機器人學(xué)基礎(chǔ)-第3章-機器人運動學(xué)課件

1、中南大學(xué)蔡自興，謝 斌zxcai, 2010機器人學(xué)基礎(chǔ)第三章 機器人運動學(xué)1Ch.3 Kinematics of RobotsFundamentals of Robotics Fundamentals of Robotics3.0 Introduction to Robot KinematicsKinematics treats motion without regard to the forces that cause it. Within the science of kinematics one studies the position, velocity, acceleration,

2、 and all higher order derivatives of the position variables (with respect to time or any other variable). 從幾何學(xué)的觀點來處理手指位置P與關(guān)節(jié)變量L1, L2, 和 的關(guān)系稱為運動學(xué)(Kinematics)。2 3.0 Introduction to Robot KinematicsIn manipulator robotics, there are two kinematics tasks:Direct (also forward) kinematics Given are joint

3、relations (rotations, translations) for the robot arm. Task: What is the orientation and position of the end effector?Inverse kinematics Given is desired end effector position and orientation. Task: What are the joint rotations and orientations to achieve this?3 3.0 Introduction to Robot Kinematics3

4、.0 Introduction to Robot KinematicsExample of Direct KinematicsDefine position of end effector and the joint variable，According to geometry：The general vector form4 3.0 Introduction to Robot Kinematics式中同樣，如果用向量表示上述關(guān)系式，其一般可表示為Example of Inverse Kinematics5 3.0 Introduction to Robot Kinematics機器人到達(dá)給定

5、的手爪位置 P有兩個姿態(tài)滿足要求，即圖中的 也是其解。此時 和 變成為另外的值，即逆運動學(xué)的解不是惟一的。 將運動學(xué)公式 兩邊微分即可得到機器人手爪的速度和關(guān)節(jié)速度的關(guān)系，再進(jìn)一步進(jìn)行微分將得到加速度之間的關(guān)系，處理這些關(guān)系也是機器人的運動學(xué)問題。 Example of Inverse Kinematics6 3.0 Introduction to Robot Kinematics73.1 Representation of Kinematics Equation of Robot Manipulator3.1 Representation of Kinematics Equation of

6、ManipulatorMechanics of a manipulator can be represented as a kinematics chain of rigid bodies (links) connected by revolute or prismatic joints.One end of the chain is constrained to a base, while an end effector is mounted to the other end of the chain.The resulting motion is obtained by compositi

7、on of the elementary motions of each link with respect to the previous one.8 機械手是一系列由關(guān)節(jié)連接起來的連桿構(gòu)成的。為機械手的每一連桿建立一個坐標(biāo)系，并用齊次變換來描述這些坐標(biāo)系間的相對位置和姿態(tài)。A矩陣：一個描述兩連桿間坐標(biāo)系相對關(guān)系的齊次變換 ，如；各 A 矩陣的乘積稱為 T 矩陣 。例如： A1，A2，A3 T1=A1 T2=A1A2 T3=A1A2A3 3.1 Representation of Kinematics Equation of Robot Manipulator3.1 Representati

8、on of Kinematics Equation of Manipulator9T矩陣：A矩陣的乘積 。 對于六連桿機械手，有下列T矩陣 ： 一個六連桿機械手可具有六個自由度，每個連桿含有一個自由度，并能在其運動范圍內(nèi)任意定位與定向。3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator3.1 Representation of Kinematics Equation of Robot Manipulator103.1 Representation of Kinematics Equation of Robot Manipulator

9、 3.1.1 Kinetic Pose and Oriented Angle 運動姿態(tài)和方向角Motion Direction原點由矢量p表示。approach vector a：z向矢量orientation vector o：y向矢量normal vector n：x向矢量， Forming a right-hand frame： n = o a or a = n o3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator113.1.1 Kinetic Pose and Oriented Angle因此，變換T6具有下列元素（同式2.

