插值與擬合(給藥方案估計(jì)水塔的水流量

1、插值與擬合編輯ppt一、插值1、插值問題： 不知道某一函數(shù)f(x)在待定范圍a,b上 的具體表達(dá)式，而只能通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到該函數(shù)在一系列點(diǎn)ax1, x2 , ., xn b上的值 y0, y1, y2, ., yn，需要找一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)P(x)來近似地代替f(x)，要求滿足： P(xi)=yi (i=1,2,.,n)，此問題稱為插值問題。 P(x)稱為f(x)的插值函數(shù)， x1, x2 , ., xn 稱為插值節(jié)點(diǎn)，f(xi)稱為插值條件。編輯ppt幾種常用的插值方法 1、多項(xiàng)式插值 2、樣條插值編輯ppt1、多項(xiàng)式插值方法 設(shè)y=f(x)在n+1個(gè)互異點(diǎn)上的x0 , x1, x2 , .,

2、xn 上的值 y0, y1, y2, ., yn，要求一個(gè)次數(shù)不超過n次的代數(shù)多項(xiàng)式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn使之在節(jié)點(diǎn)上滿足Pn(xi)=f(xi)編輯ppt幾種常用的多項(xiàng)式插值拉格朗日插值：牛頓插值Hermite插值編輯ppt2、樣條插值方法 設(shè)給定區(qū)間a,b的一個(gè)分化： a=x0 x1xn=b， 如果函數(shù)s(x)滿足條件：在每個(gè)子區(qū)間xi-1,xi上是k次多項(xiàng)式，且具有直到k-1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則稱s(x)為一個(gè)k次多項(xiàng)式樣條。編輯ppt廣泛使用的樣條函數(shù)（1）二次樣條（2）三次樣條（3）B樣條。編輯ppt二次樣條的定義 設(shè)a,b 的一個(gè)劃分：a=x0 x1, x2 ,

3、 ., xn= b，函數(shù)f ( x )各節(jié)點(diǎn)的值分別為： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果二次樣條函數(shù)：滿足： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 編輯ppt三次樣條函數(shù)的定義 設(shè)a,b 的一個(gè)劃分：a=x0 x1, x2 , ., xn= b，函數(shù)f ( x )各節(jié)點(diǎn)的值分別為： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果三次樣條函數(shù)：3滿足： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 編輯ppt數(shù)據(jù)的擬合2.擬合的基本原理1.擬合問題引例3.用MATLAB求解擬合問題4.應(yīng)用舉例5.插值與擬合的比較編輯ppt擬合問題引例一 電阻問題溫度t(0

4、C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7電阻R() 765 826 873 942 1032已知熱敏電阻電阻值與溫度的數(shù)據(jù)：求600C時(shí)的電阻R。 設(shè) R=at+ba,b為待定系數(shù)解答編輯ppt擬合問題引例二 給藥問題 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)求血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律c(t).作半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系(semilogy)下的圖形MATLAB(aa1)解答編輯ppt曲 線 擬

5、合 問 題 的 提 法已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上 n個(gè)點(diǎn)（xi,yi) i=1,n, 尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）y=f(x), 使 f(x) 在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=f(x)(xi,yi)ii 為點(diǎn)（xi,yi) 與曲線 y=f(x) 的距離編輯ppt曲線擬合問題最常用的解法線性最小二乘法的基本思路第一步:先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x), m0)模型假設(shè)1. 機(jī)體看作一個(gè)房室，室內(nèi)血藥濃度均勻一室模型模型建立 在此，d=300mg，t及c（t）在某些點(diǎn)處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v編輯ppt用線性最小二乘擬合c(t)MATLA

6、B(lihe1)計(jì)算結(jié)果：d=300;t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2)程序：用非線性最小二乘擬合c(t)編輯ppt給藥方案設(shè)計(jì)cc2c10t 設(shè)每次注射劑量D, 間隔時(shí)間 血藥濃度c(t) 應(yīng)c1 c(t) c2 初次劑量D0 應(yīng)加大給藥方案記為：2、1、計(jì)算結(jié)果：給藥方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02編輯ppt故可制定給藥方案：即: 首次注射 375 mg，

7、 其余每次注射 225 mg， 注射的間隔時(shí)間為 4 小時(shí)。編輯ppt用非線性最小二乘擬合c(t)-用lsqcurvefit(lsqnonlin)2、主程序lihe2.m如下cleartdata=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;cdata=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01; x0=10,0.5;x=lsqcurvefit(curvefun3,x0,tdata,cdata);f=curvefun3(x,tdata) xMATLAB(lihe2)1、用M-文件curvefun3.m定義函數(shù)function f=cu

