數(shù)系的產(chǎn)生與發(fā)展

1、“數(shù)學(xué)文化”課程論文數(shù)系的產(chǎn)生與發(fā)展（03012112 霍曉東）摘要：數(shù)系的產(chǎn)生與發(fā)展是一段曲折而又精彩的歷史，從扳手指，刻木痕到系統(tǒng) 化的數(shù)基，這一發(fā)展歷程中雖然遇到了智力和物質(zhì)上的雙重困難，然而數(shù)的表示 卻逐漸趨于科學(xué)與實(shí)用。Abstract: The development of the number system is a hard but wonderful history. From using fingers to systematized number base, people met with both mental and material difficulties, bu

2、t the way to express numbers became more scientific and practical.關(guān)鍵詞：數(shù)基，簡(jiǎn)單分群數(shù)系，乘法分群數(shù)系Keywords: number base, simple grouping system， multiplication grouping system.一、引言數(shù)的概念和計(jì)數(shù)方法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中可以說(shuō)是大家的共識(shí)，它們?yōu)閿?shù)學(xué)的發(fā)展奠定了必不 可少的基石，同時(shí)使得數(shù)學(xué)得以通過(guò)簡(jiǎn)明扼要的方式廣泛傳播。然而這些現(xiàn)在看來(lái)基本得不 能再基本的概念在其產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程中卻經(jīng)歷了許許多多，對(duì)這一過(guò)程的探索是一件十分繁 瑣同時(shí)也十分有趣的事情

3、。考古學(xué)家提供的證據(jù)表明，人類遠(yuǎn)在50 000年前就采用了某種記數(shù)方法，我們有相當(dāng) 的理由說(shuō)，人類在最原始的時(shí)代就有數(shù)的意識(shí)，至少在為數(shù)不多的一些東西中增加幾個(gè)或從 中取出幾個(gè)時(shí)，能夠辨認(rèn)其多寡?；蛟S最早的計(jì)數(shù)方法是使用簡(jiǎn)單算籌以一一對(duì)應(yīng)的原則來(lái) 進(jìn)行的：扳手指，集攢小石子或小木棍，在土塊或石頭上刻道道，在木頭上刻槽，或在繩上 打結(jié)。當(dāng)需要進(jìn)行更廣泛的記數(shù)時(shí)，就必須將記數(shù)的方法系統(tǒng)化，各種我們現(xiàn)在稱之為數(shù)基的 東西便在不同的地域不同時(shí)間以不同的方式產(chǎn)生。五進(jìn)制即以5為基的數(shù)系，是最初用的很 廣泛的記數(shù)法，德國(guó)農(nóng)民日歷直到1800年還以5為數(shù)基；也有證據(jù)表明，在有史以前12 曾被用作數(shù)基，即采用

4、十二進(jìn)制，例如，1英尺是12英寸，鐘有12個(gè)小時(shí)，一年有12個(gè) 月，一打是12個(gè)，一籮是12打；二十進(jìn)制也曾被廣泛使用，它使人想起人類的赤腳時(shí)代， 法語(yǔ)中用quartevingt（四個(gè)20）代替huitante（80），英國(guó)人也常用score（20）這個(gè)詞；古 代巴比倫人用六十進(jìn)制，即以60為基的數(shù)系，直到現(xiàn)在，當(dāng)以分、秒為單位計(jì)量時(shí)間和角 度時(shí)，仍被使用。除了 口頭說(shuō)的數(shù)以外，手指數(shù)在一個(gè)時(shí)期曾被廣泛使用。手指數(shù)有超脫語(yǔ)言上差異的好 處，但是它和口頭說(shuō)的數(shù)一樣，缺乏持久性，并且不宜用于計(jì)算。前文已經(jīng)說(shuō)過(guò)：早期用記 號(hào)或刻痕作為記數(shù)的方法，這種方法也許就是人類書(shū)寫(xiě)數(shù)的最初嘗試。無(wú)論如何，各種各

5、樣 的書(shū)寫(xiě)數(shù)系，就是為了把數(shù)目永久記錄下來(lái)逐步發(fā)展起來(lái)的。迷自帕奇歐里的摘要c 1494 ） o前兩列表示左手,后商列表示右手-二、分類現(xiàn)在，我們來(lái)談?wù)勗缙跀?shù)系的簡(jiǎn)單分類問(wèn)題。最早發(fā)展的一類數(shù)系可能就是簡(jiǎn)單分群數(shù)系。在這樣的數(shù)系中，選取某個(gè)數(shù)b作為數(shù)基； 并且，采用一些符號(hào)來(lái)代表1，b，b2, b3等。于是，任何數(shù)都可以通過(guò)把這些符號(hào)加法的 相結(jié)合來(lái)表達(dá)，而每一個(gè)符號(hào)常常更重復(fù)需要的次數(shù)。簡(jiǎn)單分群數(shù)系，還在公元前3400年 埃及象形文字中就有了，后來(lái)由此衍生出僧侶體和民用體，但它們不屬于簡(jiǎn)單分群型。早期 巴比倫人通過(guò)用一支硬筆把碑文壓進(jìn)濕的黏土?xí)逯行纬尚ㄐ挝淖?，再將?shū)板曬干，使其堅(jiān) 硬耐久，