10、35）。 六連桿機械手的T 矩陣（ T6 ）可由指定其16個元素的數(shù)值來決定。在這16個元素中，只有12個元素具有實際含義。 3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator123.1.1 Kinetic Pose and Oriented AngleEuler angle to represent motion pose機械手的運動姿態(tài)往往由一個繞軸x ，y 和 z 的旋轉(zhuǎn)序列來規(guī)定。這種轉(zhuǎn)角的序列，稱為歐拉（Euler）角。歐拉角: 用一個繞 z 軸旋轉(zhuǎn)角，再繞新的 y 軸 y旋轉(zhuǎn)角，最后繞新的 z 軸z旋轉(zhuǎn)角來描述任 何可能

11、的姿態(tài)。歐拉變換Euler可由連乘三個旋轉(zhuǎn)矩陣來求得，即 （3.3）3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator133.1.1 Kinetic Pose and Oriented AngleRoll, Pitch, Yaw to represent motion pose 另一種常用的旋轉(zhuǎn)集合是橫滾（roll）、俯仰（pitch）和偏轉(zhuǎn)（yaw）。 3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator143.1.1 Kinetic Pose and Oriented

12、Angle 對于旋轉(zhuǎn)次序，規(guī)定：式中，RPY表示橫滾、俯仰和偏轉(zhuǎn)三旋轉(zhuǎn)的組合變換。也就是說，先繞 x 軸旋轉(zhuǎn)角 ，再繞 y 軸旋轉(zhuǎn)角，最后繞 z 軸旋角 。 3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator153.1 Representation of Kinetic Equation of Robot Manipulator 3.1.2 Kinetic Position and Coordinate 運動位置和坐標(biāo) 一旦機械手的運動姿態(tài)由某個姿態(tài)變換規(guī)定之后，它在基系中的位置就能夠由左乘一個對應(yīng)于矢量 p的平移變換來確定（參式2

13、.20）：3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator163.1.2 Kinetic Position and CoordinateDescription in Cylinder Coordinates 用柱面坐標(biāo)來表示機械手手臂的位置，即表示其平移變換。這對應(yīng)于沿 x 軸平移 r，再繞 z 軸旋轉(zhuǎn)，最后沿 z 軸平移 z。如圖3.4(a)所示。 3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator173.1.2 Kinetic Position and Coordi

14、nateDescription in Spherical Coordinates 用球面坐標(biāo)表示手臂運動位置矢量的方法，對應(yīng)于沿 z 軸平移 r，再繞 y 軸旋轉(zhuǎn)角，最后繞 z 軸旋轉(zhuǎn) 角，如圖3.4(b)所示，即為：3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator183.1 Representation of Kinetic Equation of Robot Manipulator 3.1.3 T-Matrix and A-Matrix 連桿變換矩陣及其乘積 廣義連桿 相鄰坐標(biāo)系間及其相應(yīng)連桿可以用齊次變換矩陣來表示。要求解操

15、作手所需要的變換矩陣，每個連桿都要用廣義連桿來描述。在求得相應(yīng)的廣義變換矩陣之后，可對其加以修正，以適合每個具體的連桿。 3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator193.1.3 T-Matrix and A-Matrix機器人機械手是由一系列連接在一起的連桿（桿件）構(gòu)成的。需要用兩個參數(shù)來描述一個連桿，即公共法線距離 所在平面內(nèi)兩軸的夾角 ；需要另外兩個參數(shù)來表示相鄰兩桿的關(guān)系，即兩連桿的相對位置 和兩連桿法線的夾角 ，如圖3.5所示。3.1 Representation of Kinematics Equation of

16、 Manipulator203.1.3 T-Matrix and A-Matrix3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulatorai-1: Link Length - mutual perpendicular unique except for parallel axis : Link Twist - measured in the right-hand sense about213.1.3 T-Matrix and A-Matrix3.1 Representation of Kinematics Equation of Man

17、ipulatordi: Link Offset - variable if joint i is prismatic (平動關(guān)節(jié)) : Joint Angle - variable if joint i is revolute (轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié))223.1.3 T-Matrix and A-MatrixDenavit-Hartenberg Parameters4 D-H parameters3 fixed link parameters1 joint variablei and ai : describe the Link idi and i : describe the Links connect

