模糊聚類分析課件

1、一、模糊集及模糊關(guān)系1、模糊問(wèn)題的提出在自然科學(xué)或社會(huì)科學(xué)研究中,存在著許多定義不很嚴(yán)格或者說(shuō)具有模糊性的概念。這里所謂的模糊性，主要是指客觀事物的差異在中間過(guò)渡中的不分明性，如某一生態(tài)條件對(duì)某種害蟲、某種作物的存活或適應(yīng)性可以評(píng)價(jià)為“有利、比較有利、不那么有利、不利”；災(zāi)害性霜凍氣候?qū)r(nóng)業(yè)產(chǎn)量的影響程度為“較重、嚴(yán)重、很嚴(yán)重”，等等。這些通常是本來(lái)就屬于模糊的概念，為處理分析這些“模糊”概念的數(shù)據(jù)，便產(chǎn)生了模糊集合論。 根據(jù)集合論的要求，一個(gè)對(duì)象對(duì)應(yīng)于一個(gè)集合，要么屬于，要么不屬于，二者必居其一，且僅居其一。這樣的集合論本身并無(wú)法處理具體的模糊概念。為處理這些模糊概念而進(jìn)行的種種努力，催生了

2、模糊數(shù)學(xué)。模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)是模糊集。模糊集的理論是1965年美國(guó)自動(dòng)控制專家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出來(lái)的，近10多年來(lái)發(fā)展很快。模糊集合論的提出雖然較晚，但目前在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛。2、模糊集的概念對(duì)于一個(gè)普通的集合A，空間中任一元素x，要么xA，要么xA，二者必居其一。這一特征可用一個(gè)函數(shù)表示為：A(x)即為集合A的特征函數(shù)。將特征函數(shù)推廣到模糊集，在普通集合中只取0、1兩值推廣到模糊集中為0, 1區(qū)間。簡(jiǎn)單地可表達(dá)為： 設(shè)U是論域，稱映射 A(x)：U0,1確定了一個(gè)U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對(duì)A的隸屬程度.使A(x) = 0.5的點(diǎn)x

3、稱為A的過(guò)渡點(diǎn)，此點(diǎn)最具模糊性.當(dāng)映射A(x)只取0或1時(shí)，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù). 可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形.例：設(shè)論域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個(gè)模糊集“高個(gè)子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為也可用Zadeh表示法：上式表示一個(gè)有n個(gè)元素的模糊子集?！?”叫做查德記號(hào)，不是求和。 模糊集的運(yùn)算也可以表示為：相等：A = B A(x) = B(x)；包含：AB A(x)B(x)；并：AB的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=

4、A(x)B(x)；交：AB的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)；余：Ac的隸屬函數(shù)為Ac (x) = 1- A(x).模糊集的并、交、余運(yùn)算性質(zhì) 冪等律：AA = A， AA = A；交換律：AB = BA，AB = BA；結(jié)合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ；吸收律：A(AB) = A，A( AB)= A； 分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)；0-1律： AU = U，AU = A； A = A，A = ；還原律： (Ac)c = A ；對(duì)偶律：(AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc； 對(duì)偶律的證

5、明：對(duì)于任意的 xU (論域)， (AB)c(x) = 1 - (AB)(x) = 1 - (A(x)B(x) = (1 - A(x)(1 - B(x) = Ac(x)Bc(x) = AcBc (x) 模糊集的運(yùn)算性質(zhì)基本上與經(jīng)典集合一致，除了排中律以外，即AAc U， AAc . 模糊集不再具有“非此即彼”的特點(diǎn)，這正是模糊性帶來(lái)的本質(zhì)特征.例：設(shè)論域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集)，在U上定義兩個(gè)模糊集： A =“商品質(zhì)量好”， B =“商品質(zhì)量壞”，并設(shè)A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).

6、則Ac=“商品質(zhì)量不好”, Bc=“商品質(zhì)量不壞”.Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可見Ac B, Bc A. 又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .3、截集 定義2 若A為X上的任一模糊集，對(duì)任意0 1，記A=xxX, A(x),稱A為A的截集。 (A) = A= x | A(x) A是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的邊界是模糊的, 如果要把模糊概念轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，需要選取不同的置信水平 (0 1) 來(lái)確定其隸屬關(guān)系。截

