易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計模型

1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計模型查建飛鄭嫻雅金蘭貞(2006年獲全國二等獎)摘要：目前，易拉罐飲料在市場上的銷量很大，易拉罐的需求也是難以估計的。而資源 是有限的，因此易拉罐的最優(yōu)設(shè)計是非常有必要的。本文著重從形狀和尺寸的角度分析 碳酸飲料的鋁質(zhì)易拉罐，在容積確定的條件下以材料最省為目標建立優(yōu)化模型。首先對雪碧、可口可樂、藍帶啤酒等易拉罐容器進行測量，獲取實測值。針對易拉 罐現(xiàn)有形狀和尺寸等數(shù)據(jù)，進行綜合分析，建立了逐漸改進的三個數(shù)學(xué)模型。模型I:把易拉罐近似地看成一個正圓柱體，在易拉罐的容積一定時，以材料最省 為目標，用求極值的方法求得易拉罐高度h與底面半徑r之間的關(guān)系為h =(a1 +a2

2、， 用實測值進行驗證發(fā)現(xiàn)比較吻合，但還是有一定誤差存在，因此進一步建立模型II進行 分析。模型II:進一步考慮易拉罐的形狀，即罐體上面部分是一個正圓臺，下面部分是一 個正圓柱體時，利用線性規(guī)劃方法求得此時易拉罐的最優(yōu)設(shè)計。通過對模型I中的圓柱 型易拉罐的對比，所得模型與實測值更加吻合。模型III：以材料最省為主要目的，兼顧易拉罐的舒適度進行設(shè)計，建立模型，并給 出具體的設(shè)計方案。最后結(jié)合本模型的建立過程寫對數(shù)學(xué)建模的認識與數(shù)學(xué)建模過程的難點。關(guān)鍵詞：最優(yōu)設(shè)計形狀與尺寸合適度一、問題重述生活中我們發(fā)現(xiàn)飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等銷量很大的飲料易拉罐 的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。這應(yīng)該

3、是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計。當(dāng)然，對于單個的易 拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)計可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾 十億個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。請通過數(shù)學(xué)建模來分析上述情況并回答如下問題：取一個飲料量為355毫升的易拉罐，測量你們認為驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，并把 數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的，請注明出處。設(shè)易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理說明你們 所測量的易拉罐的形狀和尺寸。設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個 正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形 狀和尺

4、寸。圖一（4）利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和 尺寸的最優(yōu)設(shè)計。（5）用你們做本題以及以前學(xué)習(xí)和實踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗，寫一篇短文，闡述什么 是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟，以及難點。二、問題分析要使易拉罐達到最優(yōu)設(shè)計，必須滿足以下條件：（1）保證容量是足夠的。（2）材料要最節(jié)省，使生產(chǎn)者在保證質(zhì)量的情況下，成本能降到最低。（3）能夠保證易拉罐對容器內(nèi)液體和氣體的壓力。（4）易拉罐是大批量生產(chǎn)、運輸?shù)?，要避免運輸過程中瓶罐之間因碰撞造成的損失， 必須穩(wěn)定放置兩個易拉罐，才能保證安全運輸。三、模型假設(shè)（1）研究的對象是容量為355ml的碳酸飲料的易拉罐，如可口可樂

5、、雪碧、藍代啤酒。（2）測量的是無變形、無損壞的易拉罐。（3）測量的是鋁制易拉罐。四、符號定義n易拉罐側(cè)壁的厚度。人：易拉罐上底厚度。1b :易拉罐下底厚度。2Z :所用材料的體積。a 1 :下底厚與側(cè)壁厚的比值。a 2 :上底厚與側(cè)壁厚的比值。d :上底內(nèi)直徑。d2:下底內(nèi)直徑。V :易拉罐的容量，為一固定值。，:易拉罐柱體部分的內(nèi)半徑。S :易拉罐的總面積。h :易拉罐的內(nèi)高度。H :易拉罐的總體高度。七：上底內(nèi)高。a2 :下底內(nèi)高。h 3 :上底內(nèi)高。七：下底拱高。5 :舒適度。圖一五、模型建立與求解問題一1.1測量方法測厚度：把易拉罐切開壓平，n層的易拉罐壁進行疊加，直至總厚度可達m

