數(shù)字圖像處理6圖象重建

1、主要內(nèi)容： 1.圖像(t xin)退化模型 2.圖像復(fù)原方法 無(wú)約束復(fù)原 有約束最小二乘復(fù)原 逆濾波恢復(fù)法 運(yùn)動(dòng)圖像復(fù)原 維納濾波復(fù)原方法 第五章 圖象(t xin)復(fù)原與重建* 2022/7/251第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)3.圖象重建(zhn jin)的基本概念4.圖象重建方法 解聯(lián)立方程組方法傅立葉變換法濾波-逆投影法5.典型應(yīng)用 2022/7/252第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)5.1 圖像退化(tuhu)模型 一.圖像退化1.圖像退化 圖像在形成、傳輸和記錄過(guò)程中，由于成像系統(tǒng)、傳輸介質(zhì)和設(shè)備的不完善，使圖像的質(zhì)量變壞，這一過(guò)程稱為圖像的退化。2.圖像復(fù)原

2、圖像的復(fù)原就是要盡可能恢復(fù)(huf)退化圖像的本來(lái)面目，它是沿圖像降質(zhì)的逆向過(guò)程進(jìn)行。 2022/7/253第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè) 典型的圖像復(fù)原是根據(jù)圖像退化的先驗(yàn)知識(shí)建立一個(gè)退化模型，以此模型為基礎(chǔ)，采用各種逆退化處理方法進(jìn)行恢復(fù)(huf)，使圖像質(zhì)量得到改善?？梢姡瑘D像復(fù)原主要取決于對(duì)圖像退化過(guò)程的先驗(yàn)知識(shí)所掌握的精確程度。3.圖像復(fù)原的一般過(guò)程：確定退化(tuhu)原因建立退化模型反向推演恢復(fù)圖像2022/7/254第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)4.圖像復(fù)原評(píng)價(jià)準(zhǔn)則: 最小均方準(zhǔn)則 加權(quán)均方準(zhǔn)則 最大熵準(zhǔn)則 評(píng)價(jià)準(zhǔn)則是用來(lái)規(guī)定(gudng)復(fù)原后的圖像與原圖像相比較的質(zhì)量標(biāo)

3、準(zhǔn)。 2022/7/255第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)5.圖像復(fù)原與圖像增強(qiáng)目的都是為了改善圖像的質(zhì)量。圖像增強(qiáng)不考慮圖像是如何退化的，只通過(guò)試 探各種技術(shù)來(lái)增強(qiáng)圖像的視覺效果。圖像復(fù)原則需知道圖像退化的機(jī)制和過(guò)程的先驗(yàn)知識(shí)(zh shi)，據(jù)此找出一種相應(yīng)的逆過(guò)程方法，從而得到復(fù)原的圖像。如果圖像已退化，應(yīng)先作復(fù)原處理，再作增強(qiáng)處理。 2022/7/256第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)二.圖像(t xin)退化的數(shù)學(xué)模型 g(x,y)=Tf(x,y)成像系統(tǒng)：輸入-f(x,y),輸出-g(x,y)，成像系統(tǒng)的作用(zuyng)-T退化圖像為：線性位移

4、不變成像系統(tǒng)線性：Tk1f1 (x,y)+k2 (x,y)=k1 Tf1 (x,y)+ k2Tf2 (x,y)若:g(x,y)=Tf(x,y),則對(duì)任一個(gè)f(x,y)和常數(shù)a,b,均有：Tf(x-a , y-b )=g(x-a , y-b )即運(yùn)算結(jié)果僅取決于輸入值，而與位置無(wú)關(guān)空間位移不變：2022/7/257第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)二.圖像(t xin)退化的數(shù)學(xué)模型 1.線性位移(wiy)不變成像系統(tǒng)圖像退化模型 g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y) g(x,y)退化圖像f(x,y)-理想圖像h(x,y)-點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)n(x,y)-加性噪聲Hf(x,y)g(x,y