18、ion3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator233.1.3 T-Matrix and A-Matrix3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulatory-vectors: complete right-hand frames243.1.3 T-Matrix and A-Matrix3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator1. Normals 2. Origins3. Z-axes4. X

19、-axes253.1.3 T-Matrix and A-Matrix3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator263.1.3 T-Matrix and A-Matrix3.1 Representation of Kinematics Equation of ManipulatorExample-RRR Arm273.1.3 T-Matrix and A-Matrix3.1 Representation of Kinematics Equation of ManipulatorExample-RRR Armlinkdi123=

20、 distance from zi to zi+1 along xi= distance from xi-1 to xi along zi= angle from zi to zi +1 about xi= angle from xi-1 to xi about zi283.1.3 T-Matrix and A-Matrix3.1 Representation of Kinematics Equation of ManipulatorExample-RRR Armlinkdi1000120L10230L203= distance from zi to zi+1 along xi= distan

21、ce from xi-1 to xi along zi= angle from zi to zi +1 about xi= angle from xi-1 to xi about zi293.1.3 T-Matrix and A-MatrixDenavit-Hartenberg notation= distance from zi to zi+1 along xi= distance from xi-1 to xi along zi= angle from zi to zi +1 about xi= angle from xi-1 to xi about zi3.1 Representatio

22、n of Kinematics Equation of Manipulator303.1.3 T-Matrix and A-Matrix 繞 軸旋轉(zhuǎn) 角，使 軸轉(zhuǎn)到與 同一平面內(nèi)。 沿 軸平移一距離 ，把 移到與 同一直線上。 沿 xi 軸平移一距離 ai-1 ，使連桿 坐標(biāo)系的原點與 連桿 i 的坐標(biāo)系原點重合。(4) 繞 xi 軸旋轉(zhuǎn) 角，使 zi1 轉(zhuǎn)到與 zi 同一直線上。3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator3.1.3 T-Matrix and A-Matrix這種關(guān)系可由表示連桿相對位置的四個齊次變換來描述，

23、并叫做 矩陣。此關(guān)系式為： (3.12)展開上式可得 ： （3.13） 313.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator323.1.3 T-Matrix and A-MatrixUsing A-Matrix to represent T-Matrix機械手的末端裝置即為連桿6的坐標(biāo)系，它與連桿 坐標(biāo)系的關(guān)系可由 表示為：可得連桿變換通式為 ：3.1 Representation of Kinematics Equation of Manipulator333.2 Solving Kinematical Equation of

24、RobotManipulator 機械手運動學(xué)方程的求解大多數(shù)機器人程序設(shè)計語言使用某個笛卡兒坐標(biāo)系來指定機械手的末端位置。這一指定可用于求解機械手最后一個連桿的姿態(tài) 。不過，在機械手能夠被驅(qū)動至這個姿態(tài)之前，必須知道與這個位置有關(guān)的所有關(guān)節(jié)的位置。求解運動方程時，我們從 開始求解關(guān)節(jié)位置。使 的符號表達(dá)式的各元素等于 T6 的一般形式，并據(jù)此確定 。其它五個關(guān)節(jié)參數(shù)不可能從T6 求得，因為所求得的運動方程過于復(fù)雜而無法求解它們。我們可以由上節(jié)討論的其它T 矩陣來求解它們。一旦求得 之后，可由 左乘 的一般形式，得： (3.18) 式中，左邊為 和 各元的函數(shù)。此式可用來求解其它各關(guān)節(jié)變量，如

25、 等。 3.2 Solving Kinematics Equation3.2 Solving Kinematics Equation 不斷地用的逆矩陣左乘式(3.17)，可得下列4個矩陣方程式： (3.19) (3.20) (3.21) (3.22)上列各方程的左式為 和前 個關(guān)節(jié)變量的函數(shù)?？捎眠@些方程來確定各關(guān)節(jié)的位置。34 3.2 Solving Kinematics Equation353.2.1 Solution of the Euler Transformation 歐拉變換解基本隱式方程的解 令由式(3.4)和(3.23)得到： 3.2 Solving Kinematics Eq

