弦切角的性質(zhì)與圓有關(guān)的比例線段課件

1、2.4 弦切角的性質(zhì)圓心角和圓周角。問(wèn)題1：在前面我們共同研究過(guò)與圓有關(guān)的兩種什么角？回顧 圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。 圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。問(wèn)題2：圓周角定理圓心角定理觀察：在圖1中，以點(diǎn)D為中心旋轉(zhuǎn)直線DE，同時(shí)保證直線BC與DE的交點(diǎn)落在圓周上.在圖1中,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),有BCE=A.OCABD圖1EO(C)ABD圖2E當(dāng)DE變?yōu)閳A的切線時(shí)(如圖2),你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象?在圖2中,DE是切線, BCE=A仍然成立嗎?猜想：ABC是O的內(nèi)接三角形，CE是O的切線，則BCE= A.OCOCCCCCCCCOCOCOCOC1.弦切角:O(C)ABD圖2E頂

2、點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。AAAABBBBBCCCCC下面五個(gè)圖中的BAC是不是弦切角？練一練A(1) 頂點(diǎn)在圓上；(2) 一邊和圓相交；(3) 一邊和圓相切。弦切角的特征：ABC幾何語(yǔ)言: BA切O于AAC是圓O的弦2.弦切角定理弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。DBAC= ADCm(1)指出圖中所有的弦切角;弦切角有： APC 、 APD 、 APE BPC 、 BPD 、 BPE(2)指出這些弦切角所夾的弧。APC (弧PC) APD (弧PCD) APE (弧PCE)BPC (弧PEC)練一練如圖，直線AB和O相切于點(diǎn)P，PC 、PE是弦，PD是直徑。ABO

3、PDCEBPD (弧PED)BPE (弧PE)練一練練一練例1.如圖已知AB是O的直徑,AC是弦,直線CE和O切于點(diǎn)C,ADCE,垂足為D.求證:AC平分BAD.OABCDE12思路一:思路二: 連結(jié)OC,由切線性質(zhì),可得OCAD,于是有2=3,又由于1=3,可證得1=2OABCDE312例2: 如圖,AD是ABC中BAC的平分線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的O與BC切于點(diǎn)D,與AB、AC分別相交于E、F. 求證：EFBC.BAEDCFO1.如圖，AC是O的弦，BD切O于C，則圖中弦切角有 個(gè).4若AOC=1200,則 ACD = .OBDAC6002.如圖，直線MN切O于C，AB是O的直徑,若 BCM=400

4、,則 ABC等于（ ）A.400 B. 500 C. 450 D.600MCNBAO3.已知O是ABC的內(nèi)切圓,D,E,F為切點(diǎn),若 A: B: C=4:3:2, 則DEF = , FEC= .B500700練習(xí)：ABFEDCO弦切角-頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。一般情況下，弦切角、圓周角、圓心角都是通過(guò)它們所夾的（或所對(duì)的）同一條?。ɑ虻然。┞?lián)系起來(lái)，因此，當(dāng)已知有切線時(shí)常添線構(gòu)建弦切角或添切點(diǎn)處的半徑應(yīng)用切線的性質(zhì)求解。弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.注意：內(nèi)容總結(jié)方法歸納定理的證明 (化歸思想、分類思想)化歸化歸COCOOC謝謝指導(dǎo)分析：延用從特殊到一般的

5、思路。先分析ABC為直角三角形時(shí)的情形，再將銳角三角形和鈍角三角形的情形化歸為直角三角形的情形。(1)圓心O在 ABC的邊BC上證明:ABOCE(2)圓心0在ABC的內(nèi)部OC(3)圓心0在ABC的外部,OC2.5 與圓有關(guān)的比例線段探究1:AB是直徑,CDAB交點(diǎn)P.線段PA,PB,PC,PD之間有何關(guān)系?CABPDOACBPDOACBPDOPAPB=PCPD1.相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。A(C.P)BD探究2:把兩條相交弦的交點(diǎn)P從圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)到圓上.再到圓外，結(jié)論 是否還能成立?PAPB=PCPDP在圓外:易證PADPCB 故PAPB=PCPDP在圓上:PA

6、=PC=0, 仍有 PAPB=PCPDAPCBDPAC 2.割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等.A(B)PODCPAPB=PCPD探究3:使割線PB繞P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切線的位置,是否還能成立?APBODCA(B)PODC連接AC,AD易證PACPDA 上式可變形為PA=PCPD3.切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).故PAPB=PCPD仍成立因?yàn)锳,B重合，探究4:使割線PD繞P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切線的位置,可以得出什么結(jié)論?A(B)PODC易證RtOAPRtOCP. PA=PC4.切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓

