簡單圖形的認(rèn)識解題指導(dǎo)

1、第四章簡單圖形的認(rèn)識解題指導(dǎo)關(guān)于空間圖形例1.以下圖形中（每個小四邊形皆為全等的正方形），可以是一個正方體表面展開圖的是（）.分析此題考查對立體圖形和平面展開圖之間的轉(zhuǎn)換能力與動手操作實(shí)驗(yàn)的能力，解 決此題有兩條思路：其一是，實(shí)際去做一做，看看哪個能圍成正方體；其二是，在頭腦中進(jìn) 行想像，將圖中一個面想像為不動的面，另外幾個面圍繞著它折轉(zhuǎn)，分析出正確的結(jié)果.點(diǎn)評解答此題常錯誤是不做實(shí)驗(yàn)，不認(rèn)真分析，僅憑主觀判斷；或分析粗枝大葉， 馬馬虎虎，必然出錯；或自以為掌握了一定規(guī)律，但不全面或不正確，導(dǎo)致誤選.解答這類 問題是具有規(guī)律的，同學(xué)們可自己總結(jié)，下面提出幾條，供參考：（1）凡是能圍成正方體的應(yīng)

2、具有14條棱，但是具有 14條棱的圖形不一定能圍成正方體.如本例圖（A）僅有12條棱，所以它不能圍成正方體.（2）圖中具有“田”字格的不能圍成正方體，如本例圖 （A）.（3）當(dāng)有四個正方形聯(lián)結(jié)成“一”字時，如果另外兩個正方形在“一”字同側(cè)（如本例圖（B）下方的四個正方形組成“一”字，另外兩個都在它上方），則圖形不能圍成正方體；如果另外兩個正方形分別在“一”字兩側(cè)（如本例圖（C）中間的四個正方形組成“一”字，另外 兩個一上一下），則圖形便能圍成正方體.（4）當(dāng)只有三個正方形聯(lián)結(jié)成“一”字時，如果另外三個中，兩個聯(lián)結(jié)成一組（不能分開），它和單獨(dú)的那一個分別居于“一”字兩側(cè)，只要不出現(xiàn)“田”字格，便

3、可圍成正方體， 否則（如本例圖（D）,另兩個分開了）便不能圍成正方體；如果另外三個也聯(lián)結(jié)在一起，不出 現(xiàn)“田”字格才行.一m（5）如果沒有三個或四個正方形聯(lián)結(jié)成“一”字時，只有圖42可圍成正方體.（注：以上規(guī)律不考慮由于圖形的旋轉(zhuǎn)造成的不同位置）.已 匚拓廣小明準(zhǔn)備制作一個封閉的正方體盒子，他先用5個大小一樣的正方形制成如圖 43所示的拼接圖形，經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個面，請你在圖中的拼接圖 形上再接一個正方形，使得新拼接的圖形經(jīng)過折疊后能成為一個封閉的 正方體盒子.你能想出幾種方案？不妨試一試（注意添加的正方形用陰影表示）.此題著重考察了學(xué)生對立體圖形與平面展開圖形之間的轉(zhuǎn)換能力，解答此題若用實(shí)

4、驗(yàn)操作法可以很快地出多種方案.如以下圖4- 4.例2.如圖45是一個正方體紙盒的展開圖，在其中的四個正方形 標(biāo)有數(shù)字1, 2, 3和3.要在其余正方形分別填上 1, 2,使得 按虛線折成正方體后，相對面上的數(shù)互為相反數(shù)，則 A處應(yīng)填.分析此題突出考查學(xué)生的想像能力和邏輯分析能力，解決問題的思路是在喇4進(jìn)5個面作前面（如標(biāo)有“ 2”的面），實(shí)際（或想像）折疊，從折疊的過程中，判斷一個面應(yīng)與誰相 對.若以標(biāo)有“ 2”的面作前面折疊圖形，看到“ A”與“2”相對，故應(yīng)填“2”.解答-2點(diǎn)評解答此題常出的錯誤是.不進(jìn)行折疊，粗略一想，便匆忙確定與“A”相對的數(shù)字，導(dǎo)致誤填.解答這類問題是有規(guī)律的，下面

