數(shù)學(xué)：《平面幾何中的向量方法》(新人教A版必修)課件

1、2.5 平面向量應(yīng)用舉例 2.5.1 平面幾何中的向量方法ks5u精品課件平面幾何中的向量方法 向量概念和運算，都有明確的物理背景和幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)”的計算，這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大的方便。 由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。ks5u精品課件平面幾何中ks5u精品課件 向量在幾何中的應(yīng)用 (1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的條件 ab . (2)證明

2、垂直問題,常用向量垂直的條件ab .ks5u精品課件利用夾角公式 (3)求夾角問題 ， (4)求線段的長度，可以用向量的線性運算，向量的模|a|= 或|AB|=|AB|= .ks5u精品課件探究（一）：推斷線段長度關(guān)系 思考1：如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么對角線AC的長是否確定？ABCD=a+b, =a-b 思考2：設(shè)向量 a， b，則向量 等于什么？向量 等于什么？ ks5u精品課件思考3：AB=2，AD=1，BD=2，用向量語言怎樣表述？思考4：利用 ，若求 需要解決什么問題？ABCDab思考5：利用|a|=2，|b|=1，|ab|=2，如何求ab？

3、 等于多少？|a|=2，|b|=1，|a-b|=2.ks5u精品課件思考6：根據(jù)上述思路，你能推斷平行四邊形兩條對角線的長度與兩條鄰邊的長度之間具有什么關(guān)系嗎？平行四邊形兩條對角線長的平方和等于兩條鄰邊長的平方和的兩倍. 思考7：如果不用向量方法，你能證明上述結(jié)論嗎？ ks5u精品課件例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對角線平方和ABDC分析：因為平行四邊形對邊平行且相等，故設(shè) 其它線段對應(yīng)向量用它們表示.解：設(shè) ，則求證：ks5u精品課件 你能總結(jié)一下利用向量法解決平面幾何問題的基本思路嗎？（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）

4、通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運算結(jié)果“翻譯”成幾何元素.用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：簡述：形到向量 向量的運算 向量和數(shù)到形ks5u精品課件探究（二）：推斷直線位置關(guān)系 思考1：三角形的三條高線具有什么位置關(guān)系？ 交于一點思考2：如圖，設(shè)ABC的兩條高AD與BE相交于點P，要說明AB邊上的高CF經(jīng)過點P，你有哪些辦法？ ABCDEFP證明PCAB.ks5u精品課件思考4：對于PABC，PBAC，用向量觀點可分別轉(zhuǎn)化為什么結(jié)論？思考3：設(shè)向量 a， b， c，那么PCBA可轉(zhuǎn)化為什么向量關(guān)系？ ABCDEFPabc c(ab)0. a(cb)0，

5、b(ac)0.ks5u精品課件思考5：如何利用這兩個結(jié)論: a(cb)0，b(ac)0 推出c(ab)0？ 思考6：你能用其它方法證明三角形的三條高線交于一點嗎？ABCDEFPks5u精品課件探究（三）：計算夾角的大小 思考1：如圖，在等腰ABC中，D、E分別是兩條腰AB、AC的中點，若CDBE，你認(rèn)為A的大小是否為定值？ABCDEks5u精品課件思考2：設(shè)向量 a， b，可以利用哪個向量原理求A的大??？ABCDEabks5u精品課件思考3：以a，b為基底，向量 ， 如何表示？ ABCDEab思考4：將CDBE轉(zhuǎn)化為向量運算可得什么結(jié)論？ ab = （a2b2） ks5u精品課件思考5：因為A

6、BC是等腰三角形，則|a|=|b|，結(jié)合上述結(jié)論: ab = (a2b2 ),cosA等于多少？ABCDEabks5u精品課件例2 如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC的中點，BE、BF分別與AC相交于點R、T，試推斷AR、RT、TC的長度具有什么關(guān)系，并證明你的結(jié)論.ABCDEFRT 結(jié)論:AR=RT=TC ks5u精品課件解：設(shè) 則由于 與 共線，故設(shè)又因為 共線，所以設(shè)因為 所以ABCDEFRTks5u精品課件不共線，故AT=RT=TCABCDEFRTks5u精品課件例3：如圖4-4-1,在RtBAC中,已知BC=a,若長為 2a 的線段PQ以點A為中點,問PQ與BC的

7、夾角取何值時BPCQ的值最大?并求出這個最大值. 【分析】 解答本題的關(guān)鍵是要結(jié)合圖形,利用向量 的三角形法則找出向量之間的關(guān)系;或建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,利用向量的坐標(biāo)形式來解答.ks5u精品課件【解析】解法一:ABAC，ABAC=0.AP=-AQ,BP=AP-AB,CQ=AQ-AC,BPCQ=(AP-AB)(AQ-AC)=APAQ-APAC-ABAQ+ABAC=-a2-APAC+ABAP=-a2+AP(AB-AC)=-a2+ PQBC=-a2+a2cos，故當(dāng)cos=1,即=0(PQ與BC的方向相同)時,BPCQ最大, 其最大值為0.ks5u精品課件解法二:以直角頂點A為坐標(biāo)原點,兩直角邊所在直

8、線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)|AB|=c,|AC|=b,則A(0,0),B(c,0),C(0,b).且|PQ|=2a,|BC|=a,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),則Q(-x,-y).BP=(x-c,y),CQ=(-x,-y-b),BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y),BPCQ=(x-c)(-x)+y(-y-b) =-(x2+y2)+cx-by.ks5u精品課件 【評析】 平面向量的數(shù)量積的運算法則把平面向量與實數(shù)緊密地聯(lián)系在一起, 使它們之間的相互轉(zhuǎn)化得以實施.因此,一方面我們要善于把向量的有關(guān)問題通過數(shù)量積轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題,利用實數(shù)的有關(guān)知識來解決問題;另一方面,也要善于把實數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量問題,利用向量作工具來解決相關(guān)問題. ,cx-by=a2cos,BPCQ=-a2+a2cos.故當(dāng)cos=1,即=0(PQ與BC方向相同）時，BPCQ最大，其最大值為0.ks5u精品課件練習(xí)、證明直徑所對的圓周角是直角ABCO如圖所示，已知O，AB為直徑，C為O上任意一點。求證ACB=90分析：要證ACB=90，只須證向量 ，即 。解：設(shè) 則 ，由此可得：即 ，ACB=90思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？ks5u精品課件小結(jié)作業(yè)1.用向量方法解決平面幾何問題的基本思路：幾何問題向量化 向量運算關(guān)