7、的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等,圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.A(B)POC(D)PA=PCPD思考:1.由切割線定理能證明切線長(zhǎng)定理嗎?如圖由P向圓任作一條割線EF試試.A(B)POC(D)EF思考:2.你能將切線長(zhǎng)定理推廣到空間的情形嗎?O例1.圓內(nèi)的兩條弦AB,CD交于圓內(nèi)一點(diǎn)P,已知PA=PB=4.PC= PD,求CD的長(zhǎng). CDABP解:設(shè)CD=x,則PD= ,PC=由相交弦定理,得PAPB=PCPD44= 求得 x=10,CD=10例2.E是圓內(nèi)的兩條弦AB,CD的交點(diǎn),直線EF/CB,交AD的延長(zhǎng)線于F,FG切圓于G.求證:(1)DFEEFA; (2)EF=FG ABCOF

8、GED321DFEEFAEF=FAFD又GF=FAFDGF= EFEF=FG例3.如圖,兩圓相交于A,B兩點(diǎn),P是兩圓公共弦AB上的任一點(diǎn),從P引兩圓的切線PC,PD.求證:PC=PDPABDC析：PC=PAPB又PD=PAPBPC= PDPC=PD例4.如圖,AB是O的直徑,過(guò)A,B引兩條弦AD和BE,相交于點(diǎn)C,求證:ACAD+BCBE=AB.ABDECOF分析:A,F,C.E四點(diǎn)共圓BCBE=BFBA.F,B,D,C四點(diǎn)共圓ACAD=AFAB.ACAD+BCBE=AFAB+BFBA =AB(AF+BF)=AB例5.如圖,AB,AC是O的切線,ADE是O的割線,連接CD,BD,BE,CE.

9、BAECOD問(wèn)題1 由上述條件能推出哪些結(jié)論?探究1: ACD= AECADC ACE CDAE=ACCE 同理 BDAE=ABBE 因?yàn)锳C=AB,由 可得 BECD=BDCE 圖探究2: 猜想并可證明問(wèn)題2 在圖(1)中,使線段AC繞A旋轉(zhuǎn),得到圖(2),其中EC交圓于G,DC交圓于F,此時(shí)又能推出哪些結(jié)論?BAECOD圖BAECODFG圖ADC ACE 同樣可得證明如下:BAECODFG圖AB=ADAE,而AB=AC,AC=ADAE,即CAD= EAC,(對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等). ADC ACE 另一方面連接FG由于F,G,E,D四點(diǎn)共圓 CFG= AEC,又ACF= AEC, CFG

10、= ACF, FG/AC BAECODFG圖問(wèn)題3 在圖(2)中,使線段AC繼續(xù)繞A旋轉(zhuǎn),使割線CFD變成切線CD,得到圖(3),此時(shí)又能推出哪些結(jié)論?BAECODFG圖P探究3: 可以推出（1）（6）的所有結(jié)論。BAECODQG圖P此外AC/DG.ADCE=AECG ACD AECACCD=ADCE 由可得：ACCD=AECG 連接BD,BE,延長(zhǎng)GC到P,延長(zhǎng)BD交AC于Q,則PCQ= PGD= DBE,故C,E,B,Q四點(diǎn)共圓 習(xí)題2.55.如圖, O與O相交與點(diǎn)A,B.PQ是O的切線,求證:PN=NMNQQNPOOABM6.如圖,PA是O的切線, M是PA的中點(diǎn),求證:MPB=MCPM

11、A=MBMC=PMMBPPMCMPB=MCPAPCBMO思路：習(xí)題2.5習(xí)題2.57.如圖, AD,BE,CF分別是ABC三邊的高,H是垂心,AD延長(zhǎng)線交ABC外接圓于點(diǎn)G, 求證:DH=DGACEGBFHD132AECDPBFO習(xí)題2.58.如圖,O直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,AE=AC. 求證:PFPO=PAPB12POCPDFPFPO=PDPC又PDPC=PBPAPFPO=PBPA思路：習(xí)題2.5 9.將例5的圖(1)作如下變化:以A為中心,把線段AC繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,連接EC并延長(zhǎng)與圓相交于F,連接DC并延長(zhǎng)與圓相交于G,連接FG,其他條件同例5,能推出哪些結(jié)論?如果BAD= CAD,又有什么結(jié)論?BAECOD圖BAECODFG習(xí)題2.5 9題 將例5的圖(1)作如下變化:以A為中心,把線段AC繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,連接EC并延長(zhǎng)與圓相交于F,連接DC并延長(zhǎng)與圓相交于G,連接FG,其他條件同例5,你能推出哪些結(jié)論?如果BAD= CAD,又有什么結(jié)論?BAECODFGAB=ADAE CFCE=CDCG AC=ADAE AC=ABCAD= EAC, ADC ACE ACD=AEC=G AC/FG 如果BAD= CAD,如圖,BAECDFG2134 ABD AC