5、提出幾條，供參考：（1）當(dāng)有四個正方形聯(lián)結(jié)成“一”字時， “一”字中相隔一個正方形的兩個面相對， 字外的兩個面相對.（2）當(dāng)只有三個正方形聯(lián)結(jié)成“一”字時，如果另外三個中，兩個聯(lián)結(jié)成一組，它和單獨(dú)的那一個分居于“一”字兩側(cè)，那么兩側(cè)與“一”字相連的兩個正方形相對，“一”字中兩端的兩個正方形相對；如果另外三個也聯(lián)結(jié)在一起，則三個中兩端的兩個|一l正方形分別相對，如圖 46中，1與3、4與6相對，剩下的2與5,當(dāng)然中 號也就相對了 .一圖4 6拓廣在正方體的表面上畫有如圖（1）中所示的粗,線圖（2）是其展開圖的示意圖，但只在A面上畫有粗線,那么將圖（1）中剩余兩個面中的粗線畫入圖 法正確的是（如果

6、沒把握，還可以動手試一試噢!（2）中，畫）圖C.此題更靈活的考查學(xué)生對立體圖形與平面展開圖之間的轉(zhuǎn)換能力，并刻意強(qiáng)調(diào)了動手 操作實(shí)驗(yàn)是解決問題的牢靠方法.例3.在正方體 ABCD AB1GD1中，連結(jié)AB、AG BC,則 ABC4伺的形狀是三角形.!.分析此題考查學(xué)生判斷對立體圖形的截面圖形形狀的能力；應(yīng)先想k圖4到三角形的分類，確定從哪個方面解答，再去分析它的邊長或角的大小，確定答案.、解答三角形按邊分，有等邊三角形、等腰三角形和不等邊三角形等三類.這里，AB、AG B1C分別是全等的正方形的對角線，所以此題應(yīng)填“等邊”點(diǎn)評解答此題常犯錯誤是僅憑觀察，直觀看到圖中AC=BCw AB,忽略了立

7、體圖形與實(shí)際幾何體的不同，誤填為“等腰”.這實(shí)際上是一個截面問題.解決這類問題時，首先要觀察圖形，了解圖形的大致形狀，聯(lián)想這種形狀的圖形是怎樣分類的，然后分別在幾何體的表面上分析圖形的各邊長，從而確 定圖形與其類別.圖49拓廣如圖49, E、F分別為正方體的棱 AR BC的中點(diǎn)，判定過 A、 Ci、F、E的截面形狀時，第一步觀察出它是梯形，是等腰梯形還是不等腰梯形呢？第二步就要分析AE和CF的長，易知 AE=CF,由此便知截面是等腰梯形了.例4. 一個正方體，它的每一個面上寫有一個字，組成“數(shù)學(xué)奧林匹克” .有三個同學(xué)從不同的角度看到結(jié)果依 次如圖4 10所示，那么“學(xué)”字對面的字是.分析想像

8、出正方體的六個面，綜合(A)(B)(C)三個圖，進(jìn)行邏輯分析.為了分析起來方便，可列表. 因?yàn)閳D中囚 刑-10 “學(xué)”字所知較少，可分析“數(shù)”和“奧”.解答列表分析如下(表中的字母 表示是根據(jù)那個圖得出的，“X”表示縱、 橫行的字不相對).由上表可知，“數(shù)” 和“匹”、“奧”和“克”相對，所以“學(xué)”數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)A xA xA xCxCx奧AxA xA xBxBx和“林”相對.點(diǎn)評解答此題常犯錯誤其一是，不能根據(jù)已知條件，將確定“學(xué)”字對面字轉(zhuǎn)化為 確定“數(shù)”和“奧”字對面的字；其二是，不能通過列表或其他手段， 詳細(xì)記錄下分析過程, 以至思維混亂，理不出頭緒.把條件分列成表格，可使條件明朗化、