5、)n(x,y)降質(zhì)系統(tǒng)2022/7/258第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)典型(dinxng)的降質(zhì)原因(1). 光學(xué)(gungxu)衍射降質(zhì)的H(u,v)其中，l為所考慮光的波長(zhǎng)，Do為光曈的直徑，Di為出射光曈到影像平面的距離。 這是由于相機(jī)聚焦不準(zhǔn)確引起的，雖然不聚焦由許多參數(shù)決定，如相機(jī)的焦距、相機(jī)孔的大小、形狀、物體和相機(jī)之間的距離等，但在研究中為了簡(jiǎn)單起見，我們用下列函數(shù)表示聚焦不準(zhǔn)引起的模糊。共六十二頁(yè)通常模糊算子相當(dāng)于一個(gè)(y )低通濾波器，因此當(dāng)模糊算子作用于原始圖像時(shí)，會(huì)引起圖像中邊緣和輪廓的模糊。77均勻二維模糊算子作用于圖像Camera的結(jié)果如下圖所示：原始(yunsh

6、)圖像 77均勻二維模糊算子作用后的結(jié)果 2022/7/2510第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)(2). 相機(jī)(xingj)與景物相對(duì)運(yùn)動(dòng)的降質(zhì)設(shè)T為曝光時(shí)間，a(t)和b(t)分別為對(duì)象曝光期間在 x 和 y 方向位移(wiy)的分量通常在拍攝過(guò)程中，相機(jī)或物體移動(dòng)造成的運(yùn)動(dòng)模糊可以用一維均勻鄰域像素灰度的平均值來(lái)表示 。共六十二頁(yè)(3). 大汽湍流(tunli)造成的圖像降質(zhì)這種模糊經(jīng)常出現(xiàn)在遙感和航空攝影中，由于曝光(bo gung)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)引起的模糊可用高斯點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)來(lái)表示： 式中K是一個(gè)歸一化常數(shù)，保證模糊的大小為單位值，2可以決定模糊的程度。2022/7/2512第五章 圖像復(fù)原與

7、重建共六十二頁(yè)2.線性位移不變系統(tǒng)離散化的退化模型(mxng) 若對(duì)圖像f(x,y)和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(x,y)均勻采樣就可以得到離散的退化模型。假設(shè)數(shù)字圖像f(x,y)和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(x,y)的大小分別為AB 、CD，可先對(duì)它們作大小為MN的周期延拓圖像，其方法是添加零。即：2022/7/2513第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)把周期延拓的fe(x,y)和he(x,y)作為(zuwi)二維周期函數(shù)來(lái)處理，即在x和y方向上，周期分別為M和N，則由此得到離散的退化模型為兩函數(shù)的卷積：加上一個(gè)(y )延拓為MN的離散噪聲項(xiàng)，則：式中x=0,1,2,M-1，y=0,1,2,N-1。函數(shù)

8、ge(x,y)為周期函數(shù)，其周期與fe(x,y)和he(x,y)的周期一樣。2022/7/2514第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)為便于討論(toln)和求解，用堆疊方式將二維信號(hào)表為一維向量，即：將f、g和n皆相應(yīng)各行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度堆疊成MN維向量，則退化模型可被表示為向量矩陣形式：g=Hf+n f =fe(0,0)fe(0,1) fe(0,N-1) fe(1,N-1)fe(1,0)fe(1,1)fe(M-1,N-1)fe(i,N-1)g =ge(0,0)ge(0,1) ge(0,N-1) ge(1,N-1)ge(1,0)ge(1,1)ge(M-1,N-1)ge(i,N-1)MN行MN行從

9、而(cng r)使 g=Hf共六十二頁(yè)則 H 為 MNMN 階的分塊矩陣(j zhn)，這一矩陣為MM分塊循環(huán)陣。H 的任意元素Hj是由h(x,y)第j行循環(huán)構(gòu)成，且Hj為NN 循環(huán)陣。MM個(gè)分塊其子塊：NN 維共六十二頁(yè)因此， H 為分塊循環(huán)矩陣，分塊 Hj 中元素(yun s)的第二個(gè)下標(biāo)也是按循環(huán)方式變化的。于是(ysh)，二維離散的降質(zhì)模型化為：解決降質(zhì)的問(wèn)題化為求解線性方程組的問(wèn)題?？梢杂镁€性代數(shù)和數(shù)值分析的方法進(jìn)行處理。由于h為循環(huán)矩陣，有可能進(jìn)行對(duì)角化處理，簡(jiǎn)化求解。共六十二頁(yè)例：設(shè) 若忽略噪聲，求退化(tuhu)圖像。 解：周期(zhuq)延拓M=4,N=5 2022/7/25

