難點(diǎn)07奇偶性與單調(diào)性一

1、難點(diǎn)7奇偶性與單調(diào)性(一)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識(shí)單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.難點(diǎn)磁場(chǎng) exa _ 、一()設(shè)a0,f(x)= -是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明：f(x)在(0, + a e)上是增函數(shù).案例探究例1已知函數(shù)f(x)在(一1, 1)上有定義，f(3)= 1，當(dāng)且僅當(dāng)0Vx1時(shí)f(x)0,且對(duì)任意 x、yC(1,1)都有 f(x)+f(y)=f(t_y),試證明：1 xy(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(-1, 1)上單調(diào)遞減.命題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶

2、性、單調(diào)性的判定以及運(yùn)算能力和邏輯推理能力.屬*題目.知識(shí)依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想錯(cuò)解分析：本題對(duì)思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準(zhǔn)確，運(yùn)算技能不過關(guān)，結(jié)果 很難獲得.技巧與方法：對(duì)于(1),獲得f(0)的值進(jìn)而取x= y是解題關(guān)鍵；對(duì)于(2),判定 上一x11 x1x2的范圍是焦點(diǎn). TOC o 1-5 h z x y ,1,-x x證明：(1)由 f(x)+f(y)=f(，令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y= x,得 f(x)+f(x)=f(2 )=f(0)=0.1 xy1 x，f(x)= f(x).，f(x)為奇函數(shù).(2)先證f(x)在(0, 1)上單調(diào)

3、遞減.x2 x1令 0 x1x21,貝U f(x2) f(x1)=f(x2)f( x1)=f()1小*2x2 x,- 0 x1x20,1 x1x20, . 0,x2x1又 %x1) (1 x2x1)=(x2 1)(x1 + 1)0 x2 x11 x2x1,，0 * * 1,由題意知 f( x2 - )0, 1 x2x11 x1x2即 f(x2)f(x1).f(x)在(0, 1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0.f(x)在(一1, 1)上為減函數(shù).例2設(shè)函數(shù) f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間 (一8 ,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求a的取值范圍，

4、并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=( 1)a 3a 1的單調(diào)遞減區(qū)間.命題意圖：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的基本應(yīng)用以及對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法.本題屬于級(jí)題目. TOC o 1-5 h z 知識(shí)依托：逆向認(rèn)識(shí)奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題錯(cuò)解分析：逆向思維受阻、條件認(rèn)識(shí)不清晰、復(fù)合函數(shù)判定程序紊亂技巧與方法：本題屬于知識(shí)組合題類，關(guān)鍵在于讀題過程中對(duì)條件的思考與認(rèn)識(shí)，通過本題會(huì)解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法解：設(shè)0X1X2,則一X2 xi0 , 丁 f(x)在區(qū)間(一8 ,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(X2)f(X1),f(X)為偶函數(shù)，f(X2)=f(X2),f(X1)=f(X1)

5、,，f(X2)f(X1).，f(x)在(0, +8)內(nèi)單調(diào)遞減.1 o7o1 o2又 2a2 a 1 2(a-)20,3a22a 1 3(a-)20.4833由 f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得 0a3.又 a2 3a+1=(a )224, 函數(shù)y=( 1 ) a2 3a 1的單調(diào)減區(qū)間是3 , +82，3結(jié)合0a3,得函數(shù)y=(-)a 3a 1的單調(diào)遞減區(qū)間為3,3).2錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有：(1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價(jià)性若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性同時(shí)，注意判斷與證

6、明、討論三者的區(qū)別，針對(duì)所列的“磁場(chǎng)”及“訓(xùn)練”認(rèn)真體會(huì)， 用好數(shù)與形的統(tǒng)一.復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.問題的解決關(guān)鍵在于：既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù)(2)加強(qiáng)逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一.正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目，下一節(jié)我們將展開研究奇偶 性、單調(diào)性的應(yīng)用.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()下列函數(shù)中的奇函數(shù)是 ()C.f(x)=A. f(X)=(X 1)B.f(X)=lg(1 X2)|x2 2| 22x x(x 0) x2 x(x 0)1 sinx cosxD.f(x)=1 cosx sin x一 1x2x1 ,2.()函數(shù) f(x)= ,的圖象()- 1X2X1A.關(guān)于x軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱D.