9、系統(tǒng)化，從而能夠綜合 利用條件，進(jìn)行推理，所以列表分析是一種較好的方法.例5 .如圖512是如圖411所示的幾何體的三種視圖，其中是否有錯誤？若有錯俵請指出錯在哪里，并畫出正確的三種視圖.圖 4 11分析此題考查學(xué)生視圖的能力，解答此題的思路是回憶畫三種視圖白祝項(xiàng)理求，對 照觀察給出的三種視圖， 看其是否符合.如果將主視圖看作正確的， 那么俯視圖和左視圖都 有錯誤，它們錯在(分析時，參考圖4-13):(1)俯視圖中，水平箭頭所指的實(shí)線段應(yīng)向移動，直至虛線所指的位置，達(dá)到“長對正”的要求；(2)左視圖有三處錯誤：左視圖沒有與主視圖“平齊”(即兩視圖的高不等)；左視圖的寬與俯視圖的寬不相等；在畫左

10、視圖時，主視圖中的箭頭所指的那條線段是看不見的，左視圖中未畫出虛線.正確的三種視圖如圖 4 14所不點(diǎn)評題目中的視圖共有四處錯誤，有的也可能找出了其中的幾處，但是找不全，這主要是由觀察不仔細(xì)造成的.(1)因?yàn)橹饕晥D反映的是物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯 視圖反映的是物體左右、 前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；左視圖反映的是物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度，所以畫某物體的三種視圖時，一定要注意：主視圖與俯視圖要一樣長； 主視圖與左視圖要一樣高；，俯視圖與左視圖要一樣寬， 即要“長對正、高平齊、寬相等”.(2)在畫視圖時有一個規(guī)定：看得見部分的輪

11、廓線通常畫成實(shí)線，看不見部分的輪廓線 通常畫成虛線.由此可知，畫視圖之前，一定要注意分析實(shí)物，弄清從某個方向上看，是否 有看不見的輪廓線.例6 .如圖415所示，直三棱柱的底面是等邊三角形，在它的上底面上有一個半球形 凹坑請你畫出這個幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖.圖 1 15左 視 田16分析此題主要考查學(xué)生畫簡單組合體的三視圖的能力，解答的思路是審題并觀察幾何體，明確這種較復(fù)雜的幾何體是由哪些幾何體組合而成的、它們是怎樣組合的，視圖的繪制要求畫圖.可以先畫出主視圖，再畫其他兩種視圖.聯(lián)系三種解答如圖4-16 :點(diǎn)評解答此題常出的錯誤是除作不出圖形之外，凡作圖出錯的，大都是不符合“長對正、高

12、平齊、寬相等”的要求，或漏畫看不見的線，或?qū)⒖床灰姷木€畫成實(shí)線.(1)本例中，主視圖和左視圖為何都有虛線？左視圖中的半個虛線圓為何不像主視圖那樣居中？大家一定要明白其中的道理，明白了這一點(diǎn)，才能正確掌握較復(fù)雜的幾何體三種視圖的畫法.(2)畫較復(fù)雜的組合體的視圖，首先要分清它是由哪些基本幾何體組合的？這些基本幾何體的三種視圖分別是什么？然后要明確這些基本幾何體之間有怎樣的上、下、左、右、外等位置關(guān)系？根據(jù)這一關(guān)系， 如何將它們的三種視圖疊合或拼接在一起 ？對于那 些具有外關(guān)系的基本幾何體， 在畫某種視圖時，哪些輪廓線看不見？明確了以上事項(xiàng)， 才能 保證畫出正確的視圖.例7.如圖417,有一棵大樹

13、和一棵小樹，在兩棵樹旁還有 一盞高懸的路燈、燈桿、大樹、小樹的底部在一條直線上.無論是在還是在這盞路燈的照射下，大樹的影長？還是小樹的影子長？試畫圖說明.圖 4-17(1)分析此題主要考查了對平行投影與中心投影特性的理解，與應(yīng)用其特性進(jìn)行畫圖的能力，解答的思路是，依據(jù)平行投影和中心投影的特性畫圖，但是，圖 路燈的具體位置，解答時務(wù)必注意到這一點(diǎn).417 (1)中未畫出解答如圖417(1),在下，設(shè)BE是大樹AB的影長，DF是小樹CD的影長.因?yàn)? AB&4CDF所以兩樹影長與樹高成正比例.因?yàn)榇髽涓撸源髽涞挠白娱L.如果路燈在圖417(2)所示的點(diǎn)Pi處，兩樹影子長相等；如果路燈在點(diǎn) Pi右