10、18第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)用堆疊(dudi)行列式計(jì)算(j sun)g得到退化圖像。2022/7/2519第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)5.2 圖像復(fù)原方法(fngf)一.代數(shù)復(fù)原方法圖像復(fù)原的目的是在假設(shè)具備有關(guān)g、h和n的某些知識(shí)的情況下，尋求估計(jì)原圖像f的某些方法。本部分討論(toln)在均方誤差最小意義下，原圖像f的最佳估計(jì)， 2022/7/2520第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)1. 無(wú)約束復(fù)原由g=Hf+n式可得退化模型(mxng)中的噪聲項(xiàng)為 n未知，有意義的準(zhǔn)則函數(shù)是尋找一個(gè) 使得在最小二乘意義上近似于f,即要使噪聲(zoshng)項(xiàng)的范數(shù)盡可能小,也就是使 把這一

11、問(wèn)題等效地看作為求準(zhǔn)則函數(shù) 關(guān)于 最小的問(wèn)題 2022/7/2521第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)根據(jù)(gnj)范數(shù)定義：對(duì)向量(xingling)求導(dǎo)的兩個(gè)性質(zhì)：設(shè)a和b為兩個(gè)列向量，A為對(duì)稱矩陣，J 為一標(biāo)量則：(1) 若 J aTb = bTa， 則：(2) 若 J aTA a， 則：因此可將圖像復(fù)原問(wèn)題看作是對(duì) 求下式的最小值：為此通過(guò)J 對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)，并將結(jié)果設(shè)為零而達(dá)到。將上述性質(zhì)用于 對(duì) 求偏導(dǎo)，有下面結(jié)果：共六十二頁(yè)于是(ysh)求出：因此(ync)：向量 性質(zhì) 1 性質(zhì) 1 性質(zhì) 2共六十二頁(yè)若設(shè) MN， 即 H 為方陣(fn zhn)，并設(shè)H1存在，則：-逆濾波(lb)恢

12、復(fù)法 若H為奇異的，無(wú)論H-1或（HTH）-1都不存在。這會(huì)導(dǎo)致恢復(fù)問(wèn)題的病態(tài)性或奇異性。 共六十二頁(yè)2. 有約束最小二乘復(fù)原 為了(wi le)克服恢復(fù)問(wèn)題的病態(tài)性質(zhì)，常需要在恢復(fù)過(guò)程中施加某種約束。這就是有約束復(fù)原。令Q為f的線性算子，有約束最小二乘法復(fù)原問(wèn)題是使形式為 服從約束條件 的最小化問(wèn)題。這可以歸結(jié)為尋找一個(gè) ，使下面準(zhǔn)則函數(shù)最小。 其中，Q是選來(lái)對(duì) 進(jìn)行某種線性運(yùn)算的矩陣，為一常數(shù)(chngsh),叫作拉格朗日系數(shù)。2022/7/2525第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)令： 對(duì) 的導(dǎo)數(shù)(do sh)為零，有 其中=1/。這是求有約束最小二乘復(fù)原圖像(t xin)的通用方程式。

13、解得：2022/7/2526第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)通過(guò)指定不同的Q,可以達(dá)到不同的復(fù)原圖像。下面便利用通用方程式給出幾種具體恢復(fù)方法(fngf)。(1)能量約束恢復(fù)若取線性運(yùn)算 Q =I 則得此解的物理意義是在約束條件為 時(shí)，復(fù)原圖像能量應(yīng)保持不變。 2022/7/2527第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)(2)平滑約束恢復(fù)(huf)把 考慮成x,y的二維函數(shù)，即同時(shí)考慮在x和y兩個(gè)方向上的差分，那么光滑約束取為原圖像的拉普拉斯運(yùn)算。即用卷積形式表示(biosh)如下 2022/7/2528第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)約束條件為使下式為最小。 令Q=C,復(fù)原(f

14、yun)就是在約束條件 下使 為最小。最佳復(fù)原(f yun)解為 2022/7/2529第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)(3)均方誤差最小濾波（維納濾波）將f和n視為隨機(jī)變量，并選擇Q為噪聲與信號(hào)之比其中 和 ，分別(fnbi)為信號(hào)和噪聲的協(xié)方差矩陣。則解為一般把1時(shí)為含參維納濾波，=1時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)維納濾波。2022/7/2530第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)二. 頻率域恢復(fù)方法 1.逆濾波(lb)恢復(fù)法基本原理對(duì)于線性移不變系統(tǒng)而言上式兩邊進(jìn)行(jnxng)傅立葉變換得 式中G(u,v),F(u,v),H(u,v)和N(u,v)分別是g(x,y), f(x