6、便于長(zhǎng)期保存。雅典人或黑羅迪人的希臘數(shù)系，是在公元前3世紀(jì)以前發(fā)展起來(lái)的， 它們構(gòu)成一種由數(shù)字名稱的頭一個(gè)字母組成的以10為基的簡(jiǎn)單分群數(shù)系。一個(gè)簡(jiǎn)單的分群數(shù)系演變成乘法分群數(shù)系。在這樣的數(shù)系中，在選定基數(shù)b之后，用一 組符號(hào)表示1，2,，b-1，再用第二組符號(hào)來(lái)表示b，b2, b3,。這兩組符號(hào)用乘法結(jié)合 起來(lái)，表示需要多少個(gè)更高級(jí)的群。傳統(tǒng)的中國(guó)-日本數(shù)系就是以10為基的乘法分群數(shù)系。在一個(gè)字碼數(shù)系中，選定一個(gè)基數(shù)b以后，要采用若干組符號(hào)表示1，2,，b-1； b， 2b，（b-1）b； b2, 2b2,，（b-1）b2等。雖然，在這樣一個(gè)數(shù)系中，要記許多符號(hào)，但 數(shù)的表示很緊湊。所謂愛(ài)奧

7、尼亞人的（即用字母表示）希臘數(shù)系，就是字碼數(shù)系。它可以追 溯到公元前450年左右。這個(gè)數(shù)系以10為基，用了 27個(gè)文字一一24個(gè)希臘字母和表示已 作廢的digamma （迪蓋馬）koppa （考帕）sampi （桑皮）的符號(hào)。那24個(gè)希臘字母在現(xiàn)代 數(shù)學(xué)中仍廣泛使用，比如：a，B, Y等等。此外，埃及僧侶體和民用體用的，科普特人的， 印度婆羅門教的，希伯來(lái)人的，蘇里安人的和早期阿拉伯的數(shù)系也是字碼數(shù)系。后三種數(shù)系 和希臘愛(ài)奧尼亞人的數(shù)系一樣，是用字碼寫(xiě)成的數(shù)系。我們現(xiàn)在所用的數(shù)系就是以10為基的定位數(shù)系。這種數(shù)系，是在選定數(shù)基b之后，采 用一些基本符號(hào)來(lái)表示0, 1, 2,，b-1。因此，在該

8、數(shù)系中有b個(gè)基本符號(hào)，在我們常用 的數(shù)系中通常稱為數(shù)碼。任何整數(shù)N都能夠唯一地寫(xiě)成11=君成+禮1成-1+.+林2+林+30這里，0=axb, i=0, 1，n,于是，在以b為基的數(shù)系中，數(shù)N用下列基本符號(hào)序列來(lái) 表示anan-1“a2aia0在任一給定的數(shù)字中，一個(gè)基本符號(hào)表示基的某一冪的倍數(shù)；其冪指數(shù)決定于基本符號(hào)所在 的位置。困難今天用于初等算數(shù)中的許多計(jì)算模式，例如，進(jìn)行長(zhǎng)乘法和長(zhǎng)除法的那些計(jì)算模式，是 后來(lái)在15世紀(jì)才發(fā)展起來(lái)的。為什么進(jìn)展的如此緩慢呢？通常認(rèn)為有兩個(gè)原因，就是在這 項(xiàng)工作中遇到了智力和物質(zhì)上的困難。智力上的困難并不那么大，只是他們對(duì)當(dāng)時(shí)的算法不很熟悉。很清楚，在一個(gè)

9、簡(jiǎn)單分群 數(shù)系中運(yùn)用加法和減法，只要求能夠數(shù)出各項(xiàng)數(shù)目符號(hào)有多少，然后把他們轉(zhuǎn)化成更高次的 單位就行了;用不著記住數(shù)目的組合。在一個(gè)字碼數(shù)系中，如果記住了足夠的加法和乘法表， 就能像今天那樣運(yùn)算了。法國(guó)數(shù)學(xué)家P 唐內(nèi)里能相當(dāng)熟練的用希臘愛(ài)奧尼亞數(shù)系進(jìn)行乘法 運(yùn)算，甚至得出了結(jié)論：那個(gè)數(shù)系比起我們現(xiàn)在用的數(shù)系來(lái)，在某些地方有它的長(zhǎng)處。物質(zhì)上遇到的困難倒是很現(xiàn)實(shí)的，不能大量而方便的得到某些適用的書(shū)寫(xiě)材料，算術(shù)程 序的發(fā)展就必然會(huì)受到障礙。必須記住:我們常用的機(jī)制紙漿紙的歷史只有一百多年。過(guò)去， 以破布做紙漿的高級(jí)紙是手工做的，因而，既昂貴又難得到，而且即使是這種紙也是直到 12世紀(jì)才傳到歐洲，雖然

10、中國(guó)遠(yuǎn)在1000年前就知道怎么造紙了。四、總結(jié)數(shù)系是人類智慧偉大的結(jié)晶，我們現(xiàn)在所用的以10為基的定位數(shù)系雖然不一定是之前 許許多多數(shù)系的歷史必然發(fā)展，但卻是其邏輯上的自然產(chǎn)物。數(shù)學(xué)正是上科學(xué)數(shù)系的基礎(chǔ)上 才逐漸結(jié)出燦爛的果實(shí)，沒(méi)有數(shù)系，數(shù)學(xué)便無(wú)從談起。數(shù)是數(shù)學(xué)中的基本概念，也是人類文 明的重要組成部分。數(shù)的概念的每一次擴(kuò)充都標(biāo)志著數(shù)學(xué)的巨大飛躍。一個(gè)時(shí)代人們對(duì)于數(shù) 的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用，以及數(shù)系理論的完善程度，反映了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平。今天，我們所應(yīng)用 的數(shù)系，已經(jīng)構(gòu)造的如此完備和縝密，以至于在科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的一切領(lǐng)域中，它都成 為基本的語(yǔ)言和不可或缺的工具。生活在當(dāng)代的我們，一方面應(yīng)感激前人對(duì)數(shù)系的發(fā)展作出 的巨大貢獻(xiàn)，另一方面也應(yīng)努力對(duì)數(shù)系作更加合理的完善和擴(kuò)充，唯有如此，人類文明才能 蓬勃發(fā)展，生生不息！