14、面的適當(dāng)位置 (如圖417(3)處的B處)，那么大樹的影長較短；如果路燈在點(diǎn) Pi的左面，那么大樹的影 長較長.點(diǎn)評解答此題常出的錯誤是常憑主觀判斷，認(rèn)為大樹高，影子必然長；有的雖然判 斷正確，但是不能正確地畫出圖形予以說明.出示本例的目的，不僅是為了澄清以為“長者影長，短者影短”的習(xí)慣認(rèn)識，而且還要求大家在平行投影與中心投影的比較中，認(rèn)識它們的異同：串打投影像陽光所形 成的投影熠(投射線)互相平:行的物體的高度之比 等于影長之比中心投影像燈光所形 成的投劣光線(投射線) 交于一點(diǎn)兩物體的高度之比身影長之比無一定關(guān)系另外，同一物體在太下的不同時刻，不僅影子的大小在變， 而且影子的方向也在變.一

15、般地，同一物體在燈光下的不同時刻，如果光源與物體的相對位置不變，那么其影子與影子的方向也不變.例8.如圖418(1)表示一幢小樓，圖 418(2)是它的俯視圖.小明、小亮和小勇在 這兒玩踢球游戲，小明、小亮各守一個球門，小勇無論將球踢進(jìn)誰的球門都算勝利.為此， 小勇打算在他們兩人都看不見的區(qū)域運(yùn)球，然后突然出現(xiàn)，以便使守門的措手不與.你能在俯視圖上畫出小明和小亮都看不見的區(qū)域嗎？分析此題考查了對“盲區(qū)”的 理解與應(yīng)用其概念進(jìn)行畫圖，解決實(shí) 際問題的能力.所謂小明和小亮都看 不見的區(qū)域，就是他們兩人盲區(qū)的公 共部分.如圖4 18(3)中的陰影部分即小明和小亮都看不見的區(qū)域.點(diǎn)評如果遮擋體的俯視圖

16、是 多邊形，那么以視點(diǎn)為端點(diǎn)，連結(jié)視 點(diǎn)與多邊形各頂點(diǎn)的射線中，最外側(cè)的兩 條射線所夾的位于遮擋物后面的區(qū)域就是該視點(diǎn)的盲區(qū).如圖4 19中，多邊形ABCDE 是遮擋體的俯視圖，視點(diǎn)為巳射線PAPC位于最外側(cè)， 圖中的陰影區(qū)域即為視點(diǎn) P的盲區(qū).而在 圖4-18(3)中所示的陰影部分，則是兩個盲 區(qū)的公共部分.圖 4 20例9.如圖420,大型太陽能裝置反射面的截線為弧線AB,反射面的直徑 AB與地面的夾角/ C=45 ,點(diǎn)A距地面的高度 AD=2米.照射到反射面上，留在地面上的影長EF=6米，又量得DE=l米，求反射面的直徑 AB的長.分析欲求AB,回想求線段長的幾種方法，其中最簡潔的方 法

17、是“解直角三角形法”，于是設(shè)法構(gòu)造出以 AB為一邊的直角三角形ABG解答作 BHU CF于 H, AGBH于 G,設(shè) HF=X，. AE/ BF, .ADa BHR . . BH AD 2, /. BH=2(.HF DE在 RtABG中， AG=DF HF=(1+6) x=7 X,BG=BH- GH=2(-2, / BAGW C=45 , 7-X=2x-2,解得 x=3.AG=7- 3=4,，AB=4j2,反射面的直徑 AB的長為4衣米.點(diǎn)評解答此題常出的錯誤是由于不熟悉求線段長的方法，因而不能很快形成解題思路，這是其一.其二是，雖然作出了如圖4-20中的 ABG但是不能利用平行投影的特性為