7、集就是將模糊集轉(zhuǎn)化為普通集的方法。模糊集A 是一個(gè)具有游移邊界的集合，它隨值的變小而增大，即當(dāng)1 2時(shí)，有A1A2。 模糊集的-截集A是一個(gè)經(jīng)典集合，由隸屬度不小于的成員構(gòu)成. 例：論域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6(學(xué)生集)，他們的成績(jī)依次為50,60,70,80,90,95，A=“學(xué)習(xí)成績(jī)好的學(xué)生”的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，則A0.9 (90分以上者) = u5 , u6,A0.6 (60分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6.定理：設(shè)A, B(U ) (A, B是論域U 的兩個(gè)模糊子集)，,0,1，于是有-截

8、集的性質(zhì)：(1) AB AB；(2) A A；(3) (AB)= AB，(AB)= AB.4、隸屬函數(shù)的確定1. 模糊統(tǒng)計(jì)方法 與概率統(tǒng)計(jì)類似，但有區(qū)別：若把概率統(tǒng)計(jì)比喻為“變動(dòng)的點(diǎn)”是否落在“不動(dòng)的圈”內(nèi)，則把模糊統(tǒng)計(jì)比喻為“變動(dòng)的圈”是否蓋住“不動(dòng)的點(diǎn)”.2. 指派方法 一種主觀方法，一般給出隸屬函數(shù)的解析表達(dá)式。3. 借用已有的“客觀”尺度5、模糊關(guān)系與模糊矩陣 1）模糊關(guān)系的定義定義3.5 設(shè)X、Y是兩個(gè)非空集合，則直積 XY=(x, y)|x X， y Y為論域中的一個(gè)模糊子集R, 稱為從集合X到Y(jié)的一個(gè)模糊關(guān)系，也稱二元模糊關(guān)系。R由其隸屬函數(shù) R ： X Y 0,1刻畫。R (x

9、, y)表明(x, y)具有關(guān)系R的程度。 當(dāng) X=Y時(shí)，稱R為X上的模糊集合;當(dāng)論域?yàn)閚個(gè)集合的直積X1 X2 Xn 時(shí),則稱R為n元模糊關(guān)系。 2）模糊關(guān)系的合成定義： 設(shè)U、V、W是論域，Q是U到V的一個(gè)模糊關(guān)系，R是V到W的一個(gè)模糊關(guān)系，則Q對(duì)R的合成Q R指的是U到W的一個(gè)模糊關(guān)系，它具有隸屬函數(shù) 3）模糊關(guān)系的運(yùn)算模糊關(guān)系是一類特殊的模糊集，同模糊集合一樣有交、并、補(bǔ)、包含、相等等運(yùn)算。法則相似。 4）模糊關(guān)系的性質(zhì)設(shè)R,R1,R2F(UV),且t T，Rt F(UV),則5）模糊矩陣的定義定義：設(shè)A=u1,u2, ,un, B= =v1,v2, ,vm及R F(AB),將序偶(u

10、i ,vj)的隸屬度R(ui ,vj) 0,1記作rij，稱矩陣R=(rij)nm 為模糊矩陣。6）模糊矩陣的運(yùn)算設(shè)R和S均為nm階模糊矩陣，則其并運(yùn)算為對(duì)應(yīng)元素求大；交運(yùn)算為對(duì)應(yīng)元素求?。谎a(bǔ)運(yùn)算為1減每個(gè)元素。7）模糊矩陣的截矩陣R= (rij)mn ，對(duì)任意0,1,記R= (rij)mn ，其中則稱R為R的截矩陣。8）模糊矩陣的合成定義：設(shè)Q= (qij)nm ,R= (rjk)ml 為模糊矩陣,合成矩陣S= (sik)nl , S=QR :9）模糊矩陣的性質(zhì)恒等律, 交換律,分配律, 結(jié)合律, 吸收律, 復(fù)原律,對(duì)偶律, 同一律和模糊集合的性質(zhì)一樣。另外有對(duì)模糊矩陣，互補(bǔ)律不成立。例1：

11、模糊矩陣的合成10）模糊關(guān)系和模糊矩陣的合成例子例2：某家中，子女與父母的長(zhǎng)像相似關(guān)系R是模糊關(guān)系?？煽醋鰽=子，女、B=父，母模糊關(guān)系可表示為：R 父 母子 0.2 0.8女 0.6 0.1模糊矩陣R=該家中父母與祖父母（C=祖父，祖母）的相似關(guān)系也是模糊關(guān)系：S 祖父 祖母父 0.5 0.7母 0.1 0模糊矩陣S=孫子、孫女與祖父母的相似程度？RS= 此模糊關(guān)系表明：孫子與祖父、祖母的相似程度為0.2、0.2;孫女與祖父、祖母的相似程度為0.5、0.6。二、模糊聚類分析方法模糊聚類分析方法分類伴隨著模糊性，將模糊數(shù)學(xué)中的有關(guān)概念與方法引進(jìn)聚類分析，通過(guò)建立模糊相似關(guān)系，進(jìn)而對(duì)客觀事物進(jìn)行

