10.4重積分的應(yīng)用課件

1、第四節(jié) 重積分的應(yīng)用 一、曲面的面積 二、質(zhì)心 三、轉(zhuǎn)動慣量 四、引力 定積分的元素法推廣到重積分中的使用方法. 若要計算的某個量U 對于閉區(qū)域 D 具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域 D 分成許多小閉區(qū)域時, 所求量U 相應(yīng)地分成許多部分量，且U 等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域 D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域 時, 相應(yīng)地部分量可近似地表示為 的形式,其中 在 內(nèi)這個 稱為所求量U 的元素，記為 ，所求量的積分表達式為設(shè)曲面的方程為：如圖，一、曲面的面積 曲面S的面積元素曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：一、曲面的面積 則曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可

2、得若光滑曲面方程為隱式則且球面的面積A為上半球面面積的兩倍 解 方法1 利用直角坐標(biāo)方程. 例1 求半徑為R的球的表面積 于是解設(shè)球面方程為 球面面積元素為方法2 利用球坐標(biāo)方程.解解方程組得兩曲面的交線為圓周在 平面上的投影域為二、質(zhì)心 當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.由元素法 類似地 設(shè)一物體占有空間閉區(qū)域 其密度(x y z)是閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù) 則該物體的質(zhì)心坐標(biāo)為例3 求位于兩圓 和之間均勻薄片的重心. 解 利用對稱性可知而三、轉(zhuǎn)動慣量 薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)一物體占有空間閉區(qū)域 其密度(x y z)是上的連續(xù)函數(shù) 則該物體對于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量為一般地,

3、若V 中的點( x , y , z )到轉(zhuǎn)動軸 l 的距離為則轉(zhuǎn)動慣量為例4 求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑解 建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量.設(shè)薄片的密度為，則 例5 求密度為的均勻球體對于過 球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動慣量 取球心為坐標(biāo)原點 z軸與軸l重合 又設(shè)球的半徑為a 解 球體所占空間閉區(qū)域可表示為 (x y z)| x2y2z2a2 所求轉(zhuǎn)動慣量即球體對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量Iz 首頁四、引力 設(shè)物體占有空間有界閉區(qū)域 其密度(x y z)為上的連續(xù)函數(shù) 求物體對于物體外一點P0(x0 y0 z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力設(shè)在內(nèi)點P(x y z)處的體積元素為dv 則點P 對位

4、于點P0處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力元素為dF(dFx dFy dFz) 其方向為r(xx0 yy0 zz0) r|r| 將dFx、dFy、dFz在上分別積分 即可得Fx、Fy、Fz 從而得F(Fx、Fy、Fz) 其中 例6 設(shè)半徑為R的勻質(zhì)球占有空間閉區(qū)域(x y z)|x2y2z2R2) 求它對位于M(0 0 a)(aR)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力 解 設(shè)球的密度為0 由球體的對稱性及質(zhì)量分布的 均勻性知FxFy0 因此只需求引力沿z軸的分量解由積分區(qū)域的對稱性知所求引力為P175 1，3，6, 11求5 其中V 是由 1解過已知直線的平面束方程為由題設(shè)知由此解得代回平面束方程為2 設(shè)求提示: 利