15、,y), h(x,y) 和n(x,y)的二維傅立葉變換。H(u,v)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。從頻率域角度看，它使圖像退化，因而反映了成像系統(tǒng)的性能。 2022/7/2531第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)在無(wú)噪聲(zoshng)的理想情況下，上式可簡(jiǎn)化為 則：1/H(u,v)稱為逆濾波器。對(duì)上式再進(jìn)行傅立葉反變換可得到f(x,y)。但實(shí)際上碰到的問(wèn)題都是有噪聲(zoshng)，因而只能求F(u,v)的估計(jì)值然后再作傅立葉逆變換得 2022/7/2532第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)復(fù)原步驟： (a)對(duì)退化圖像g(x，y)作二維離散傅立葉變換，得到G(u,v)； (b)計(jì)算系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(x，y

16、)的二維傅立葉變換，得到H(u,v)；（通常h（x,y）的尺寸小于g(x,y)的尺寸。為了消除(xioch)混疊效應(yīng)引起的誤差，需要把h(x,y)的尺寸延拓。）（c）按 計(jì)算（d）計(jì)算 的逆傅立葉變換，求得2022/7/2533第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè) 問(wèn)題：若噪聲為零，則采用(ciyng)逆濾波恢復(fù)法能完全再現(xiàn)原圖像。若噪聲存在，而且H（u,v）很小或?yàn)榱銜r(shí)，則噪聲被放大。這意味著退化圖像中小噪聲的干擾在H(u,v)較小時(shí)，會(huì)對(duì)逆濾波恢復(fù)的圖像產(chǎn)生很大的影響，有可能使恢復(fù)的圖像和f(x,y)相差很大，甚至面目全非。改進(jìn)的方法：(a)在H（u,v）=0及其附近，人為地

17、仔細(xì)設(shè)置H-1(u,v)的值，使N(u,v)*H-1(u,v)不會(huì)對(duì)產(chǎn)生太大影響。2022/7/2534第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)下圖給出了H(u,v)、H-1(u,v)同改進(jìn)的濾波特性(txng)HI(u,v)的一維波形，從中可看出與正常的濾波的差別。 (a)圖像退化(tuhu)響應(yīng) (b)逆濾波器響應(yīng) (c)改進(jìn)的逆濾波器響應(yīng) (b)使H(u,v)具有低通濾波性質(zhì)，即使 2022/7/2535第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)2.去除由勻速運(yùn)動(dòng)引起的模糊原理 在獲取圖像過(guò)程中，由于景物和攝像機(jī)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，往往造成圖像的模糊。其中由勻速直線運(yùn)動(dòng)所造成的模糊圖像的恢復(fù)

18、問(wèn)題更具有一般性和普遍意義。因?yàn)樽兯俚?、非直線的運(yùn)動(dòng)在某些條件下可以看成是均勻的、直線運(yùn)動(dòng)的合成結(jié)果。 設(shè)圖像f(x,y)有一個(gè)平面運(yùn)動(dòng)，令x0(t)和y0(t)分別為在x和y方向上運(yùn)動(dòng)的變化分量。t表示運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。記錄(jl)介質(zhì)的總曝光量是在快門打開到關(guān)閉這段時(shí)間的積分。則模糊后的圖像g(x,y)為:2022/7/2536第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)令G(u,v)為模糊圖像(t xin)g(x,y)的傅立葉變換，對(duì)上式兩邊傅立葉變換得 改變上式的積分(jfn)次序，則有： 2022/7/2537第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)由傅立葉變換(binhun)的位移性質(zhì)，可

19、得 ：令：則：G(u,v)=H(u,v)F(u,v)-已知退化(tuhu)模型的傅立葉變換式若x(t)、y(t)的性質(zhì)已知，傳遞函數(shù)可直接由式 求出，因此，f(x,y)可以恢復(fù)出來(lái)。2022/7/2538第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)沿水平方向(fngxing)和垂直方向(fngxing)勻速直線運(yùn)動(dòng)造成的圖像模糊的模型及其恢復(fù)的近似表達(dá)式：（a)由水平方向均勻直線運(yùn)動(dòng)造成的圖像模糊的模型及其恢復(fù)用以下兩式表示： 式中a為總位移量，T為總運(yùn)動(dòng)時(shí)間(shjin)，m是 的整數(shù)部分，L=ka(k為整數(shù))是x的取值范圍， A= 2022/7/2539第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)離散(lsn)式