12、分類。（1）原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化方法要構(gòu)造模糊關(guān)系矩陣，必須對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，使樣本數(shù)據(jù)壓縮到0，1閉區(qū)間內(nèi)。這樣就可以將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化值為例如，可以先求出n個(gè)樣本的第j個(gè)指標(biāo)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。 2）標(biāo)定各分類對(duì)象之間相似性統(tǒng)計(jì)量rij的計(jì)算，可以采用夾角余弦法和相似系數(shù)法。如：這里rij表示兩個(gè)樣本之間相似程度的變量，當(dāng)rij接近于1，表明這兩個(gè)樣本越接近。下面是相關(guān)系數(shù)法確定的rij： （3）聚類通過(guò)上述標(biāo)定，得到模糊相似矩陣，反映了樣本間的相似關(guān)系，但它只具有自反性和對(duì)稱性，不具有傳遞性，此時(shí)，可以通過(guò)平方法得到的傳遞閉包，也就是論域上的一個(gè)模糊等價(jià)矩陣，選擇不同的值，得到不同的水平截集，

13、得到動(dòng)態(tài)聚類結(jié)果，生成動(dòng)態(tài)聚類樹。因此，為了聚類，我們必須采用這樣下去，就必然會(huì)存在一個(gè)自然數(shù)K，使得：示例顯然，對(duì)于上述所描述的九個(gè)農(nóng)業(yè)區(qū)域，用夾角余弦公式計(jì)算所得的相似系數(shù)矩陣就是這九個(gè)農(nóng)業(yè)區(qū)域所構(gòu)成的分類對(duì)象集合上的一個(gè)模糊相似關(guān)系，經(jīng)過(guò)自乘計(jì)算后可以驗(yàn)證：R=R4R4=R4這樣就可以在不同的截集水平下進(jìn)行聚類了(1)取=1，得：各自成為一類。(2)取=0.99，得：G6，G7歸并為一類，而G1，G2，G3，G4，G8，G9各自成為一類。行與第3行和其它各行均不相同，故G2與G8聚為一類，G4與G9聚為一類，G5、G6、G7聚為一類，而G1和G3各自成為一類。(3)取=0.95，得：和其

14、它各行均不相同，故G2、G4、G8、G9聚為一類，G5、G6、G7聚為一類，G1和G3各自聚為一類。(4)取=0.94，得：其它各行均不相同，故G1、G2、G4、G8、G9聚為一類，G5、G6、G7聚為一類，G3各自成為一類。(5)取=0.93，得：G4、G8、G9聚為一類，G3、G5、G6、G7聚為一類。(6)取=0.80，得：(7)取=0.67，得：G9均聚為一類。三、模糊綜合評(píng)判方法模糊綜合評(píng)判方法模糊綜合評(píng)判方法，是一種運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)原理分析和評(píng)價(jià)具有“模糊性”的事物的系統(tǒng)分析方法。它是一種以模糊推理為主的定性與定量相結(jié)合、精確與非精確相統(tǒng)一的分析評(píng)價(jià)方法。由于這種方法在處理各種難以用精

15、確數(shù)學(xué)方法描述的復(fù)雜系統(tǒng)問(wèn)題方面所表現(xiàn)出的獨(dú)特的優(yōu)越性，近年來(lái)已在許多學(xué)科領(lǐng)域中得到了十分廣泛的應(yīng)用。單層次模糊評(píng)判1、確定評(píng)判系統(tǒng)指標(biāo)集和指標(biāo)權(quán)重集單層次模糊評(píng)判2、確定評(píng)判指標(biāo)評(píng)價(jià)等級(jí)（備擇集）單層次模糊評(píng)判3、確定單因素評(píng)判矩陣rij表示第i個(gè)指標(biāo)對(duì)第j個(gè)備擇類的隸屬度大小。單層次模糊評(píng)判優(yōu)良中差U15311U23322Un4231單層次模糊評(píng)判單層次模糊評(píng)判4、評(píng)判5、評(píng)價(jià)結(jié)果處理maxdi對(duì)應(yīng)為評(píng)判等級(jí) 計(jì)算得分f=90d1+80d2+703+60d4多層次模糊評(píng)判在復(fù)雜大系統(tǒng)中，需要考慮的因素往往是很多的，而且因素之間還存在著不同的層次。這時(shí)，應(yīng)用單層次模糊綜合評(píng)判模型就很難得出正

