等比數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

1、求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是研究等比數(shù)列的性質(zhì)與其前n項(xiàng)和的基礎(chǔ)，也是研究數(shù)列問題的基石，所以等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法在等比數(shù)列的研究中占有重要的 地位，下文就介紹求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法 .一.定義法：先根據(jù)條件判斷該數(shù)列是不是等比數(shù)列，若是等比數(shù)列則又等比數(shù)列定義直接求它的通項(xiàng)公式。例1,求下列數(shù)列的通項(xiàng)公式5, 15,45,-135, 405, -1512解：所給的數(shù)列是等比數(shù)列，且是首項(xiàng)為5,公比為-3。所以通項(xiàng)an 5 （ 3）n1二.公式法：如果數(shù)列是等比數(shù)列，只要知道首項(xiàng)與公比，就可以根據(jù)等比數(shù) 列的通頂公式an a1qn1來求.例2:數(shù)列an為等比數(shù)列，若

2、a1 a2 a3 7,aa2a3 8,求通項(xiàng)an解，由已知得a3a1a2a38 （利用等比數(shù)列的性質(zhì)）a22aa2a37,a2a2 a2q q解：由已知得：an1 12（ana11）,.曳2數(shù)列an1是首項(xiàng)為an 1a1 1 2,公比為2的等比數(shù)列. an1 (a1 1)2n 12n。即 an2n 1 0對(duì)于 pan 1 qan r(pq）形式的遞推關(guān)系式，可以配常數(shù)，即p(an 1k) q(an k),這里 k從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，再求通項(xiàng)也可以用 q p迭代法。an 12an 1,2an 1122an 2 2,22an 2八3八2八n 22 an 322a2n 12ai2n 2an 1將上列

3、各式相加得an2n（二）取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列例5.已知數(shù)列an 中 aia1(12 222n 2) 2n 1 1解：易知an1 1 -(1)2 anan四.，從而再求通項(xiàng).2 a2an2 , an 1an 1,求通項(xiàng)公式an .an2a兩邊取倒數(shù)得1是首項(xiàng)為。a11 / 1 n 12 (2)故an1n112利用Sn與an的關(guān)系：an與&的關(guān)系為4S1(n為an的遞推關(guān)系式，再求通項(xiàng).例6.已知數(shù)列an的前n的和為sn,且(3 m)sn常數(shù)，m 3 ,求通項(xiàng)公式an 0解：(3 m)sn 2man mn 2 時(shí)，(3 (3 m)an 2man 2man 1ana n 1，-1，即 an 122

4、a n公比1為的等比數(shù)列，21)Sn Sn1(n2man m2）,把Sn轉(zhuǎn)化m)sn 1 2man 1 m 3的常數(shù)），數(shù)列an是首項(xiàng)為ai 1,公比為 &的等比數(shù)列 an (2m)n1.m 3m 3五.實(shí)際問題中，根據(jù)題中的含義建立數(shù)列模型后，再研究 an與an 1的關(guān)系, 求等比數(shù)列的通項(xiàng)例7.從盛滿a升(a 1)純酒精的容器里倒出1升，然后填滿水，再倒出1 升混合溶液后又用水填滿，如此繼續(xù)下去，問第n次操作后溶液的濃度是多少？1解：開始白濃度為1,操作一次后溶減的濃度是a1 1 1為的等比數(shù)列，an a/1(1 -)noaa等比數(shù)列通項(xiàng)的求法很多，而且也比較靈活。但最根本一點(diǎn)是要抓住等比

5、數(shù) 列的定義去求通項(xiàng)。這樣才能在根本上解決問題 . ,操作n次后溶液a的濃度為an,由題意知:an 1 an(1二)，數(shù)列an是首項(xiàng)為a1 1 -,公比 aa221-2q 5 0 2q 5q 2 0 ,解得 q 2或q -q2當(dāng)q 2時(shí)，得41,4 2n 1當(dāng)q 1時(shí)，得為4,an 22 3 * * * n2評(píng)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)為了需要，不一定非得由&與q來表示，也可以用其他項(xiàng)來相互表示如anamqnm例3:已知等比數(shù)列an中，a3 3,a10 384,則該數(shù)列的通項(xiàng) 烝= 解：a10 a3q10 3, q7 * * a10 384 128 q 2, an a3qn 3 3 2n 3 a33注:此類題目都會(huì)很醒目的出現(xiàn)等比數(shù)的字眼，目的求首項(xiàng)與公比，當(dāng)然求首項(xiàng)和公比可靈活一些，如用等比數(shù)列的性質(zhì)以及變換式an amqnm。三.