18、ABG準(zhǔn)備可解的條件.圖 4-21其中 AB/ DF, ACBDER圖 422圖 423拓廣利用平行投影求某物體的高度，這類問題很重要.這類問題的基本模式如圖4IX 旭 從這個基本模式可以產(chǎn)生許多變形，例如圖4- 22,aPH表示一墻面，AC的投影分作兩段，落在地面上的一段長CH=b ,落在墻面上的一段長HG h ,在此條件下去求 AB的長；再例如圖4-23,在AB的右側(cè)有一階梯，已知每一階 的高度和寬度都是t, AC的投影分作兩段，落在地面上的一段長CH=b而另一段是落在階梯上的折線HG在此條件下去求 AB的長.其實(shí)上面的例 9也是一種變形，這種變形可以 有許多.但是，萬變不離其宗，題目中都

19、有一個參照物DE,解答時又都離不開基本模式中的 ACBA DEE關(guān)于平面圖形與其位置關(guān)系例10.如圖4 24是一塊電腦主板的示意圖，每一轉(zhuǎn)角處都是 直角，數(shù)據(jù)如下圖，則該主板的周長是()(A)88mm (B)96mm (C)80mm (D)84mm分析此題考查了有關(guān)線段的計(jì)算，圖中共有12條線段，了長度，故而需思考其他線段或它們的和與這三條線段長的關(guān)系.解答保持線段原來的水平或豎直方向不變，將那些未標(biāo)注長度的線段適當(dāng)平移，便可構(gòu)成一個長方形. 這個長方形的周長即為電腦主板的周長，即：2X(24+16+4)=88mm.所以，該題應(yīng)選(A).點(diǎn)評解答此題常犯的錯誤是不會運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法，或不能充

20、分利用已知與未知 的關(guān)系和數(shù)形結(jié)合分析問題的方法，是解題中存在的主要問題.在學(xué)習(xí)、解決與平面圖形有關(guān)的知識和問題時，都應(yīng)從已經(jīng)掌握的知識、技能出發(fā)，在 觀察、操作、思考等活動中進(jìn)行.要觀察圖形與圖形之間的關(guān)系，并結(jié)合這種關(guān)系思考、發(fā) 現(xiàn)其中的數(shù)量聯(lián)系；還要結(jié)合圖形思考已知與未知之間的關(guān)系，思考圖 4-25怎樣使未知轉(zhuǎn)化為已知，這對于解決問題（尤其是解決計(jì)算問題）至關(guān)緊要.例11.將一塊正六邊形硬紙片（圖4 25）,做成一個底面仍為正六邊形且高相等的無 蓋紙盒（側(cè)面均垂直于底面，見圖 4-26）,需在每一個頂點(diǎn)處剪去一個四邊形，例如圖 4-25中的四邊形AGAH那么 GA H的大小是度.分析此題

21、主要考查有關(guān)角的計(jì)算，要求一個角的大小，一般情況下，這類題需借助已知角來計(jì)算.然而，題目中卻沒有明顯地告訴某些角的度數(shù)， 這就需根據(jù)題意找出與所要求的角有關(guān)的已知角了.解答紙盒的底面為正六邊形，BAC 120 .又紙盒的側(cè)面均垂直于底面，HA B GAC 90 . GAH 360 BAC HA B GAC 360 120 2 9060點(diǎn)評解答此題常出的錯誤是無解題思路，從而不知道應(yīng)首先依據(jù)題意找出與所要求的角 有關(guān)的已知角.我們經(jīng)常遇到關(guān)于角的大小的計(jì)算問題，這類題的常用解法有兩種：.直接計(jì)算法.利用已知角與未知角的和、差、倍、分關(guān)系，直接列式計(jì)算，本例所 使用的就是這種解法.運(yùn)用此法的關(guān)鍵，