7、關(guān)于直線x=1對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱二、填空題.(* )函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則 y=f(|x+1|)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是 .()若函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx+d 滿足 f(0)=f(xi)=f(x2)=0 (0 xi1).x 1(1)證明：函數(shù)f(x)在(-1 , +8)上為增函數(shù).(2)用反證法證明方程 f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根. x3.( )求證函數(shù)f(x)=22在區(qū)間(1，+)上是減函數(shù).(x 1).()設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且滿足：(i)f(x1 x2)= x1) (x2)_1f(x2) f(%)(ii)存在正常數(shù) a使f( a)=1.求證：(1)f(x)是奇

8、函數(shù).(2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個(gè)周期是 4a.()已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?R,且對(duì) m、nCR恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f(1)=0，當(dāng) x1 時(shí)，f(x)0.、2，2(1)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)，并加以驗(yàn)證參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)1 一 一 1-+aex.整理，得(a) aeax e a (1)解：依題息，對(duì)一切 xC R,有f(x)=f( x)，即 a ev 11(e 7 )=0.因此，有 a =0,即 a?=1，又 a0,a=1 ea(2)證法一：設(shè) 0vx vx2,則 f(x1) f(x2)= ex1ex21ex14 (ex

9、2 e”(一e 2e均x21)1 ex1 x2ex1(ex2 x1 1)-ex1 x2e由 X10,x20,x2x1, /. ex2 x1 1 0,1 ex1 x2 0, f(x1) f(X2) 0,即 f(X1)0,e2x 10.此時(shí)f (x)0,所以f(x)在0, +8)上是增函數(shù).殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練lx x (x 0) (x x) (x 0)一、1.斛析：f(x)=-f(x),故 f(x)x2 x (x 0)( x2 x) (x 0)為奇函數(shù).答案：C2.解析：f( x)= f(x),f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 .答案：C二、3.解析：令t=|x+1|，則t在(一00,1上遞減，又y=

10、f(x)在R上單調(diào)遞增，1. y=f(|x+1|) 在(一 OO , 一 1 上遞減.答案：(8, 14.解析：= f(0)= f(x1)=f(x2)=0,f(0)= d=0.f(x)=ax(xx1)(x x2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x, b= - a(x1+x2)，又 f(x)在x2,+0 )單調(diào)遞增，故 a0.又知 0v x1 v x,得 xI+x20, b=-a(x1+x2) 0.答案：( 8,0)三、5.證明：(1)設(shè)一1vxix20, ax2 x1與f(Xo)=0矛盾，若X0V 1,則迎Xo 1 且 ax1 0, ax2 ax1ax1(ax2x1 1) 0,又 xi

11、+10,x2+i0 TOC o 1-5 h z x22x12 (x22)(x11)(x12)( x21)3(x2Xi) 0 x2 1Xi1(Xi1)(x2 1)(Xi1)(x21)是 f(x2) f(x1)= ax2ax1+紅二也二 0 x2 1x1 1為2且由 0V ax0 1 得 0VXo 1. f(x)在(一1, +8)上為遞增函數(shù).(2)證法一：設(shè)存在 x00(x0W 1)滿足 f(x0)=0，則 ax0 x 21V 1,即一VX0V2與X0V0矛盾，故f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.Xo 12一 5 .x0 2x證法一：設(shè)存在 xov 0(xow 1)使 f(xo)=0，右一1 v x00,

12、 ax0 0, 1f(xo)0 與 f(xo)=0 矛盾，故方程 f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.，16.證明：xW0,f(x)=-22(x2 1)23X122x(x2 1)24xx(11A22) X設(shè) 1 VX1 X2f(X2),故函數(shù)f(X)在(1 , +8)上是減函數(shù).(本題也可用求導(dǎo)方法解決).一f(X2)f(X1) 17.證明：(1) 不妨令 X=X1 X2，貝u f( X)=f(X2 X1)=f(X1)f(X2)f(X1)f(X2)1f(X2) f(X1)=f(X1 X2)= f(X).f(X)是奇函數(shù).(2)要證 f(X+4a)=f(X)，可先計(jì)算 f(X+a),f(X+2a).f( a)f(X) 1- f(X+ a)=f x ( a)=-_-f( a) f( x)f(a)f(X) 1 U(f(a) 1)f(a) f(x) f(x) 1f (x 2a) f (x a) af (x a) 1f (x a) 1f(x) 1 1 f(x) 1f(x) 1 1f(x) 1f(x+4a)=f ：(x+2a)+2a8.(1)證明：設(shè)X1VX2,則1=f(x)，故f(x)是以4a為周期的周