(xué)南通市天星湖中學(xué) 周曉琳九章算術(shù) 九章算術(shù)是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著。是算經(jīng)十書中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右。其作者已不可考。 一般認(rèn)為它是經(jīng)歷代各家的增補修訂，而逐漸成為現(xiàn)今定本的，西漢的張蒼、耿壽昌曾經(jīng)做過增補和整理，其時大體已成本。最后成書最遲在東漢前期，現(xiàn)今流傳的大多是在三國時期魏元帝景元四年(263年)，劉徽為九章所作的注本。 九章算術(shù)內(nèi)容十分豐富，全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就。 同時，九章算術(shù)在數(shù)學(xué)上還有其獨到的成就，不僅最早提到分?jǐn)?shù)問題，也首先記錄了盈不足等問題，方程章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運算法則。 它是一本綜合性的歷史

2、著作，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系。 九章算術(shù)的內(nèi)容十分豐富，全書采用問題集的形式，收有246個與生產(chǎn)、生活實踐有聯(lián)系的應(yīng)用問題。 （1）其中每道題有問(題目)、答(答案)、術(shù)(解題的步驟，但沒有證明)，有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù)。 （2）這些問題依照性質(zhì)和解法分別隸屬于方田、粟米、衰(音cui)分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股。原作有插圖，今傳本已只剩下正文了。第一章方田: 主要講述了平面幾何圖形面積的計算方法。 包括長方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環(huán)這八種圖形面積的計算方法。 另外還系統(tǒng)地講述了

3、分?jǐn)?shù)的四則運算法則，以及求分子分母最大公約數(shù)等方法。 我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典九章算術(shù)在第一章“方田”章中寫到“半周半徑相乘得積步”，也就是我們現(xiàn)在所熟悉的這個公式。為了證明這個公式，我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年撰寫九章算術(shù)注，在這一公式后面寫了一篇1800余字的注記，這篇注記就是數(shù)學(xué)史上著名的“割圓術(shù)”。 在劉徽看來，既然用周三徑一計算出來的圓周長實際上是圓內(nèi)接正六邊形的周長，與圓周長相差很多;那么我們可以在圓內(nèi)接正六邊形把圓周等分為六條弧的基礎(chǔ)上，再繼續(xù)等分，把每段弧再分割為二，做出一個圓內(nèi)接正十二邊形，這個正十二邊形的周長不就要比正六邊形的周長更接近圓周了嗎?如果把圓周再繼續(xù)分割，做成一

4、個圓內(nèi)接正二十四邊形，那么這個正二十四邊形的周長必然又比正十二邊形的周長更接近圓周。這就表明，越是把圓周分割得細(xì)，誤差就越少，其內(nèi)接正多邊形的周長就越是接近圓周。如此不斷地分割下去，一直到圓周無法再分割為止，也就是到了圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限多的時候，它的周長就與圓周合體而完全一致了。 劉徽在九章算術(shù)注的自序中表明，把探究數(shù)學(xué)的根源，作為自己從事數(shù)學(xué)研究的最高任務(wù)。 他注九章算術(shù)的宗旨就是析理以辭，解體用圖。析理就是當(dāng)時學(xué)者們互相辯難的代名詞。劉徽通過析數(shù)學(xué)之理，建立了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系。 眾所周知，古希臘數(shù)學(xué)取得了非常高的成就，建立了嚴(yán)密的演繹體系。然而，劉徽的 割圓術(shù)卻在人類歷史上首次

5、將極限和無窮小分割引入數(shù)學(xué)證明，成為人類文明史中不朽的篇章。 第二章粟米:谷物糧食的按比例折換;提出比例算法，稱為今有術(shù);衰分章提出比例分配法則，稱為衰分術(shù); 第三章衰分:比例分配問題。 第六章均輸:合理攤派賦稅;用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論。西方直到15世紀(jì)末以后才形成類似的全套方法。第四章少廣:已知面積、體積，反求其一邊長和徑長等;介紹了開平方、開立方的方法。 第五章商功:土石工程、體積計算;除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法。 還提到城、垣、堤、溝、塹、渠，因其功用不同因而名稱