16、確的評(píng)判結(jié)果。所以，在這種情況下，就需要將評(píng)判因素集合按照某種屬性分成幾類，先對(duì)每一類進(jìn)行綜合評(píng)判，然后再對(duì)各類評(píng)判結(jié)果進(jìn)行類之間的高層次綜合評(píng)判。這樣，就產(chǎn)生了多層次模糊綜合評(píng)判問(wèn)題。多層次模糊評(píng)判1、確定評(píng)判系統(tǒng)指標(biāo)集和指標(biāo)權(quán)重集指標(biāo)類：各類指標(biāo)：指標(biāo)類權(quán)重：子指標(biāo)權(quán)重：多層次模糊評(píng)判 2、確定類指標(biāo)和子指標(biāo)評(píng)價(jià)等級(jí)（備擇集）多層次模糊評(píng)判3、 確定各類因素評(píng)判矩陣R1，R2，Rn多層次模糊評(píng)判4、各類評(píng)價(jià)多層次模糊評(píng)判5、形成按類評(píng)價(jià)矩陣R多層次模糊評(píng)判6、總評(píng)價(jià)7、評(píng)價(jià)結(jié)果處理maxdi對(duì)應(yīng)為評(píng)判等級(jí) 計(jì)算得分f=90d1+80d2+703+60d4例1：農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，是一類多要素

17、的復(fù)雜系統(tǒng)，其內(nèi)部諸要素之間的相互作用關(guān)系及各要素對(duì)系統(tǒng)功能的影響程度在量上是難以精確衡量的，即系統(tǒng)具有“模糊性”特征；其次，農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)也還是一個(gè)包含著若干不同生產(chǎn)層次(或若干子系統(tǒng))的復(fù)合系統(tǒng)，其系統(tǒng)功能從整體上來(lái)說(shuō)是一種綜合功能，具有“多屬性”特點(diǎn)。因此，農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)功能評(píng)價(jià)是一種多屬性或多準(zhǔn)則評(píng)價(jià)問(wèn)題。這就要求評(píng)價(jià)者必須根據(jù)評(píng)價(jià)問(wèn)題的性質(zhì)、目標(biāo)、要求等選擇適宜的評(píng)價(jià)模型和方法。在這方面，模糊綜合評(píng)判模型為我們提供了一種有效的方法。農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)功能，是一種綜合性功能，它主要由經(jīng)濟(jì)效益、生態(tài)效益和社會(huì)效益三個(gè)方面來(lái)反映。所以，對(duì)農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)功能的考察及評(píng)價(jià)，必須立足于這三個(gè)

18、基本方面。而這三個(gè)方面的效益又是由不同的要素來(lái)體現(xiàn)的，每一種要素都有表征其屬性特征的指標(biāo)。這些要素指標(biāo)的組合就構(gòu)成了農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)功能綜合評(píng)價(jià)的指標(biāo)體系評(píng)價(jià)要素集合為：U=u1，u2，u3其中，各單要素子集ui=(i=1，2，3)分別為：U1=u11，u12，u13，u14，u15U2=u21，u22，u23，u24，u25U3=u31，u32，u33，u34，u35評(píng)語(yǔ)集合的確定根據(jù)評(píng)價(jià)決策的實(shí)際需要，將評(píng)判等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)劃分為“好”、“較好”、“一般”、“較差”和“差”五個(gè)等級(jí)。即評(píng)語(yǔ)集合為：V=v1，v2，v3，v4，v5=好，較好，一般，較差，差各子集權(quán)重(一級(jí)權(quán)重)為： A=a1，a2，a3各子集Ui(i=1，2，3)中諸要素的權(quán)重(二級(jí)權(quán)重)分別為所謂評(píng)判的實(shí)施，就是根據(jù)評(píng)判對(duì)象農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的各種實(shí)際調(diào)查訪問(wèn)材料、各種試驗(yàn)與研究數(shù)據(jù)，采用模糊數(shù)學(xué)和精確數(shù)學(xué)方法對(duì)各個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行定量估算，然后由評(píng)判專家小組的每一個(gè)成員根據(jù)已確定的評(píng)價(jià)等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)依次對(duì)各個(gè)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)。假定評(píng)判