工程控制基礎(chǔ)：3-3 時(shí)域：動(dòng)態(tài)分析12

1、3.4 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析1三性分析：穩(wěn)定性 穩(wěn)態(tài)特性 動(dòng)態(tài)特性控制系統(tǒng)的輸出： c(t)=ct(t)+ cs(t) ct(t) 動(dòng)態(tài)分量（暫態(tài)分量） cs(t) 穩(wěn)態(tài)分量3.4 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析動(dòng)態(tài)響應(yīng)（又叫瞬態(tài)響應(yīng)）是指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到接近穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)。動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)才有意義。系統(tǒng)分析的準(zhǔn)確度取決于數(shù)學(xué)模型描述的真實(shí)程度。23.4.1 控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo) 通常以單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)來定義時(shí)域性能指標(biāo)。 1最大超調(diào)量Mp階躍響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值的最大值與穩(wěn)態(tài)值之比的百分?jǐn)?shù)。 c(tp)為輸出響應(yīng)的最大值；c()為穩(wěn)態(tài)值。 單位反饋系統(tǒng)， c()等于輸入信號(hào)的

2、幅值3.4 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析32調(diào)整時(shí)間（又稱過渡過程時(shí)間）ts ：響應(yīng)曲線達(dá)到并保持 與終值之差在預(yù)定的范圍內(nèi)（又叫誤差帶 ） 所需要的時(shí)間。一般取2%或5%。 3延遲時(shí)間td：響應(yīng)曲線第一次達(dá)到終值一半所需的時(shí)間。4上升時(shí)間tr：動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線從零到第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需 的時(shí)間。 （若無超調(diào)量，取穩(wěn)態(tài)值1090）3.4 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析4Mp3.4 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析5 3.4.2 一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)3.4 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析6 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 指數(shù)曲線，t=0處斜率最大，為1/T，若保

3、持此變化速度，在 t=T 時(shí)，輸出將達(dá)到穩(wěn)態(tài)值1。 實(shí)際系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的0.632, 經(jīng)過3T或4T系統(tǒng)輸出響應(yīng)分加別達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的0.95或0.98。7一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的特點(diǎn)：（1） c(t)的初值c(0)=0,終值c()=u(t)=1,是位置無差系統(tǒng)。（2） t=T時(shí)， c(T)=1-e-1= 0.632 輸出達(dá)到63.2%穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間等于系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)T（3）任意時(shí)刻，輸出上升的速度是曲線在該時(shí)刻的斜率。t0時(shí)，響應(yīng)曲線的切線斜率為1/T, 切線與穩(wěn)態(tài)值的交點(diǎn)處的t=T。t增加,c(t)斜率下降。8一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的特點(diǎn)：（4）過渡過程時(shí)間 ts=3T（95），ts=4T（98）,（5）上升

4、時(shí)間 tr0.22T tr=2.3T-0.1T=2.2T9單位脈沖響應(yīng):單位脈沖響應(yīng)曲線也是一條指數(shù)曲線，在 t=0 時(shí)為 1/T ；單位脈沖響應(yīng)是單位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，而單位階躍響應(yīng)是單位脈沖響應(yīng)的積分。10單位速度響應(yīng)系統(tǒng)輸出：響應(yīng)曲線由兩部分組成：穩(wěn)態(tài)分量為（t-T），它也是單位斜坡函數(shù)，但有時(shí)間T的延遲，即ess。瞬態(tài)分量為Te-t/T, 以1/T的系數(shù)衰減到零。T越小，ess也越小。113.4.3 二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的描述參數(shù)用二階微分方程來描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。從物理上講，二階系統(tǒng)包含有二個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，經(jīng)常用到的儲(chǔ)能元件有電感、電容等。典型二階系統(tǒng)的微分方程)(sR)(sC12則

5、二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù): n無阻尼（自然）振蕩角頻率； 阻尼比 二階系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的兩個(gè)特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）為 特征根的性質(zhì)取決于 的大小，分四種情況討論。13特征根的s平面的分布情況見圖(1)欠阻尼情況 : 則二階系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)根：系統(tǒng)響應(yīng)呈衰減振蕩。 稱為阻尼振蕩頻率n-njn-jn14(2)臨界阻尼情況（ ）此時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè)相等的實(shí)根，系統(tǒng)輸出無超調(diào)。(3)過阻尼情況（ ）此時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根 ，系統(tǒng)輸出無超調(diào),調(diào)整時(shí)間長。(4)無阻尼情況 此時(shí)系統(tǒng)有一對(duì)虛根，系統(tǒng)輸出呈等幅振蕩。153.4.4 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)輸入為單位階躍信號(hào)，則系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為對(duì)上式進(jìn)行拉氏