6、mm,則單個易拉罐 壁厚則為m/n mm，同樣方法對不同品種的易拉罐進行測量，取平均值.測外徑：用一條無彈力的繩子水平繞標準易拉罐的柱體部分一圈，再利用直尺測出繩子的長 度。為減少誤差，用以上相同方法進行多次測量，取得平均值。由c = 2兀Y，得出r。 其余的數(shù)據(jù)全由千分尺測得。近似取值為小數(shù)點后兩位數(shù)。對易拉罐所測得的數(shù)據(jù)見下表一:表一：自己測量得到的易拉罐所需數(shù)據(jù)表（單位:mm）雪碧藍代可樂平均數(shù)罐總高度H122.50122.50122.80122.60上內(nèi)高a15.205.004.805.30下內(nèi)高a25.005.005.105.00上蓋厚b10.300.300.300.30下底厚b20

7、.280.270.300.27側(cè)壁厚b0.120.130.130.13罐身直徑2r60.3060.6060.5060.47上內(nèi)直徑2d157.4057.1057.2057.23下內(nèi)直徑d。250.4053.0050.2051.20上外高h313.8013.6013.5013.63下底拱高h49.909.8010.209.90問題二（模型I）2.1模型假設(shè)：易拉罐的形狀為正圓柱體，如圖二圖二2.2模型分析：把易拉罐近似看成一個正圓柱，要求易拉罐內(nèi)的體積一定時，求能使易拉罐制作所 用的材料最省。2.3模型的建立與求解：易拉罐側(cè)面所用材料的體積：Rh（r + b）2 -nhr2 = 2nrbh +

8、nhb2 ,br 兀hb 2可以忽略所以側(cè)面材料的體積可以近似看作2兀rbh易拉罐上底面所用材料的體積：氣兀r2 b易拉罐下底面所用材料的體積：a兀r2b2Z(r,h)=nbW +a )r2 + 2rh 】代入得:2V+兀 r(a +以)r 2 爵-V r2=2bg +a )tr3 -V )r 212,dz令dr=0，解得臨界點為r=：(-,代入得：+ a M2!(a+a節(jié)J123 V氣+aV)= (x +aV +a 人 1又因為竺dr 2S = 4b 2a +a)+ L r 0r 3所以柴 0所以當(dāng)h = (x1 +% )r時,Z取得最優(yōu)值. 一. . .一 h根據(jù)測量數(shù)據(jù)氣牝2;a2牝2，

9、則氣+a2 = 4，代入公式得-=4圓柱型的易拉罐的尺寸雖然與實測數(shù)據(jù)相對比較吻合，但還是有一定的誤差。通過 觀察發(fā)現(xiàn)實際中易拉罐的上部分有類似圓臺的地方，這是為了減少材料還是其他目的 呢？因此建立模型。問題三(模型II)3.1補充假設(shè)(如圖三)I為圓臺部分的母線長。七表示圓臺部分的高度。h表示圓柱上線高度。251表示圓臺上底的面積。s表示圓柱上底面積。2七表示圓臺的體積。為表示圓柱上線的體積。355- v =355-v 即 v = v。1212圖三3.2模型分析:此問題考慮的是把易拉罐的上部分改成圓臺使得它跟原先的體積一樣，求出h1,h2 使得易拉罐的用材最省。3.3模型的建立與求解：圓臺的

10、表面積為：臺表二屈+兀r )d + h2 + nd 2a b圓柱高h 2的表面積為：s圓柱=2nrhb + nr2a 1 b圓臺表 圓柱其中由模型一可知:化簡得：n(d + rN(r 一 d * + h 2 +a d 2max = na = 2, d = 0. 1 3mm, H = 1 22.6mm)r 27 2rh b)”一2rh2 b(d + r)氣 一 d * + h 2 +a d 2-h (d2 + r2 + d r)+nr2 (H - h )= 3550003 1 112s.t. di+1/2=尸rh10 d rR= 30.36716mm h1=0mm利用LINGO軟件求得 d1=