26、uation3.2 Solving Kinematics Equation363.2.1 Solution of the Euler Transformation令矩陣方程兩邊各對應(yīng)元素一一相等，可得到9個隱式方程如下： 3.2 Solving Kinematics Equation373.2.1 Solution of the Euler Transformation 但這些解答是不確定的：（1）當(dāng)由余弦函數(shù)求角度時，不僅此角度的符號是不確定的，并且所求角度的準(zhǔn)確度也與該角度本身相關(guān)。（2）在求解 和 時，再次用到反余弦函數(shù)，且除式的分母為 。當(dāng) 接近于0時，總會產(chǎn)生不準(zhǔn)確。（3）當(dāng) 或 時

27、， 和 的求解公式無定義。 3.2 Solving Kinematics Equation383.2.1 Solution of the Euler Transformation 在求解時，總是采用雙變量反正切函數(shù)atan2來確定角度。atan2提供二個自變量，即縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)，見圖3.8。當(dāng) - ，由atan2反求角度時，同時檢查y和x的符號來確定其所在象限。這一函數(shù)也能檢驗什么時候x或y為0，并反求出正確的角度。atan2的精確程度對其整個定義域都是一樣的。 3.2 Solving Kinematics Equation用雙變量反正切函數(shù)(two-argument arc tangent

28、function) 確定角度393.2.1 Solution of the Euler Transformation用顯式方程求各角度 要求得方程式的解，采用另一種通常能夠?qū)е嘛@式解答的方法。用未知逆變換依次左乘已知方程，對于歐拉變換有： 式(3.37)的左式為已知變換的函數(shù)，而右式各元素或者為0，或者為常數(shù)。 3.2 Solving Kinematics Equation40 對方程求解，整理之后確定其等價歐拉角： 如果已知一個表示任意旋轉(zhuǎn)的齊次變換，那么就能夠確定其等價歐拉角。3.2.1 Solution of the Euler Transformation 3.2 Solving Ki

29、nematics Equation413.2.2 Solution of RPY Transformations 滾、仰、偏變換解 直接從顯式方程來求解用滾動、俯仰和偏轉(zhuǎn)表示的變換方程。 推導(dǎo)計算可得RPY變換各角如下： 3.2 Solving Kinematics Equation423.2.3 Solution of Spherical Coordinate Transformation 球面變換解把求解滾、仰和偏變換方程的技術(shù)用于球面坐標(biāo)表示的運動方程。 可推導(dǎo)出球面變換的解為： 3.2 Solving Kinematics Equation433.3 Kinematic Equatio

30、n of PUMA 560 PUMA 560 機器人運動方程 3.3.1 Motion Analysis of PUMA 560 PUMA 560 運動分析（表示）PUMA 560是屬于關(guān)節(jié)式機器人，6個關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)。前3個關(guān)節(jié)確定手腕參考點的位置，后3個關(guān)節(jié)確定手腕的方位。各連桿坐標(biāo)系如圖3.9所示。相應(yīng)的連桿參數(shù)列于表3.1。 3.3 Kinematics Equation of PUMA 560443.3.1 Motion Analysis of PUMA 560 3.3 Kinematics Equation of PUMA 560453.3.1 Motion Analysis o

31、f PUMA 560 PUMA560每個關(guān)節(jié)均有角度零位與正負(fù)方向限位開關(guān)，機器人的回轉(zhuǎn)機體實現(xiàn)機器人機體繞z0軸的回轉(zhuǎn)（角1），它由固定底座和回轉(zhuǎn)工作臺組成。安裝在軸中心的驅(qū)動電機經(jīng)傳動裝置，可以實現(xiàn)工作臺的回轉(zhuǎn)。 3.3 Kinematics Equation of PUMA 560463.3.1 Motion Analysis of PUMA 560 大臂、小臂的平衡由機器人中的平衡裝置控制，在機器人的回轉(zhuǎn)工作臺上安裝有大臂臺座，將大臂下端關(guān)節(jié)支承在臺座上，大臂的上端關(guān)節(jié)用于支承小臂。大臂臂體的下端安有直流伺服電機，可控制大臂上下擺動（角 2 ）。 3.3 Kinematics Equa