6、各異，其實質(zhì)都是正截面為等腰梯形的直棱柱，他們的體積計算方法:術(shù)曰:并上、下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺。這里上、下廣指橫截面的上、下底(a，b)高或深(h)，袤是指城垣的長(l)。因此城、垣的體積計算術(shù)公式V=1/2(a+b)h. 我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，將底面是直角三角形的直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹堵”。如圖，三棱柱ABC-A1B1C1 為一個 塹堵” ，底面ABC是以AB為斜邊的直角三角形，且AB=5，AC=3，點P在棱BB1上，且PCPC1,當(dāng)APC1的面積取最小值時，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為 第七章盈不足:即雙設(shè)法問題;提出了盈不足、盈適

7、足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，以及若干可以通過兩次假設(shè)化為盈不足問題的一般問題的解法。 盈不足術(shù)是中國數(shù)學(xué)史上解應(yīng)用問題的一種別開生面的創(chuàng)造，它在我國古代算法中占有相當(dāng)重要的地位。盈不足術(shù)還經(jīng)過絲綢之路西傳中亞阿拉伯國家，受到特別重視，被稱為契丹算法，后來又傳入歐洲，中世紀(jì)時期雙設(shè)法曾長期統(tǒng)治了他們的數(shù)學(xué)王國。 我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中盈不足有如下“兩鼠穿墻”問題:今有垣厚五尺，兩鼠對穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。問幾何日相逢?各穿幾何? 意思是：有兩只老鼠同時從墻的兩邊相對著打洞穿墻。大老鼠第一天打進(jìn)1尺，以后每天進(jìn)度是前一天的2倍。小老鼠第一天也打

8、進(jìn)1尺，以后每天的進(jìn)度是前一天的一半。如果墻的厚度為10尺，則兩鼠穿透此墻至少在第（）天。A.3天 B.4天 C.5天 D.6天 第八章方程:一次方程組問題;采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組，相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣;解線性方程組時使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。 這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方，直到17世紀(jì)才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。 這一章還引進(jìn)和使用了負(fù)數(shù)，并提出了正負(fù)術(shù)-正負(fù)數(shù)的加減法則，與現(xiàn)今代數(shù)中法則完全相同;解線性方程組時實際還施行了正負(fù)數(shù)的乘除法。這是世界數(shù)學(xué)史上一項重大的成就，第一次突破了正數(shù)的范圍，擴(kuò)展了數(shù)系。外國則到7世紀(jì)印度的婆羅摩及多才認(rèn)識負(fù)

9、數(shù)。 第九章勾股:利用勾股定理求解的各種問題。其中的絕大多數(shù)內(nèi)容是與當(dāng)時的社會生活密切相關(guān)的。提出了勾股數(shù)問題的通解公式:若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦，則，mn。 在西方，畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得等僅得到了這個公式的幾種特殊情況，直到3世紀(jì)的丟番圖才取得相近的結(jié)果，這已比九章算術(shù)晚約3個世紀(jì)了。 勾股章還有些內(nèi)容，在西方卻還是近代的事。例如勾股章最后一題給出的一組公式，在國外到19世紀(jì)末才由美國的數(shù)論學(xué)家迪克森得出。舉例勾股:今有勾三尺，股四尺，問為弦?guī)缀?答曰:五尺。周髀算經(jīng) “周髀”兩字的意義，可在書中找到答案。卷上有榮方和陳子的問答。 榮問：“周髀者何？”陳子答：“古時天子治周，此數(shù)望之從周，故曰周髀，髀者表也”。 “髀”的原義是股或股骨，這里說的是用來測量日影的八尺的表（有刻度的木桿），“周”是周代。 這本書是周代傳下來的測天的理論和方法，故曰周脾(英國李約瑟認(rèn)為“周”是“周天”)。 周髀算經(jīng)中最著名的是提出了“勾股定理”。 書