8、rvefun3(x,tdata)d=300f=(x(1)d)*exp(-x(2)*tdata) % x(1)=v; x(2)=k MATLAB(FZXEC3)編輯ppt擬合與插值的比較問題：給定一批離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，需確定滿足特定要求的曲線或曲面, 從而獲取整體的規(guī)律。即通過窺幾斑來達(dá)到知全豹。 解決方案： 若不要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對(duì)象整體的變化趨勢(shì)，這就是數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。 若要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，就是插值問題； 從幾何意義上看，擬合是給定了空間中的一些點(diǎn)，找到一個(gè)已知形式的連續(xù)曲面來最大限度地逼近這些點(diǎn)；而插值是找到一個(gè)(或幾個(gè)分片光滑的

9、)連續(xù)曲面來穿過這些點(diǎn)。 編輯ppt擬合與插值的區(qū)別 函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。 實(shí)例：下面數(shù)據(jù)是某次實(shí)驗(yàn)所得，希望得到X和 f之間的關(guān)系？MATLAB(cn)編輯ppt最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：編輯ppt美國(guó)某州的各公用水管理機(jī)構(gòu)要求各社區(qū)提供各個(gè)時(shí)刻的用水率以及每天所用的總用水量但許多社區(qū)并沒有測(cè)量流入或流出當(dāng)?shù)厮乃康脑O(shè)備，他們只能代之以每小時(shí)測(cè)量水塔中的水位更為重要的是，無論什么時(shí)候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L時(shí)，水泵就啟動(dòng)向水塔重新充水直到某一最高水位，但也無法得到水泵

10、的供水量的測(cè)量數(shù)據(jù)因此，在水泵正在工作時(shí)，人們不容易建立水塔中水位與水泵工作時(shí)的用水量之間的關(guān)系水泵每天向水塔充水一次或兩次，每次大約二小時(shí)試估計(jì)在任何時(shí)候，甚至包括水泵正在工作的時(shí)間內(nèi)，水從水塔流出的流量，并估計(jì)一天的總用水量表給出了某個(gè)小鎮(zhèn)某一天的真實(shí)數(shù)據(jù)估計(jì)水塔的水流量編輯ppt表某小鎮(zhèn)某天的水塔水位 時(shí)間(s)水位(0.01英尺)時(shí)間(s）水位(0.01英尺)時(shí)間（s）水位(0.01英尺)0317535932水泵工作6853528423316311039332水泵工作7185427676635305439435355075021269710619299443318344579154水泵

11、工作13937294746636335082649水泵工作179212892499533260859683475212402850539363167899533397252232797572543087932703340285432752605743012322842697645542927編輯ppt表給出了從第一次測(cè)量開始的以秒為單位的時(shí)刻，以及該時(shí)刻的高度單位為百分之一英尺的水塔中水位的測(cè)量值，例如3316秒后，水塔中的水位達(dá)到31.10英尺水塔是一個(gè)垂直圓形柱體，高為40英尺，直徑為57英尺 編輯ppt二、問題分析我們很容易想到應(yīng)通過對(duì)所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值擬合來建模在討論具體的建模方法以前

12、，我們應(yīng)先給出一些合理的假設(shè)(1)影響水從水塔中流出的流量的唯一因素是公眾對(duì)水的傳統(tǒng)要求因?yàn)楸碇唤o出了某一天（近26小時(shí)）水塔的水位數(shù)據(jù)，并沒有對(duì)這些數(shù)據(jù)的產(chǎn)生有影響的因素作出具體的說明，我們只能假定所給數(shù)據(jù)反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情況，如自然災(zāi)害、火災(zāi)、水塔溢水、水塔漏水等對(duì)水的特殊要求(2)水塔中的水位不影響水流量的大小，氣候條件、溫度變化等也不影響水流量(3)水泵工作起止時(shí)間有它的水位決定，每次充水時(shí)間大約為兩個(gè)小時(shí)編輯ppt二、問題分析(4)水泵充水速度恒定，且水泵充水的水流量遠(yuǎn)大于水塔的水流量，以保證人們對(duì)水的需求水泵工作時(shí)不需要維修，也不中途停止工作(5)水塔的水流量

13、與水泵狀態(tài)獨(dú)立，并不因水泵工作而增加或減少水流量的大小(6)水塔的水流量曲線可以用一條光滑的曲線了逼近這時(shí)，在每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，水流量的兩階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的因?yàn)樗南牧渴腔谏鐓^(qū)公眾一天的活動(dòng)，如洗澡、做飯、洗衣服等，每一個(gè)使用者的要求與整個(gè)社區(qū)的要求相比是微不足道的，而整個(gè)社區(qū)的需求是不可能同時(shí)增加或減少的，由于水的消耗的自然性，可以假設(shè)水流量曲線是一條連續(xù)光滑的曲線(7)表的數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確的編輯ppt二、問題分析對(duì)所給的問題，其建模方法是經(jīng)典的，基本上是分成三步：首先由所給數(shù)據(jù)得到在各數(shù)據(jù)點(diǎn)處的水流量，然后找出一個(gè)水從水塔流出的水流量的光滑擬合逼近，最后處理水泵工作時(shí)的充水水量以及一天該小鎮(zhèn)公眾的總