32、tion of PUMA 560473.3.1 Motion Analysis of PUMA 560 小臂支承于大臂臂體的上關(guān)節(jié)處，其驅(qū)動電機可帶動小臂做上下俯仰（角3），以及小臂的回轉(zhuǎn)（4）。 3.3 Kinematics Equation of PUMA 560483.3.1 Motion Analysis of PUMA 560 機器人的腕部位于小臂臂體前端，通過伺服電動機傳動，可實現(xiàn)腕部擺動（5）和轉(zhuǎn)動（6）。 3.3 Kinematics Equation of PUMA 560493.3.1 Motion Analysis of PUMA 560 3.3 Kinematics E

33、quation of PUMA 56050Using A-Matrix to represent T-Matrix機械手的末端裝置即為連桿6的坐標(biāo)系，它與連桿 坐標(biāo)系的關(guān)系可由 表示為：可得連桿變換通式為 ：3.3.1 Motion Analysis of PUMA 560 3.3 Kinematics Equation of PUMA 560513.3.1 Motion Analysis of PUMA 560 據(jù)連桿變換通式式(3.16)和表3.1所示連桿參數(shù)，可求得各連桿變換矩陣如下： 3.3 Kinematics Equation of PUMA 560523.3.1 Motion A

34、nalysis of PUMA 560 各連桿變換矩陣相乘，得PUMA 560的機械手變換的T 矩陣： 即為關(guān)節(jié)變量 的函數(shù)。 該矩陣描述了末端連桿坐標(biāo)系6相對基坐標(biāo)系0的位姿。 3.3 Kinematics Equation of PUMA 56053要求解此運動方程，需先計算某些中間結(jié)果4T6 ， 3T6 ， 1T3 ， 1T6 等，見式（3.60）至（3.63）。于是，可求得機械手的T 變換矩陣： 其中nx, ny, nz, ox, oy, oz, ax, ay, az, px, py, pz見式（3.64）3.3.1 Motion Analysis of PUMA 560 3.3 Ki

35、nematics Equation of PUMA 56054（3.64）3.3.1 Motion Analysis of PUMA 560 3.3 Kinematics Equation of PUMA 560553.3.2 Motion Synthesis of PUMA 560 PUMA 560運動綜合（求解）據(jù)式（3.59），可把PUMA 560的運動方程（3.64）寫為：若末端連桿的位姿已經(jīng)給定，即 為已知，則求關(guān)節(jié)變量 的值稱為運動反解。用未知的連桿逆變換左乘方程(3.65)兩邊，把關(guān)節(jié)變量分離出來，從而求得 的解。 3.3 Kinematics Equation of PUMA

36、560563.3.2 Motion Synthesis of PUMA 5601.求 用逆變換 左乘式(3.65)兩邊： 3.3 Kinematics Equation of PUMA 560573.3.2 Motion Synthesis of PUMA 5601.求 利用三角代換：其中兩邊(2,4)項元素對應(yīng)相等： 3.3 Kinematics Equation of PUMA 560583.3.2 Motion Synthesis of PUMA 560求 式中，正、負(fù)號對應(yīng)于 的兩個可能解。 3.3 Kinematics Equation of PUMA 560593.3.2 Motion Synthesis of PUMA 5602. 求 兩邊(1,4)項和(3,4)項元素對應(yīng)相等：其中 3.3 Kinematics Equation of PUMA 560603.3.2 Motion Synthesis of PUMA 560求 正、負(fù)號對應(yīng) 的兩種可能解。求 式中， 3.3 Kinematics Equation of PUMA 560613.3.2 Motion Synthesis of PUMA 5603.求 兩邊(1,4)項和(2,4)項元素對應(yīng)相等： 3.3 Kinematics Equation of PUMA