20、如下： 2022/7/2540第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)(b)由垂直方向均勻直線運(yùn)動(dòng)造成(zo chn)的圖像模糊模型及恢復(fù)用以下兩式表示： 水平勻速運(yùn)動(dòng)(yns yndng)模糊圖像的恢復(fù) 2022/7/2541第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)3.維納濾波復(fù)原方法逆濾波(lb)復(fù)原方法數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單，物理意義明確。然而存在著上面講到的缺點(diǎn)，且難以克服。因此，在逆濾波(lb)理論基礎(chǔ)上，不少人從統(tǒng)計(jì)學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，設(shè)計(jì)一類濾波(lb)器用于圖像復(fù)原，以改善復(fù)原圖像質(zhì)量。復(fù)原思想：Wienner濾波恢復(fù)的思想是在假設(shè)圖像信號(hào)可近似看作平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的前提下，按照使恢復(fù)的圖像與原

21、圖像f(x,y)的均方差最小原則來(lái)恢復(fù)圖像。即2022/7/2542第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)當(dāng)采用線性濾波來(lái)恢復(fù)時(shí)，恢復(fù)問(wèn)題(wnt)就歸結(jié)為找合適的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)hw(x,y)，使上式成立。由Andrews和Hunt推導(dǎo)滿足這一要求的傳遞函數(shù)為： 則有： 這里，H*(u,v)是成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的復(fù)共軛；Hw(u,v)就是維納濾波器的傳遞函數(shù)。Pn（u,v）是噪聲功率譜；Pf（u,v）是輸入(shr)圖像的功率譜。 2022/7/2543第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)復(fù)原過(guò)程步驟：(a)計(jì)算圖像g（x,y）的二維離散傅立葉變換得到 G(u,v)；(b)計(jì)算點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)hw

22、(x,y)的二維離散傅立葉變換。同逆濾波一樣，為了(wi le)避免混疊效應(yīng)引起的誤差，應(yīng)將尺寸延拓；(c)估算圖像的功率譜密度Pf和噪聲的譜密度Pn；(d)由公式 計(jì)算圖像的估計(jì)值 (e)計(jì)算 的逆付氏變換，得到恢復(fù)后的圖像 2022/7/2544第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)方法特點(diǎn)：（a）當(dāng)H（u,v）0或幅值很小時(shí)(xiosh)，分母不為零，不會(huì)造成嚴(yán)重的運(yùn)算誤差；（b）當(dāng)Pn 0時(shí)，維納濾波復(fù)原方法就是前述的逆慮波復(fù)原方法； (c)當(dāng)Pf 0時(shí)， 0，這表示圖像無(wú)有用信息存在，因而不能從完全是噪音的信號(hào)中來(lái)“復(fù)原”有用信息。對(duì)于噪聲功率譜Pn(u,v)，可在圖像上

23、找一塊恒定灰度的區(qū)域，然后測(cè)定區(qū)域灰度圖像的功率譜作為Pn(u,v)。 2022/7/2545第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)一.圖象(t xin)重建的基本概念由物體(wt)截面投影數(shù)據(jù)，重建該截面的圖象圖象重建計(jì)算機(jī)斷層掃描CT(Computerized Tomography)技術(shù)是一種根據(jù)人體截面的投影數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)處理來(lái)重建該器官截面的圖象的技術(shù)圖象重建的歷史英國(guó)科學(xué)家Housfield在六十年代發(fā)明了斷層掃描重建圖象技術(shù)。5.3 圖象重建2022/7/2546第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)圖象投影(tuyng)重建基本原理xytsP(t1)P(t2)t1t2f(

24、x,y)設(shè)f(x,y)是“截面圖象”函數(shù)，xOy是建立在物體上的直角坐標(biāo)系，tOs是建立在掃描裝置上的直角坐標(biāo)系，它們的原點(diǎn)重合，t軸與x軸的夾角為 。兩者的坐標(biāo)變換關(guān)系見左邊公式。在(t,s)坐標(biāo)系中，s方向(fngxing)稱為射線方向(fngxing)，沿射線方向(fngxing)將圖象f(x,y)進(jìn)行積分P(t)=s f(x,y)ds換句話說(shuō)， P(t)為f(x,y)在角位置的平行投影。上式也稱為雷頓變換(Radon,1917年)2022/7/2547第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)為了獲得(hud)P(t)平行線投影數(shù)據(jù)，設(shè)投影射線為x射線，當(dāng)x射線穿過(guò)物體時(shí)，由于物體內(nèi)部組織的吸收

