時頻分析的基本性質(zhì)

1、3. 2時頻分布的基本性質(zhì)構(gòu)造一個合適的時頻分布函數(shù)是時頻分析的是主要內(nèi)容。此函數(shù)需要滿足兩 個要求。其一，可以在一定的時間和頻率范圍內(nèi)估計信號的能量百分比；其二, 可以在一定的時間和頻率范圍內(nèi)估計信號的其他特征參量。然而，并不是所以得 時間-頻率聯(lián)合函數(shù)都能滿足以上要求。只有符合以下的基本要求的時間-頻率聯(lián) 合函數(shù)才能作為有效的時頻分布。也就是說，時頻分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)。假設(shè)信號x(t)的頻譜函數(shù)和時頻分布函數(shù)分別X(w)和P(t, w) o能量特性由能量守恒定律可得，信號的能量不應(yīng)的計算方法的不同而改變。則信號 x(t)的能量與時頻分布函數(shù)P(t, w)的總能量應(yīng)該相等，即E =

2、JJ P(t,w)dwdt = f x(t)2dt = f X(w)2 dw(2. 2)若一個時間-頻率聯(lián)合函數(shù)，其他方面都符合描述非平穩(wěn)信號的要求，但并 不符合此性質(zhì)，實際應(yīng)用中也可作為可用的時頻分布函數(shù)。邊緣特性理想情況下，某一特定時刻，時頻分布函數(shù)P(t,w)對頻率的積分等于信號 在該時刻的能量密度即瞬時功率；而某一特定頻率，時頻分布函數(shù)P(t,w)對時 間的積分等于信號的能量譜密度，即f P(t,w)dw= |x(C)|2(2. 3)JP(t,w)dt= |X(w)|2 (2.4)需要指出的是，邊緣特性是理想情況的一個性質(zhì)。在實際的應(yīng)用之中，一個 合理的時頻分布不一定嚴格具備這個性質(zhì)。

3、此外，可以觀察到，若P(t,w)具有邊緣特性就一定具有能量特性，反之，則不 一定成立。平移不變性(1)時移不變性假設(shè)信號x(t)在時間上產(chǎn)生了一個位移姑，記為x(t-t0)o那么X(t - to)對應(yīng)的 時頻分布為P(t-t0, w)。簡記為：x(t) - P(t,w) = x(t I。)t P(tto, w)(2.5)(2)頻移不變性 假設(shè)信號頻譜X(w)在頻譜上產(chǎn)生了一個位移wo,記為X(w- wo)。那么X(w- w0) 對應(yīng)的時頻分布為P(t, w- W0)o簡記為：X(w) P(t, w ) = X(w wo) P(t, w wo) (2. 6)線性尺度變換假設(shè)信號和頻譜&(為信號x

4、(t)和頻譜X(w)的尺度變換。信號被 放大還是縮小取決于a的大小。變換結(jié)果可表示為xa(t) = Vx(at)(2. 7)Xa(w) = X(?)(2. 8)由此可知，若信號被擴展，那么頻譜就被壓縮；反之若信號被壓縮，那 么頻譜就被擴展。時頻分布函數(shù)也具有線性尺度變換。假設(shè)為P(t , w)的尺度變 換。Pa(tfw)可表示為Pa(t,w) = P(at, w/q)(2. 9)值得注意的是，若P(t , w)具有邊緣特性，則尺度變換也具有邊緣特性， 即f R(t,w)dw= xa (t)|2 = ax(at)2(2. 10)J%(t,w)dt = |Xa(w)|2 = ：|X)|2(2. I

5、D有限支撐性Cohen指出有限支撐性是時頻分布的一個基本性質(zhì)。在實際的工程應(yīng)用 中進行信號處理時，信號的時寬和頻寬一般都是有限的。若信號x(t)在特定 的時間區(qū)間內(nèi)有非零值，則稱信號x(t)是有限支撐的。同理，若信號的頻譜 X(w)也只在特定頻率區(qū)間有非零值，則稱頻譜X(w)是有限支撐的。由此，可 以得出，時頻分布的有限支撐性的含義為：在信號x(t)和頻譜X(w)的總支撐 區(qū)間之外，信號的時頻分布P(t , w)等于零。時頻分布的有限支撐性可分為弱有限支撐性和強有限支撐性兩種。弱有限支撐性指的是信號的定義域與時頻分布的定義域相同。即t G2)，x(t) = 002)，PG,w) = 0(2. 12)w i (wlf w2) ,X(w) = 0 = w 任(w19 w2) ,P(t, w) = 0 (2. 13)強有限支撐性指的是在任何時刻和任何頻點，如果信號或者頻譜為零,則時頻分布函數(shù)為零。即3 tOf %(t0) = 0 P(to，w) = O(2. 14)3 w0, X(w0) = 0 = P(t ,Wq) = 0(2. 15)其實，時頻分布除