22、是確定已知角的大小與其與未知角的關(guān)系.方程求解法.首先用字母表示未知角的度數(shù)，然后尋求已知角與未知角的相等關(guān)系,再列方程或方程組，解得未知角的大小.拓廣已知：射線 OF交。于點(diǎn)B,半徑OAL OR P為射線OF上 的一個動點(diǎn)（不與Q B重合），直線AP交。于點(diǎn)D,過D作。O的切線 交OF于E（如圖4-27）,在點(diǎn)P移動的過程中，設(shè)/ DEP的度數(shù)為X, /OAP的度數(shù)為y,求y與X的函數(shù)關(guān)系式.一 180 x易證ED=EP于是有/ DPE= X2180 x 1y 90 ,由此解得，y -x.22例12.在七巧板拼圖中（如圖4-28） , / ABC凄.分析此題考查運(yùn)用七巧板進(jìn)行計(jì)算的能力如例1

23、2所述，可用直接計(jì)算法石解答/ABC=45 + 90 =135 .點(diǎn)評該題較簡單，不容易出錯，如果出錯的話，可能是由于粗心吧.之所以舉出此例，是由于七巧板是新教材特意增加的容，它有助于豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動率428 驗(yàn)，因而各地多次考查它.考查的方式大致有以下幾種:.如本例那樣，計(jì)算由七巧板（或多巧板）拼成圖形的角度或面積的大小.將由七巧板（或多巧板）拼成的不完整圖形補(bǔ)充完整，或標(biāo)出其中的板塊.拓廣某校教具車間有等腰直角三角形、正方形、平行四邊形三種廢塑料板若干，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)利用其中7塊，恰好拼成了一個矩形（如圖429）.后來，又用它們分別拼成了 X, Y, Z等字母模型（如圖4 29，）如

24、果每塊塑料板保持標(biāo)號不變，請你參 與：（1）將圖中每塊塑料板的標(biāo)號填上去；（2）在圖中，只畫出標(biāo)號7的塑料板位置，請你適當(dāng)畫線，找出其他6塊料板，并填上標(biāo)號；（3）在圖中，請你適當(dāng)畫線，找出 7塊塑料板，并填上標(biāo)號.圖 4 29另外還有一類是用七巧板拼成指定的圖形.例如(1)七巧板的兩塊部件能組成一個三角形嗎？3塊呢？5塊、6塊、7塊呢？(2)用兩塊部件能組成正方形嗎？3塊呢？(3)用哪些部件能組成長方形？還能組成什么樣的多邊形？根據(jù)七巧板設(shè)計(jì)的啟發(fā)，你能設(shè)計(jì)一種拼圖的游戲嗎?如圖430給出了一種設(shè)計(jì)方案， 請你利用這個方案制作一幅游戲板，并拼出兩種圖案.例13.如圖1 31,兩平面鏡a、b的

25、夾角為，入射光線AO平行于b入 射到a,經(jīng)兩次反射后的出射光線 Q B平行于，則角 =度.圖 4-31=60分析此題有諸多平行關(guān)系，應(yīng)先由這些關(guān)系出發(fā)，探索角與角之間的關(guān)系，圖1-30然后再考慮求法.解答應(yīng)填60,原因如下：由光學(xué)知識，得/ 1=/2, / 3=7 4./AO平行于b, ，/1 = /5, /2=/6.同理/ 3=7 7, /4=/6.1 = 7 3=7 5=7 6=7 7./5、/ 6、/ 7 是同一個三角形的三角，/1 = 7 3=60 ,點(diǎn)評解答此題常出的錯誤是： 其一，不能正確地應(yīng)用理化知識和平行線的性質(zhì)獲得角的相等關(guān)系；其二，不能將所有相等的角聯(lián)系起來，并利用三角形角和定理 發(fā)現(xiàn)角的大小.任何幾何命題都要涉與幾何圖形，而公理和定理所涉與的圖形可被 看作是基本圖形.例如，“兩直線平行，錯角相等”便涉與到如教材中所給的圖432這個圖就是基本圖形，由 a / b ,可得/ 1 = /2.但是， 我們所遇到的問題涉與的圖形多數(shù)不是這種簡單的基本圖形.為了應(yīng)用有關(guān)定理，就必須將基本圖形從問題所涉與的圖形中分離出來.當(dāng)然，分離之前，先要識別出基本圖形來.例如，可從圖4-31中分離出圖4-33它是一個典型的基本圖形.應(yīng)當(dāng)注意的是，在識別基本圖形