25、、散射、反射等作用，會(huì)使射線強(qiáng)度衰減，射線的衰減規(guī)律可表達(dá)為硬件(yn jin)實(shí)現(xiàn)方法S為射線方向，u(x,y)為射線穿過(guò)物體時(shí)的衰減系數(shù)，它正好反映了物體內(nèi)部的組織性質(zhì)，這樣，u(x,y)表征了物體斷面的圖象f(x,y)的組織信息，Nin是射線入射劑量，Nout是穿過(guò)物體后射線的劑量，他們都可以通過(guò)物理測(cè)量而得到。上式可變換為2022/7/2548第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)如此，投影重建(zhn jin)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了如下兩個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題：1)如何(rh)取Nin,Nout2)如何解方程二.圖象重建方法從歷史演變來(lái)看，通常圖象重建的方法有如下5種1）解聯(lián)立方程組方法2）反投影法3）Fou

26、rier變換法4）卷積-逆濾波法5）逐次逼近法2022/7/2549第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)解聯(lián)立方程(lin l fn chn)組法設(shè)的步進(jìn)長(zhǎng)度為，t的步進(jìn)長(zhǎng)度為t，令P(i,j)=P(i ,jt)，則經(jīng)過(guò)掃描投影(tuyng)后，可得矩陣?yán)龑?duì)圖象1.jpg進(jìn)行Radon變換，然后再反變換，觀察中間數(shù)據(jù)。2022/7/2550第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)2022/7/2551第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)ABCDEF6151291290o60o120o612915912解聯(lián)立方程(lin l fn chn)組得2022/7/2552第五章 圖像復(fù)原與重建(zh

27、n jin)共六十二頁(yè)把以上方法推廣到多像素多掃描線的情況，便可以(ky)得到重建圖象的一般解聯(lián)立方程組方法。傅立葉變換(binhun)法投影切片定理：設(shè)f(x,y)的傅立葉變換為F(u,v)，令u=cos,v=sin, F(,)=F(cos,sin) ，則對(duì)以上公式做進(jìn)一步的推導(dǎo)，可得2022/7/2553第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)令則濾波(lb)-逆投影法2022/7/2554第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)其中(qzhng)稱為圖象重建濾波器，d是一個(gè)足夠(zgu)大的實(shí)數(shù)。三.典型應(yīng)用CT, MRI, B超等2022/7/2555第五章 圖像復(fù)原與重建共六十二頁(yè)

28、四. 三維形狀的復(fù)原 以上所述的計(jì)算機(jī)斷層，是從多個(gè)一維投影數(shù)據(jù)重建二維斷面的方法。為了測(cè)出三維物體的形狀，可以一面一點(diǎn)點(diǎn)地移動(dòng)位置，一面求出多個(gè)垂直于通過(guò)物體中心線的斷面，然后把它們依次連接起來(lái)，也就是根據(jù)一系列二維圖像的位置變化構(gòu)成三維圖像。一旦這樣的物體三維信息被恢復(fù)，就可以求出關(guān)于具有任意傾斜度平面的斷面，或者可以由三維的任意方向來(lái)看物體，從而使對(duì)物體形狀的判讀變得非常容易。使用像計(jì)算機(jī)X線斷層那樣的醫(yī)用圖像，由各種各樣的視點(diǎn)來(lái)觀看人體器官的三維圖像，對(duì)疾病(jbng)的診斷特別重要，為了這一目的的專用裝置也正在開發(fā)中。2022/7/2556第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)從多個(gè)斷面恢復(fù)三維形狀(xngzhun)的方法有：2022/7/2557第五章 圖像復(fù)原與重建(zhn jin)共六十二頁(yè)1. Voxel 法（體素法） 如果把斷面的間隔加密，讓斷面內(nèi)的抽樣間隔和斷面間隔相等，斷面內(nèi)的各像素就可以看成三維空間的小的立方體（voxel）。因此，在多個(gè)斷面圖像(t xin)中，給予相當(dāng)于這個(gè)立方體高度的厚度，把它們?nèi)S地堆積起來(lái)就可以表現(xiàn)物體的三維圖像(t xin)。最近，