11、30.36716皿h2 = 0mm材料為 752.8548mm3 (見附錄一)從模型所求結(jié)果可以看出，圓臺的上底半徑只有6.11毫米，這樣一來易拉罐罐口 只有117.283平方毫米，這與我們所測易拉罐的實際尺寸相差比較大。因此我們對所假 設(shè)的模型做如下改進：在實際中圓臺上底半徑與易拉罐中間半徑相差很小約5；圓臺的 高度也是很小約為5。因此模型修正為：max Z = n d + r )G-d * + d2 +a (d 2 r2) 2rh bd 環(huán)3+1/2 =-r ph 4改 d 2 + r2 + d rZ 兀r2 (122.6 - h )= 355000彳 3 ii2hi = 5h1=5.00

12、0000mm 材di = 5d1=5.000000mm r=30.55185mm h2=3.462191mm料為-450.1384(mmL3(見附錄二)由于實際中易拉罐的圓臺與罐底，方便運輸，而問題三中討論的易拉罐上部是圓 臺用料與圓柱的廢料問題，因此，浪費點原料來提高人對易拉罐的舒適度。本文在對問 題四的回答中進一步的闡述這個改進。問題四（模型三）改進后易拉罐模型的母線為:l = h / cos 0改進后易拉罐模型的上底半徑：d= r + h tan 0因此，可求得改進后易拉罐模型的表面積：S 臺側(cè)2cos 0上下底面積之和為:規(guī)定改進后易拉罐模V = 1N3S = Kr 2 +K(r +

13、h tan 0底ii言的容積不變，還是V:r 2 +k r + h tan 0 * +Kr(r + h tan 0 )】h)2 M b1，則圓柱形的表面積:S側(cè)=2兀rhb圓柱上下底的面積:S 廣=Kr2a b + Kr2a b因此，可得原型易拉罐的面積為:s i = 2兀 rhb + Kr2a b + Kr2a b+450改進后易拉罐模型與原型易拉罐的面積的差值:h bS = 1/2(4兀r + 2兀h tan9) + 兀(r + h tan9)2以 b - 2兀rh b 兀r2以 b - 4501cos91121舒適程度的函數(shù)曲線:8= f（9）它的圖象為可以根據(jù)市場調(diào)查的散點圖形式來擬合

14、曲線，如下圖:綜上所述，浪費材料與舒適程度的關(guān)系式為：p = ksp1 ；（k:舒適程度的增加錢 的增值；p 1 :表示每個單位的價格）問題五：淺談數(shù)學(xué)建模在未接觸建模時，就已經(jīng)聽說過它了，但不太了解，直到真正接觸，才發(fā)現(xiàn)原來數(shù) 學(xué)建模就在我們的身邊。早在中學(xué)，甚至是小學(xué)時就已經(jīng)用建立數(shù)學(xué)模型的方法來解決 過一些簡單或理想化的實際問題。例如航行問題、速度問題等。數(shù)學(xué)建模不只是對實際問題建立數(shù)學(xué)模型的過程，它還包括了對實際問題進行的解 釋、求解、驗證并解決的全過程。數(shù)學(xué)建模是運用如同MATLAB、LINGO等數(shù)學(xué)工具來得 到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用各種數(shù)學(xué)方程、表格、圖形等表現(xiàn)模型的思想。它是為解決現(xiàn)實

15、中 存在的特定的對象，特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)有規(guī)律進行必要的簡化假設(shè)，而設(shè)計的 模型。另外，對于同一個客觀事物可以有多種數(shù)學(xué)描述，因此有必要在若干模型中選擇一 個最簡單，最恰當(dāng)，最易于進行數(shù)學(xué)處理的模型。對于模型，可以選擇一個最簡單，最恰當(dāng)，最易于進行數(shù)學(xué)處理的模型。如下圖：實際問題模型暇設(shè)k 模型建立一k模犁求解 應(yīng)用V國與評價模型痂在易拉罐模型中，我們在審題時，結(jié)合實際中普遍飲用的易拉罐，大概了解易拉罐 的構(gòu)造，形狀，并在某些生產(chǎn)產(chǎn)品的公司網(wǎng)站上查閱了一些有關(guān)易拉罐具體尺寸、材料 組成等，以及它的制作工藝、過程?？紤]到罐內(nèi)物質(zhì)對瓶罐的壓力，再查閱了有關(guān)于應(yīng) 力等方面的知識。我們也通過各種