6、反變換，可得單位階躍響應(yīng)： 16二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)17欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為一條衰減振蕩曲線。振蕩頻率為 ，曲線 為包絡(luò)線，包絡(luò)線的時(shí)間常數(shù) 。C(t)總是包含在一對(duì)包絡(luò)線之內(nèi)，收斂速率取決于時(shí)間常數(shù)， 所以又把 稱為衰減系數(shù)。18 越小，系統(tǒng)振蕩越厲害，一般取0.5 0.8之間。193.4.5 二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)峰值時(shí)間tp因?yàn)橛捎?所以： 整理得： 最大峰值是第一個(gè)峰值，故取 n=1 。于是得： tp與極點(diǎn)虛部成反比, 一定時(shí),極點(diǎn)離實(shí)軸越遠(yuǎn), tp越短。20 最大超調(diào)發(fā)生在峰值時(shí)間tp, 所以將 代入 得到： 二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量僅與阻尼比有關(guān), 越大,超調(diào)量越小。1. 最大超

7、調(diào)量Mp3.4.5 二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)+21 3.4.5 二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)Mp隨的增大而減小,= 0,Mp=100%,= 1,Mp=0.22欠阻尼情況下輸出響應(yīng)的衰減情況可以用包絡(luò)線近似。 求得 調(diào)整時(shí)間與系統(tǒng)極點(diǎn)的實(shí)部成反比。由于Mp由決定，若不變，加大n 的數(shù)值，則可在不影響系統(tǒng) Mp的情況下，減少 ts ，加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度。2.調(diào)整時(shí)間 ts233.4.5 二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)24 3.上升時(shí)間tr 根據(jù)定義因?yàn)? 必有：所以: 上式表明：在一定的情況下，無阻尼自然振蕩頻率 n越大，系統(tǒng)的響應(yīng)就越迅速。( )3.4.5 二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)253.4.5 二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響

8、應(yīng)指標(biāo)小結(jié)阻尼比?。荷仙龝r(shí)間短，調(diào)整時(shí)間長，超調(diào)量大，穩(wěn)態(tài)誤差增加阻尼比大：上升時(shí)間長期望：/上升時(shí)間短、調(diào)整時(shí)間短、超調(diào)量小，工程上阻尼比一般取0.40.8。阻尼比為0.707稱為最佳阻尼比.26 三階以上的系統(tǒng)就稱為高階系統(tǒng) 。實(shí)際的控制系統(tǒng)大多數(shù)是高階的。設(shè) 控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為若系統(tǒng)只有實(shí)零點(diǎn),極點(diǎn)互不相同,則階躍響應(yīng)3.5 高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)3.5.1 高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的特點(diǎn)27拉氏反變換求得單位階躍響應(yīng)3.5 高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)系數(shù)ajbkck與系統(tǒng)零點(diǎn)和極點(diǎn)有關(guān)28高階系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線1. 高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值c()=a0。若系統(tǒng)是穩(wěn)定的,動(dòng)態(tài)響應(yīng)是一些指數(shù)函數(shù)和衰減

9、的正弦函數(shù)的線性組合,響應(yīng)曲線是這些函數(shù)曲線的疊加.2. 穩(wěn)定系統(tǒng)的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部,極點(diǎn)負(fù)實(shí)部的絕對(duì)值越大, 與之對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量衰減越快.因此系統(tǒng)的響應(yīng)主要由離虛軸近的極點(diǎn)決定.29分析高階系統(tǒng)的兩種方法：借助計(jì)算機(jī)軟件求解；近似為一個(gè)二階系統(tǒng)來處理。1.主導(dǎo)極點(diǎn)高階系統(tǒng)如果沒有零點(diǎn)，且離虛軸最近的極點(diǎn)比其他極點(diǎn)離的距離小5倍以上，則離虛軸最近的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用，稱其為主導(dǎo)極點(diǎn)。主導(dǎo)極點(diǎn)通常是一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)3.5.2 主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子和附加零極點(diǎn)30例3-15：三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)：系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的精確解：P1 、P2 的實(shí)部和實(shí)極點(diǎn)P3 的實(shí)部之比, 所以P1

10、、P2為一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)。如果忽略P3 對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)分量，兩個(gè)系統(tǒng)的解相近：31例3-16 如果希望某高階系統(tǒng)滿足:階躍響應(yīng)的Mp5%,按2%準(zhǔn)則的ts4s.試確定主導(dǎo)極點(diǎn)在s平面上的區(qū)域.解: 對(duì)應(yīng)與二階系統(tǒng), Mp=4.3%時(shí),=0.707, =arccos=45 ts=4/ n4s, n1,322.偶極子同一位置的閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn) ，對(duì)系統(tǒng)沒有影響，稱之為偶極子 。如果閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)相距很近，距離小于它們與主導(dǎo)極點(diǎn)之間距離的1/10 ，也可當(dāng)作偶極子處理。3.附加零、極點(diǎn)比較靠近主導(dǎo)極點(diǎn)的零、極點(diǎn)，它們到虛軸的距離小于主導(dǎo)極點(diǎn)到虛軸距離5倍的實(shí)零點(diǎn)、實(shí)極點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響不能忽略.3.5.2 主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子和附加零極點(diǎn)33例3-17 某三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解: 系統(tǒng)極點(diǎn)-3j4和-6.25 , 零點(diǎn)-2.5,不考慮實(shí)零點(diǎn)和實(shí)極點(diǎn)的影響, =0.6, n=5 , Mp=10%, ts=1.33s(2%)只考慮實(shí)零點(diǎn)的影響, Mp=5