14、用水量，同時(shí)也重建了水泵工作時(shí)所缺的數(shù)據(jù)所給數(shù)據(jù)的初步處理.我們把表所給的數(shù)據(jù)作為時(shí)間的函數(shù)畫成圖編輯ppt二、問題分析圖1時(shí)間與水位的關(guān)系圖 編輯ppt二、問題分析從圖可以看出，最大的困難是要解決如何描述水塔充水期間的水流量的行為，為此，我們先分析一下水泵充水期間的觀察數(shù)據(jù)，要解決兩個(gè)問題：一是兩次充水準(zhǔn)確的起始時(shí)間和停止時(shí)間，如果無法得到準(zhǔn)確時(shí)間的話，以哪一時(shí)刻作為起止時(shí)間比較合理；二是充水期間的水流量如何描述從所給的數(shù)據(jù)自然無法知道水泵開始和停止的準(zhǔn)確時(shí)間，但是已知第一次充水前的最后一個(gè)數(shù)據(jù)為32284秒時(shí)水位為26.97英尺 ，充水中第二個(gè)數(shù)據(jù)為39332秒時(shí)而39332-32284=

15、7048秒，即約為1.96小時(shí)，由水泵每次充水要大約小時(shí)可知，水泵是在32284秒時(shí)開始充水的停止時(shí)間在39332秒與39435秒之間，但這兩個(gè)時(shí)刻的差距為103秒，約0.028小時(shí)，很短的時(shí)間，所以我們可以假定水泵停止工作時(shí)間為39332秒充水開始時(shí)水塔水位為26.97英尺，可以認(rèn)為L(zhǎng)大約為27.00英尺 編輯ppt二、問題分析、水流量曲線的擬合 表給出的是水位與時(shí)間的關(guān)系，而題目要求我們求出的是水流量與時(shí)間的關(guān)系，因此，我們先將表的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為水塔中水的體積與時(shí)間的關(guān)系，然后再轉(zhuǎn)化為水流量與時(shí)間的關(guān)系表、圖代表水的體積與時(shí)間的關(guān)系（程序見實(shí)驗(yàn)解答中程序二） 編輯ppt二、問題分析表2時(shí)間與體

16、積的關(guān)系時(shí)間（秒）體積(立方英尺)時(shí)間（秒）體積(立方英尺)時(shí)間（秒）體積(立方英尺)081018.33735932working6853572520.98331679359.69339332working7185470607.161663577930.7093943590587.4317502168820.931061976399.6534331887908.08579154working1393775200.3274663685483.91482649working1792173796.864995383187.3318596888673.6122124072725.12153936808

17、14.1968995386683.2412522371372.6895725478772.7899327085228.7382854370224.3986057476858.973228468820.936455474689.975編輯ppt二、問題分析圖2時(shí)間與體積的關(guān)系圖編輯ppt二、問題分析我們用 從水的體積與時(shí)間的關(guān)系得到水流量與時(shí)間的關(guān)系（由于在充水時(shí)，沒有水的體積與時(shí)間的關(guān)系，所以也沒有水流量與時(shí)間的關(guān)系）我們采用差分法來解決這個(gè)問題由于水泵充水兩次，數(shù)據(jù)被分割成三組，因而我們也分三組來處理數(shù)據(jù)對(duì)每一組數(shù)據(jù)，我們采用中心差分公式 編輯ppt二、問題分析來計(jì)算每一組中間數(shù)據(jù)點(diǎn)的水流量

18、而對(duì)每組前兩個(gè)和最后兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，采用如下的公式來計(jì)算對(duì)于最后的倒數(shù)第二個(gè)數(shù)據(jù)，我們用下面的公式計(jì)算：編輯ppt二、問題分析(4)水泵充水速度恒定，且水泵充水的水流量遠(yuǎn)大于水塔的水流量，以保證人們對(duì)水的需求水泵工作時(shí)不需要維修，也不中途停止工作(5)水塔的水流量與水泵狀態(tài)獨(dú)立，并不因水泵工作而增加或減少水流量的大小(6)水塔的水流量曲線可以用一條光滑的曲線了逼近這時(shí)，在每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，水流量的兩階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的因?yàn)樗南牧渴腔谏鐓^(qū)公眾一天的活動(dòng)，如洗澡、做飯、洗衣服等，每一個(gè)使用者的要求與整個(gè)社區(qū)的要求相比是微不足道的，而整個(gè)社區(qū)的需求是不可能同時(shí)增加或減少的，由于水的消耗的自然性，可以假設(shè)水流量曲線是一條連續(xù)光滑的曲線(7)表的數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確的編輯ppt二、問題分析計(jì)算結(jié)果見表和圖時(shí)間（秒）流量(立方英尺/秒)時(shí)間（秒）流量(立方英尺/秒)時(shí)間（秒）流量(立方英尺/秒)00.53482335932working685350.6182733160.4151739332working71854,0.089697366350.373626394350.722878750210.090645106190.408886433180.74983979154working139370.326656466360.70326682649working179210.370