16、方法，測量了易拉罐的直徑、高度、厚度等。其次，建立數(shù)學(xué)模型。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，飲料罐總體上可分為部分：圓臺、圓柱。 當(dāng)然，這不是偶然，必定是某種意義上的最優(yōu)設(shè)計。對模型進行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)與簡化，這是建立模型的關(guān)鍵一步，必須對研究對象進行統(tǒng) 一，即認定都為飲料量為355毫升的易拉罐。為減少誤差，對于測得的數(shù)據(jù)用多次測量 取平均值。根據(jù)題目要求，明確易拉罐要達到最優(yōu)，必須滿足兩個條件：一、材料最省。二、 能夠保證易拉罐的舒服度。在認為易拉罐是一個長方體繞軸心旋轉(zhuǎn)360度的模型時，求極值問題則可利用求導(dǎo) 方法取臨界值。當(dāng)易拉罐是由圓臺和圓柱構(gòu)成時，可與第一個模型進行比較，從節(jié)省材料的角度來 考慮，得出最

17、優(yōu)模型。在模型中，考慮了舒適度，建立此函數(shù)關(guān)系時，需要通過顧客心理來描述圖形，但 是由于沒有充裕的時間，整個模型過于簡略，不夠精確。六、模型改進就問題四而言，本文只是針對易拉罐的形狀和尺寸進行最優(yōu)設(shè)計，并沒有對易拉 罐所用材料進行改進。但是鋁質(zhì)易拉罐的原材料需大量進口，且價格昂貴，加上污染 環(huán)境等因素，國家已不再批準新建鋁質(zhì)易拉罐生產(chǎn)線。因此能否找到一種新型材料用 來代替鋁質(zhì)易拉罐已成為我國關(guān)心的問題。對此，可以在易拉罐取材上進行分析，將 會得到一定的效果的。七、模型評價7.1模型優(yōu)點（1）模型I運用導(dǎo)數(shù)求極值的數(shù)學(xué)方法，計算方便，簡單易懂。（2）通過利用數(shù)學(xué)工具和Lingo編程的方法，嚴格地

18、對模型求解，具有科學(xué)性。（3）建立的模型能與實際緊密聯(lián)系，結(jié)合實際情況對所提出的問題進行求解，使模型 更貼近實際，通用性、推廣性較強。7.2模型的缺陷（1）由于未能查得易拉罐的具體尺寸，只能運用測量工具對易拉罐進行測量，因此所 測得的測量值與實際值之間有一定的誤差，（2）模型只考慮了半徑與高之比，沒有考慮其他，可能有點不全面。八、參考文獻唐煥文賀明峰，數(shù)學(xué)模型引論（第三版），高等教育出版社，2005.3楊啟帆方道元，數(shù)學(xué)建模，浙江大學(xué)出版社，1993.3葉其孝，最優(yōu)化-導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（極值問題）教學(xué)單元， HYPERLINK :8060 :8060上海聯(lián)合制罐有限公司， HYPERLINK /in

19、dex.htm /index.htm附件一model:max=3.14*(d1+r)*(r-d1)八2+d1八2)八(1/2)*0.13+0.26*(d1八2-r八2)-0.26火r*h2);d1/r+1/2=(3火h2/h1-3/4)八1/2;1/3*3.14*(d1八2+r八2+d1*r)*h1+3.14*(122.6-h2)*r八2=355000;h2=122.6;d1=r;endLocal optimal solution found atiteration:406Objective value:752.8548VariableValueReduced CostD130.367160.000000R30.367160.0000